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Aufgabe 3A

Aufgaben
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Aufgabe 3A

Ein Betrieb stellt Fruchtgummi aus der Grundsubstanz $\text{R1}$ und drei Fruchtsaftkonzentraten $\text{R2}$, $\text{R3}$ und $\text{R4}$ her. Es entstehen drei Sorten einzelner Fruchtgummitiere $\text{Z1}$, $\text{Z2}$ und $\text{Z3}$. Unterschiedliche Zusammensetzungen aus den drei Sorten ergeben die in Tüten verpackten Sortimente $\text{E1}$ und $\text{E2}$. Die folgenden Tabellen geben an, wie viele Mengeneinheiten (ME) der Grundsubstanz und der Fruchtsaftkonzentrate für je ein Fruchtgummitier bzw. wie viel Stück der Fruchtgummitiere für je eine Tüte der jeweiligen Sortimente benötigt werden. Der dargestellte Übergangsgraph verdeutlicht den Produktionsprozess.
Aufgabe 3A
Abb. 1: Produktionsprozess
Aufgabe 3A
Abb. 1: Produktionsprozess
a)
Gib die fehlenden Werte für $a$ und $b$ aus Tabelle $2$ an.
Erläutere die Bedeutung des Eintrags $0$ in Tabelle $1$ im Sachzusammenhang.
Im Lager befinden sich noch $2.000$ ME der Grundsubstanz $\text{R1}$, $3.000$ ME des Fruchtsaftkonzentrats $\text{R2}$ und $1.000$ Stück der Fruchtgummitiere $\text{Z1}$. Es sollen $50$ Tüten des Sortiments $\text{E1}$ und $50$ Tüten des Sortiments $\text{E2}$ produziert werden. Dabei sollen alle vorhandenen Materialien vollständig verwendet werden.
Bestimme die ME der Grundsubstanz und die ME aller Fruchtsaftkonzentrate, die für diese Produktion nachbestellt werden müssen.
(9P)
b)
Bisher wurden von den Tüten der Sortimente $\text{E1}$ und $\text{E2}$ gleich viele produziert. Die Produktion der Tüten des Sortiments $\text{E1}$ soll um $10\%$ und die Produktion der Tüten von Sortiment $\text{E2}$ soll um $18 \%$ gesteigert werden.
Berechne, um wie viel Prozent der Bedarf für das Fruchtsaftkonzentrat $\text{R4}$ steigt.
Eine Tüte eines neuen Sortiments $\text{E3}$ soll unter folgenden Bedingungen zusammengestellt werden:
  • Sie enthält insgesamt $50$ Stück der Fruchtgummitiere $\text{Z1}$, $\text{Z2}$ und $\text{Z3}$,
  • es werden genau $109$ ME des Fruchtsaftkonzentrats $\text{R2}$ und $80$ ME des Fruchtsaftkonzentrats $\text{R3}$ verwendet,
  • von der Grundsubstanz $\text{R1}$ und dem Fruchtsaftkonzentrat $\text{R4}$ stehen beliebig viele ME zur Verfügung.
Untersuche, ob eine Tüte des neuen Sortiments $\text{E3}$ unter diesen Bedingungen zusammengestellt werden kann.
(5P)
c)
Unabhängig vom Sachzusammenhang sind die Vektoren $\overrightarrow{v}=\pmatrix{v_{1} \\v_{2}}$ mit $v_{1},\,v_{2}\neq0$ gegeben.
Bestimme alle Vektoren $\overrightarrow{v}$, die die folgende Gleichung lösen: $\pmatrix{3 & 2 \\ 6 & 4} \cdot \pmatrix{ v_{1} \\v_{2}}= \pmatrix{0 \\ 0}$.
Damit $\pmatrix{a & b \\ c & d} \cdot \pmatrix{ v_{1} \\v_{2}}= \pmatrix{0\\0}$ mit $v_{1},\,v_{2}\neq0$ Lösungen hat, müssen $a,\, b,\, c,\, d \in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ unabhängig von $v_{1}$ und $v_{2}$ eine Bedingung erfüllen, die als Gleichung formuliert werden kann.
Leite diese Gleichung her. Dokumentiere hierzu einen Lösungsweg, der ohne den Einsatz des Rechners nachvollziehbar ist.
(7P)
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe P1

