Aufgabe 3B

Ein quaderförmiger Discoraum hat die Ausmaße $15\,\text{m}$ , $20\,\text{m}$ und $6\,\text{m}$ .

Am Ort $L\,(3\mid 2\mid 5)$ befindet sich ein Laser, der Laserlicht in verschiedene Richtungen aussenden kann. Die Richtungen des Laserlichts lassen sich einstellen.

Alle Koordinaten haben die Einheit Meter.

3D-Darstellung eines Quaders mit den Abmessungen 20 m, 15 m und 8 m.

a) Das Laserlicht soll in der Disco im Punkt $P\,(7\mid 20\mid 4)$ auf die rechte Wand auftreffen.

Bestimme den für die Einstellung des Laserstrahls notwendigen Richtungsvektor.

Wird die Richtung des Laserstrahls durch den Vektor $\begin{pmatrix}4\\10\\-1\end{pmatrix}$ eingestellt, so trifft das Laserlicht im Punkt $Q$ auf die rechte Wand auf.

Bestimme die Koordinaten des Punktes $Q$ . (Zur Kontrolle: $Q\,(10,2\mid 20\mid 3,2))$

Berechne den Abstand des Punktes $Q$ vom Laser.

(9P)

Der Laser wird so eingestellt, dass alle Laserstrahlen in der Ebene $E$ mit

$E: \vec{x}= \begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}2\\0\\-0,5\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}$ verlaufen.

b) Alle vom Laserstrahl auf der rechten Wand getroffenen Punkte liegen auf einer Geraden.

Zeige, dass diese Gerade durch $g: \vec{x}= \begin{pmatrix}10\\20\\3,25\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}-5\\0\\1,25\end{pmatrix}$ angegeben werden kann.

Aus Sicherheitsgründen wird gefordert, dass der Laserstrahl die rechte Wand nicht unterhalb einer Höhe von $2$ Metern treffen darf.

Untersuche, ob diese Forderung eingehalten wird.

(9P)

c) Der Laserstrahl beschreibt bei geeigneter Einstellung auf der vorderen Wand eine Strecke, die vom Punkt $B\,(15\mid 4\mid 2)$ bis zum Punkt $A\,(15\mid 18\mid 2)$ verläuft.

Bestimme für den Richtungsvektor \begin{pmatrix}2\cdot k\\10\\-0,5\cdot k\end{pmatrix} des Laserstrahls einen Wert für $k$ so, dass der Laserstrahl mit der Strecke durch $A$ und $B$ einen Winkel von $60°$ einschließt.

(6P)

a) $\blacktriangleright$ Einstellung des Laserstrahls bestimmen

Bestimme den für die Einstellung des Laserstrahls notwendigen Richtungsvektor. Der Laserstrahl zeigt vom Punkt $L$ zum Punkt $P$ . Der Laserstrahl hat dementsprechend die Richtung des Verbindungsvektors $\overrightarrow{LP}$ . Berechne diesen Vektor, um die gesuchte Richtung zu erhalten:

$\overrightarrow{LP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OL}= \begin{pmatrix}7\\ 20\\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\ 18\\ -1\end{pmatrix}$

Damit verläuft der Laserstrahl in Richtung des Vektors $\begin{pmatrix}4\\ 18\\ -1\end{pmatrix}$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{Q}$ bestimmen

Wird die Richtung des Laserstrahls durch den Vektor $\begin{pmatrix}4\\ 10\\ -1\end{pmatrix}$ beschrieben, so kannst du mit dem Punkt $L$ , die Gerade aufstellen, die den Laserstrahl beschreibt. Für alle Punkte der rechten Wand ist die $y$ -Koordinate $20$ . Bestimme also den Punkt der Geraden, für den die $y$ -Koordinate $20$ ist, um den gesuchten Punkt $Q$ zu bestimmen.