a)
$\blacktriangleright$ Nullstellen von $\boldsymbol{f_a}$ bestimmen
Um die Nullstellen der Funktion $f_a(x) = -a \cdot x \cdot (x -a)$ zu bestimmen, setzt du die Funktion zunächst gleich null.
Die Funktion $f_a$ ist ein Produkt aus den zwei Faktoren $-a \cdot x$ und $(x-a)$. Diese werden nach dem Satz des Nullprodukts genau dann null, wenn ein Faktor null wird.
b)
$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Das Integral $\displaystyle\int_{0}^{a}\; f_a(x)\mathrm dx$ soll $\dfrac{8}{3}$ sein. Im ersten Schritt berechnest du das Integral $\displaystyle\int_{0}^{a}\; f_a(x)\mathrm dx$ in Abhänigigkeit von $a$, um anschließend das Ergebnis mit $\dfrac{8}{3}$ gleichzusetzen und $a$ zu bestimmen.

Aufgabe P2

a)
$\blacktriangleright$ Bedingungen für keinen Knick/Sprung
In dieser Aufgabe hast du zwei Funktionsterme mit angrenzenden Definitionsbereichen gegeben. Du sollst einen Wert für den Parameter $a$ des zweiten Funktionsterms $g_a(x)$ finden, sodass der Graph der ersten Funktion ohne Unterbrechung oder Knick in den der zweiten Funktion übergeht.
Die Voraussetzungen hierfür sind, dass die Funktionswerte und Steigungen am Übergang ($x=1$) gleich sind. Um dies zu überprüfen, bestimmst du zunächst die Funktions- und Steigungswerte von $x=1$ für den parameterfreien Funktionsterm $f(x)$.
Danach setzt du diese mit dem Funktionsterm mit Parameter $g_a(x)$ bzw. mit dessen Ableitung gleich.
b)
$\blacktriangleright$ Krümmungsruckfreien Übergang untersuchen
Ein krümmungsruckfreier Übergang kann mit der zweiten Ableitung gezeigt werden. Der Funktionswert der zweiten Ableitung an der Übergangsstelle der beiden Funktionen muss gleich sein, um einen krümmungsruckfreien Übergang zu haben.
Eine Parabel ist immer eine Funktion in folgender Form:
$h(x)= a \cdot x^2 + b \cdot x + c$
$h(x)= a \cdot x^2 + b \cdot x + c$
Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist $a$ immer negativ. Leitest du eine solche Funktion zweimal ab besteht diese Ableitung nur noch aus einer negativen Zahl.

Aufgabe P3

a)
$\blacktriangleright$ Gültigkeit der Gleichung zur Beschreibung von $\boldsymbol{t_a}$ für jeden Wert von $\boldsymbol{a}$ nachweisen
Eine Tangente ist eine Gerade und kann immer durch eine Steigung des Graphen $f$ und einen $y$-Achsenabschnitt beschrieben werden. Um zu zeigen, dass die in der Aufgabenstellung gegebene Tangente der Tangente an der Stelle $(-1 \mid f_a(-1))$ entspricht, musst du nachweisen, dass die Steigung der gegebenen Tangente der Steigung an der Stelle $x=-1$ entspricht und, dass eine Gerade durch den Punkt $(-1 \mid f_a(-1))$ mit dieser Steigung den $y$-Achsenabschnitt $2 \cdot a \cdot e^{a-1}$ hat.
b)
$\blacktriangleright$ Dreiecksflächeninhalt bestimmen
Um den Flächeninhalt des beschriebenen Dreiecks zu berechnen, benötigst du die Länge $(g)$ der Grundseite und die Höhe $(h)$ des Dreiecks. Die Länge der Grundseite entspricht dem Abstand der Nullstelle zum Ursprung.
Die Höhe entspricht dem in der Tangentengleichung gegebenen $y$-Achsenabschnitt $(2 \cdot a \cdot e^{a-1})$. Zur Bestimmung der Länge $g$ der Grundseite bestimmst du zunächst die Nullstelle der Tangente.

Aufgabe P4

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für mindestens $\boldsymbol{8}$ Treffer bestimmen
Du sollst in diesem Aufgabenteil anhand der Abbildung die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Basketballer mindestens $8$-mal trifft, d.h. $P(X \geq 8)$ ist gesucht. Mit $X$ bezeichnet man die Anzahl der Treffer. Die Wahrscheinlichkeiten dafür kannst du in der Abbildung ablesen.
b)
$\blacktriangleright$ Nachweis der Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer
Um zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass kein Treffer erzielt wird, unter $\dfrac{1}{1.000.000}$ liegt, musst du die Formel für die Binomialverteilung verwenden, da die Trefferwahrscheinlichkeit als binominalverteilt angenommen wird.
$B_{n,p}(k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$B_{n,p}(k) $=$ \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
Dabei ist $n$ die Anzahl der Versuche, $p$ die Wahrscheinlichkeit in einem einzelnen Versuch einen Erfolg zu erzielen und $k$ die Anzahl der Erfolge.

Aufgabe P5

a)
$\blacktriangleright$ Koordinatenachsen zeichnen
Der Punkt $H$ hat die Koordinaten $(0 \mid 0 \mid 0)$, d.h. der Ursprung des Koordinatensystems liegt in $H$. Da der Punkt $E$ als erste Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich Null sind, ist die $x$-Achse die Gerade $EH$. Die Richtung der $x$-Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HE}$. Das Vorgehen bei der $y$-Achse ist analog.
b)
$\blacktriangleright$ Punkt $\boldsymbol{P}$ bestimmen
Sind zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2 \mid z_2)$ gegeben, so ist der Abstand $\boldsymbol{d}$ der beiden Punkte definiert als
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}$
$\boldsymbol{d =}$$\boldsymbol{ \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}$
Der Punkt $P$ soll auf der Kante $\overline{FB}$ des Würfels liegen und soll zum Punkt $H$ (dem Ursprung des Koordinatensystems) den Abstand $3$ haben, d.h. $d=3$. Die Koordinaten des zweiten Punkts $H$ sind gegeben. Die Koordinaten des ersten Punkts $P$ kannst du mithilfe des Ortvektors von $F$ und dem Vektor $\overrightarrow{FB}$ umschreiben.
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Lösungen TI
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Aufgabe 3A