Wähle für die Gerade $h$ , die den Laserstrahl beschreibt, den Ortsvektor von $L$ als Stützvektor sowie den angegebenen Richtungsvektor. Damit lautet eine Geradengleichung von $g$ :

$h: \overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4\\ 10\\ -1\end{pmatrix}$

Setze nun die $y$ -Koordinate gleich $20$ :

$\begin{array}[t]{rll} 20&=&2 + t \cdot 10 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] 18&=&t \cdot 10 &\quad \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt] 1,8&=&t &\quad \\[5pt] \end{array}$

Setze $t=1,8$ in die Geradengleichung von $h$ ein, um die Koordinaten des Punktes $Q$ zu bestimmen:

$\overrightarrow{OQ}=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + 1,8 \cdot \begin{pmatrix}4\\ 10\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}7,2\\ 18\\ -1,8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}10,2\\ 20\\ 3,2 \end{pmatrix}$

Die Koordinaten des gesuchten Punktes sind $Q\left(10,2 \mid 20 \mid 3,2\right)$ .

$\blacktriangleright$ Abstand des Punktes $\boldsymbol{Q}$ vom Laser berechnen

Berechne nun den Abstand des Punktes $Q$ vom Laser $L$ . Der Laser ist am Punkt $L$ befestigt, somit beschreibt der Verbindungsvektor $\overrightarrow{QL}$ die Strecke $\overline{QL}$ . Berechne die Länge des Vektors $\overrightarrow{QL}$ , um den gesuchten Abstand zu berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{QL}\right|&=&\left|\overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OQ}\right| \\[5pt] &=& \left| \begin{pmatrix}10,2\\ 20\\ 3,2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix}\right| \\[5pt] &=& \left| \begin{pmatrix}7,2\\ 18\\ -1,8 \end{pmatrix}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{7,2^2 + 18^2 + \left(-1,8\right)^2} \\[5pt] &\approx& 19,47 \end{array}$

Der Abstand vom Punkt $Q$ zum Laser beträgt ca. $19,47 \text{ m}$ .

b) $\blacktriangleright$ Zeigen, dass die Gerade $\boldsymbol{g}$ die Laserpunkte beschreibt

Deine Aufgabe ist es zu zeigen, dass die Gerade $g$ alle auf der rechten Wand vom Laser getroffenen Punkte beschreibt. Berechne zuerst eine Schnittgerade $g_E$ der dir gegebenen Ebene $E$ aller Laserstrahlen mit der rechten Wand. Zeige danach, dass diese Gerade $g_E$ identisch zur Geraden $g$ ist.

Dafür musst du zwei Bedingungen überprüfen:

Die Geraden haben einen gemeinsamen Punkt.

Die Richtungsvektoren der Geraden sind linear abhängig.

1. Schritt: Schnittgerade $\boldsymbol{g_E}$ bestimmen

Für die rechte Wand ist die $y$ -Koordinate gleich $20$ , somit erhältst du folgende Gleichung aus der gegebenen Ebenengleichung $E$ :

$\begin{array}[t]{rll} 20&=&2 + r \cdot 0 + s \cdot 10 & \quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] 18&=&s \cdot 10 & \quad \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt] 1,8&=&s \end{array}$

Setzt du nun $s=1,8$ in die Ebenengleichung von $E$ ein, erhältst du die Geradengleichung der Schnittgeraden $g_E$ :

$\begin{array}[t]{rll} g_E:& \vec{x}&=&\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}2 \\ 0\\ -0,5\end{pmatrix} + 1,8 \cdot \begin{pmatrix}0\\ 10\\ 0\end{pmatrix} \\[5pt] &\vec{x}&=&\begin{pmatrix}3\\ 20\\ 5\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}2 \\ 0\\ -0,5\end{pmatrix} \end{array}$

2. Schritt: Zeigen, dass $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{g_E}$ identisch sind

Zeige zuerst, dass die Richtungsvektoren der beiden Geraden linear abhängig sind, d.h. das sie Vielfache voneinander sind:

$\begin{pmatrix}2 \\ 0\\ -0,5\end{pmatrix} = c \cdot \begin{pmatrix}-5 \\ 0\\ 1,25\end{pmatrix}$

Du erkennst direkt, dass die zweite Komponente mit $0=c \cdot 0=0$ erfüllt ist. Löse nun die erste Komponente nach $c$ auf und überprüfe das Ergebnis in der dritten Komponente:

$2=c \cdot \left(-5\right)$ $\quad$ $\Rightarrow$ $c=-0,4$

Setze $c=-0,4$ in die dritte Gleichung ein:

$\left(-0,5\right)= c \cdot 1,25 = \left(-0,4\right) \cdot 1,25 = \left(-0,5\right)$ $\quad$ Häkchen-Symbol in grün auf weißem Hintergrund.

Somit sind die beiden Richtungsvektoren linear abhängig. Jetzt musst du noch zeigen, dass beide Geraden einen gemeinsamen Punkt besitzen. Setze dazu den Stützvektor der Geraden $g$ mit der Geradengleichung von $g_E$ gleich:

$\begin{pmatrix}10\\ 20\\ 3,25\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 20\\ 5\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}2 \\ 0\\ -0,5\end{pmatrix}$

Du erkennst direkt, dass die zweite Gleichung erfüllt ist:

$20= 20 + r \cdot 0=20$ $\quad$ Häkchen-Symbol in grün auf weißem Hintergrund.

Betrachte nun die erste Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} 10&=&3 + r \cdot 2 & \quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] 7&=&r \cdot 2 & \quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 3,5&=&r & \\[5pt] \end{array}$

Überprüfe nun das Ergebnis, indem du $r=3,5$ in die dritte Gelichung einsetzt:

$3,25= 5 + r \cdot \left(-0,5\right)= 5 + 3,5 \cdot \left(-0,5\right)= 5 -1,75=3,25$ $\quad$ Häkchen-Symbol in grün auf weißem Hintergrund.

Also liegt der Stützvektor der Geraden $g$ auf der Geraden $g_E$ , das heißt, die beiden Geraden haben einen gemeinsamen Punkt. Somit sind beide Bedingungen erfüllt und die beiden Geraden sind identisch.

$\blacktriangleright$ Untersuchen, ob die Forderung eingehalten wird

Überprüfe hier, ob die Forderung, dass der Laserstrahl die rechte Wand nicht unterhalb einer Höhe von $2$ Metern treffen darf, erfüllt ist. Die Höhe wird durch die $z$ -Koordinate eines Punktes beschrieben. Überprüfe also, ob die $z$ -Koordinate des Schnittpunktes der Geraden und der rechten Wand größer als $2$ ist.

Betrachtest du den Richtungsvektor $\begin{pmatrix}-5\\ 0\\ 1,25\end{pmatrix}$ der Geraden $g$ , so erkennst du, dass je näher man der hinteren Wand kommt, desto höher der Laserstrahl ist. Dies folgt daraus, dass die $x$ -Komponente des Laser negativ ("nach hinten") und dabei die $z$ -Komponente positiv ("nach oben") ist. Somit ist der Punkt des Laserstrahls, der auf der unteren Kante der rechten Wand liegt, der tiefste Punkt aller Laserstrahlen.

Die $y$ -Komponente aller Punkte der unteren Kante ist wie die der rechten Wand gleich $20$ . Die $x$ -Komponente beträgt $15$ . Setze dies nun mit der ersten Komponente der Geraden $g$ gleich:

$\begin{array}[t]{rll} 15&=&10 + t \cdot \left(-5\right) &\quad \scriptsize \mid\; -10 \\[5pt] 5&=&t \cdot \left(-5\right) &\quad \scriptsize \mid\; :\left(-5\right) \\[5pt] -1&=&t \end{array}$