a)
$\blacktriangleright$  Fehlende Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ angeben
Mit Hilfe des gegebenen Übergangsgraphen sollst du die fehlenden Werte für $a$ und $b$ in Tabelle 2 bestimmen. Diese Tabelle beschreibt, wie viele Fruchtgummitiere $Z1$, $Z2$ und $Z3$ jeweils in den Tüten $E1$ und $E2$ drin sind. Der Wert $a$ ist die Anzahl der Fruchtgummitiere $Z1$, die in der Tüte $E1$ drin sind. Aus dem Graphen abgelesen erhältst du:
$a=15$
Der Wert $b$ gibt an wie viele Fruchtgummitiere $Z2$ in der Packung $E2$ sind. Auch diesen Wert kannst du aus dem Übergangsgraphen ablesen.
$b=17$
Der Wert für $a=15$ und für $b=17$.
$\blacktriangleright$  Eintrag $\boldsymbol{0}$ erläutern
In der Tabelle 1 gibt es einen Eintrag 0. Dieser Eintrag bedeutet, dass für die Fruchtgummitiere $Z1$ $0$ Mengeneinheiten vom Fruchtsaftkonzentrat $R3$ benötigt werden.
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{ME}$ berechnen, die nachbestellt werden müssen
In dieser Aufgabe sollen jeweils $50$ Tüten $E1$ und $E2$ hergestellt werden. Im Lager befinden sich noch:
Grundsubstanz $R1$:$2.000\;ME$
Fruchtsaftkonzentrat $R2$:$3.000\;ME$
Fruchtgummitiere $Z1$$1.000\;ME$
Berechne als erstes, wie viele Fruchtgummitiere hergestellt werden müssen. Multipliziere die Matrix $M_1$ des Übergangsgraphen (Tabelle 2) mit einem Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}$. Da $50$ Tüten von $E1$ und $E2$ hergestellt werden sollen, hat der Verteilungsvektor die Einträge $\overrightarrow{v}=\pmatrix{50 \\ 50}$. Als Ergebnis erhältst du einen Vektor $\overrightarrow{w}$ der angibt, wie viele Fruchtgummitiere $Z1$, $Z2$ und $Z3$ hergestellt werden müssen. Diesen kannst du anschließend mit der zweiten Übergangsmatrix $M_2$ (Tabelle 1) multiplizieren und du erhältst die Mengeneinheiten der benötigten Fruchtsaftkonzentrate. Um dann zu berechnen, wie viele Mengeneinheiten noch bestellt werden müssen, subtrahierst du die Vorräte mit den benötigten Mengeneinheiten.
1. Schritt: $\boldsymbol{M_1}$ mit $\boldsymbol{\overrightarrow{v}}$ multiplizieren
$M_1 \cdot \overrightarrow{v}=\pmatrix{15 & 16 \\ 20 & 17 \\ 15 & 17} \cdot \pmatrix{50 \\ 50 } = \pmatrix{1.550 \\ 1.850 \\ 1.600} = \pmatrix{\text{Anzahl}\; Z1 \\ \text{Anzahl}\; Z2 \\ \text{Anzahl} \;Z3 }= \overrightarrow{w}$
$M_1 \cdot \overrightarrow{v}= \pmatrix{1.550 \\ 1.850 \\ 1.600} $
Von den Fruchtgummitieren $Z1$ sind noch $1.000$ vorrätig, es müssen also nur $550$ produziert werden. Somit ändert sich der erste Eintrag des Vektors $\overrightarrow{w} = \pmatrix{550 \\ 1.850 \\ 1.600} $.
2. Schritt: $\boldsymbol{M_2}$ mit $\boldsymbol{\overrightarrow{w}}$ multiplizieren
$M_2 \cdot \overrightarrow{w} = \pmatrix{13 & 12 & 12 \\ 3& 2& 2 \\ 0& 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 } \cdot \pmatrix{550 \\ 1.850 \\ 1.600} = \pmatrix{48.550 \\ 8.550 \\6.650 \\ 8.250} = \pmatrix{ME\; R1 \\ ME\; R2 \\ ME\; R3 \\ ME\; R4} $
$M_2 \cdot \overrightarrow{w} = \pmatrix{48.550 \\ 8.550 \\6.650 \\ 8.250} $
3. Schritt: Benötigte Mengen mit den Vorräten verrechnen
Von der Grundsubstanz $R1$ werden $48.550\; ME$ benötigt, $2.000\;ME$ sind vorrätig.
$R1= 48.550 - 2.000 = 46.550$
Vom Fruchtsaftkonzentrat $R2$ werden $11.550\;ME$ benötigt und $3.000\;$ sind vorrätig.
$R2= 8.550 - 3.000 = 5.550$
Von der Grundsubstanz $R1$ müssen $46.550\; ME$ bestellt werden und von den Fruchtsaftkonzentraten müssen folgende Mengeneinheiten bestellt werden: $R2=5.550$, $R3=6.650$ und $R4= 8.250$.
b)
$\blacktriangleright$  Berechnen, um wie viel Prozent der Bedarf an $\boldsymbol{R4}$ steigt
In dieser Aufgabe sollst du berechnen, um wie viel Prozent der bedarf des Fruchtsaftkonzentrates steigt, wenn die Produktion der Tüte $E1$ um $10\%$ und die der Tüte $E2$ um $18\%$ gesteigert wird.
Berechne dazu als erstes, wie viel Fruchtsaftkonzentrat $R4$ für eine Tüte $E1$ und eine Tüte $E2$ benötigt wird. Dazu kannst du die beiden Übergangsmatrizen miteinander multiplizieren. In der Lösungsmatrix gibt dann die letzte Zeile an, wie viele Mengeneinheiten $R4$ für $E1$ und $E2$ benötigt wird. Im nächsten Schritt kannst du dann berechnen, wie viele $ME$ von $R4$ benötigt werden, wenn die Produktion erhöht wird. Du erhältst dann den gesuchten Prozentwert, wenn du durch die Mengeneinheiten teilst, die für jeweils eine Tüte benötigt werden.
1. Schritt: Matrizen multiplizieren
$\pmatrix{13 & 12 & 12 \\ 3& 2& 2 \\ 0& 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 } \cdot \pmatrix{15 & 16 \\ 20 & 17 \\ 15 & 17} = \pmatrix{615 & 616 \\ 115 & 116\\ 65 & 68 \\ 105 & 100}$
$ = \pmatrix{615 & 616 \\ 115 & 116\\ 65 & 68 \\ 105 & 100}$
2. Schritt: Mengenheiten der Produktionssteigerung
Multipliziere den ersten Eintrag der letzten Zeile mit $1,10$ und dem zweiten Eintrag mit $1,18$ und addiere die neuen Mengeneinheiten.
$105 \cdot 1,1 + 100\cdot 1,18 = 233,5$
3. Schritt: Prozentwert berechnen
Dividiere die benötigten Mengeneinheiten der Produktionssteigerung durch die Summe der Mengeneinheiten, die für jeweils eine Tüte benötigt werden.
$\dfrac{233,5}{105+100}= \dfrac{233,5}{205} = 1,139 $
Der Bedarf des Fruchtsaftkonzentrats $R4$ steigt somit um ungefähr $14\%$.
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob die Tüte $E3$ zusammengestellt werden kann
In dieser Aufgabe sollst du prüfen, ob die Tüte $E3$ unter bestimmten Bedingungen zusammengestellt werden kann.
Die erste Bedingung ist, dass die Tüte $E3$ aus insgesamt $50$ Fruchtgummitieren besteht. Die erste Gleichung ist somit: $E3 = z_1 +z_2 + z_3 = 50$
Für die beiden anderen Bedingungen kannst du die Verteilung aus dem Aufgabenteil a) verwenden. Da nur die Fruchtsaftkonzentrate $R2$ und $R3$ vorgegeben sind, erhältst du mit der zweiten und dritten Zeile der zweiten Übergangsmatrix zwei weitere Gleichungen. Ist die Lösung für $z_1$, $z_2$ und $z_3$ eine ganze Zahl, kann die Tüte $E3$ unter den gegebenen Bedingungen produziert werden.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& z_1 + z_2+z_3 &=& 50 \\ \text{II}\quad& 3z_1+2z_2 + 2z_3 &=& 109 \\ \text{III}\quad& z_2 + 3z_3 &=& 80 \\ \end{array}$
Dieses Gleichungssystem kannst du mit deinem Taschenrechner lösen.
Aufgabe 3A
Abb. 1: lineares Gleichungssystem lösen
Aufgabe 3A
Abb. 1: lineares Gleichungssystem lösen
Da $z_3$ für die Anzahl der Fruchtgummitiere $Z3$ steht, muss die Anzahl von $Z3$ eine ganze Zahl sein. Da die berechnete Anzahl der Fruchtgummitiere $Z3$ keine ganze Zahl ist, kann die Tüte $E3$ unter den gegebenen Bedingungen nicht produziert werden.
c)
$\blacktriangleright$  Alle Vektoren $\boldsymbol{\overrightarrow{v}}$ bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du alle Vektoren bestimmen, die die Gleichung $\pmatrix{3 & 2 \\ 6 & 4} \cdot \pmatrix{v_1 \\ v_2} = \pmatrix{0 \\ 0}$ lösen. Du erhältst ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 3v_1 + 2v_2 &=& 0 \quad \\ \text{II}\quad& 6v_1 + 4v_2 &=& 0\quad\\ \end{array}$
Löse das lineare Gleichungssystem mit deinem Taschenrechner.
Aufgabe 3A
Abb. 2: lineares Gleichungssystem lösen
Aufgabe 3A
Abb. 2: lineares Gleichungssystem lösen
Da in der Aufagbe gegeben ist, dass $v_1$, $v_2 \neq 0 $ sind, sind die Vektoren, die die Gleichung lösen, $\overrightarrow{v}= t \cdot \pmatrix{-\frac{2}{3} \\ 1}$ für $t\in \mathbb{R}$ \ {$0$}.
$\blacktriangleright$  Gleichung herleiten
In dieser Aufgabe sollst du die Bedingung herleiten, für die die Gleichung $\pmatrix{a & b \\ c & d}\cdot \pmatrix{v_1\\ v_2} = \pmatrix{0 \\ 0}$ mit $v_1$, $v_2 \neq 0 $ und $a$, $b$, $c$, $d$ $\in \mathbb{R}$ \ {$0$} erfüllt ist.
Auch hier erhältst du zwei Gleichugen mit zwei Unbekannten. Versuche die Gleichungen nach $v_1$ und $v_2$ zu lösen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&av_1 + bv_2&=& 0 \\ \text{II}\quad&cv_1 + dv_2&=& 0\quad\\ \end{array}$
Löse zum Beispiel die erste Gleichung nach $v_1$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} av_1+ bv_2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -bv_2\\[5pt] av_1&=& - bv_2 &\quad \scriptsize \mid\; :a\\[5pt] v_1 &=& -\dfrac{b}{a}v_2 \end{array}$
Jetzt kannst du $v_1$ in die zweite Gleichung einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} c\cdot \left(-\dfrac{b}{a}\right)v_2 + dv_2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;v_2\; \text{ausklammern} \\[5pt] v_2 \left(-\dfrac{cb}{a} + d\right)&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} v_2 \left(-\dfrac{cb}{a} + d\right)&=& 0 \end{array}$
Nach dem Satz vom Nullprodukt muss entweder $v_2=0$ oder $-\dfrac{cb}{a}+d=0$ sein. Da nach Voraussetzung aber $v_2 \neq 0$ gilt, muss somit die Gleichung $-\dfrac{cb}{a}+d=0$ erfüllt sein.
Diese Gleichung kannst du noch umschreiben.
$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{cb}{a}+d &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -d \mid\; \cdot a \\[5pt] -cb&=&-da &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \mid\; -da \\[5pt] cb- da &=& 0 \end{array}$
Die Bedingung $cb- da = 0$ muss unabhängig von $v_1$ und $v_2$ erfüllt werden, damit die Gleichung $\pmatrix{a & b \\ c & d}\cdot \pmatrix{v_1\\ v_2} = \pmatrix{0 \\ 0}$ erfüllt ist.
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Aufgabe 3A