Somit erreicht die Gerade $g$ für $t=-1$ die rechte untere Kante. Berechne nun die $z$ -Komponente dieses Punktes, indem du $t=-1$ in die dritte Komponente der Geradengleichung von $g$ einsetzt:

$3,25 + t \cdot 1,25 = 3,25 + \left(-1\right) \cdot 1,25 = 3,25 - 1,25 =2$

Somit ist der niedrigste Punkt $T \left(15 \mid 20\mid 2\right)$ des Laserstrahls auf der rechten Wand $2$ Meter hoch und somit nicht unterhalb von $2$ Metern. Also ist die Forderung erfüllt.

c) $\blacktriangleright$ Passenden Richtungsvektor bestimmen

Deine Aufgabe ist es nun, einen Wert $k$ so zu bestimmen, dass die Größe des Winkels zwischen dem Laserstrahl und der Strecke $\overline{AB}$ $60°$ beträgt. Berechne dazu zuerst den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ , der die Strecke zwischen $A$ und $B$ beschreibt.
Um das gesuchte $k$ zu bestimmen, kannst du nun die Vektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{AB}$ sowie den Winkel $\alpha=60°$ in die Formel für den Schnittwinkel zweier Vektoren einsetzen. Diese kannst du dann nach $k$ auflösen und erhältst den gesuchten Wert.

1. Schritt: Verbindungsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{AB}}$ berechnen

Die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ sind dir gegeben. Somit kannst du den Verbindungsvektor direkt berechnen:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}= \begin{pmatrix}15\\ 18\\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}15\\ 4\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 14\\ 0\end{pmatrix}$

2. Schritt: Formel für den Schnittwinkel zweier Vektoren anwenden

Setze die beiden Vektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{AB}$ und den Winkel $\alpha=60°$ ein und löse nach $k$ auf. Du erhältst:

$\begin{array}[t]{rll} \cos\left(60°\right)&=&\dfrac{\left|\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{v}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right| \cdot \left|\overrightarrow{v}\right|} &\quad \scriptsize \mid\; \cos\left(60°\right)= \dfrac{1}{2}\\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&\dfrac{\left|\begin{pmatrix}0\\ 14\\ 0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\cdot k\\ 10\\ -0,5 \cdot k \end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}0\\ 14\\ 0\end{pmatrix}\right| \cdot \left| \begin{pmatrix}2\cdot k\\ 10\\ -0,5 \cdot k \end{pmatrix}\right|}\\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&\dfrac{\left|10 \cdot 14 \right|}{\sqrt{14^2} \cdot \sqrt{\left(2\cdot k\right)^2 + 10^2 + \left(-0,5\cdot k\right)^2}}\\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&\dfrac{140}{14 \cdot \sqrt{4 \cdot k^2 + 100 + 0,25 \cdot k^2}}\\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&\dfrac{10}{\sqrt{4,25 \cdot k^2 + 100 }} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \cdot \sqrt{4,25 \cdot k^2 + 100 } \\[5pt] \sqrt{4,25 \cdot k^2 + 100 } &=&20 &\quad \scriptsize \mid\; \left(...\right)^2 \\[5pt] 4,25 \cdot k^2 + 100 &=&400 &\quad \scriptsize \mid\; -100\\[5pt] 4,25 \cdot k^2 &=&300 &\quad \scriptsize \mid\; :4,25\\[5pt] k^2 &\approx&70,59 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{...}\\[5pt] k_{1,2} &\approx&\pm 8,4 \\[5pt] \end{array}$

Du hast nun zwei mögliche Werte für $k$ . Wähle den Wert für $k$ aus, für den der Richtungsvektor in Richtung der vorderen Wand zeigt. Der Richtungsvektor zeigt genau dann zur vorderen Wand, wenn die $x$ -Koordinate positiv ist, also $2\cdot k > 0$ . Diese Bedingung erfüllt $k_1=8,4$ , $k_2=-8,4$ erfüllt sie nicht. Somit ist $k=8,4$ der gesuchte Wert.