a)
$\blacktriangleright$  Fehlende Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ angeben
Mit Hilfe des gegebenen Übergangsgraphen sollst du die fehlenden Werte für $a$ und $b$ in Tabelle 2 bestimmen. Diese Tabelle beschreibt, wie viele Fruchtgummitiere $Z1$, $Z2$ und $Z3$ jeweils in den Tüten $E1$ und $E2$ drin sind. Der Wert $a$ ist die Anzahl der Fruchtgummitiere $Z1$, die in der Tüte $E1$ drin sind. Aus dem Graphen abgelesen erhältst du:
$a=15$
Der Wert $b$ gibt an wie viele Fruchtgummitiere $Z2$ in der Packung $E2$ sind. Auch diesen Wert kannst du aus dem Übergangsgraphen ablesen.
$b=17$
Der Wert für $a=15$ und für $b=17$.
$\blacktriangleright$  Eintrag $\boldsymbol{0}$ erläutern
In der Tabelle 1 gibt es einen Eintrag 0. Dieser Eintrag bedeutet, dass für die Fruchtgummitiere $Z1$ $0$ Mengeneinheiten vom Fruchtsaftkonzentrat $R3$ benötigt werden.
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{ME}$ berechnen, die nachbestellt werden müssen
In dieser Aufgabe sollen jeweils $50$ Tüten $E1$ und $E2$ hergestellt werden. Im Lager befinden sich noch:
Grundsubstanz $R1$:$2.000\;ME$
Fruchtsaftkonzentrat $R2$:$3.000\;ME$
Fruchtgummitiere $Z1$$1.000\;ME$
Berechne als erstes, wie viele Fruchtgummitiere hergestellt werden müssen. Multipliziere die Matrix $M_1$ des Übergangsgraphen (Tabelle 2) mit einem Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}$. Da $50$ Tüten von $E1$ und $E2$ hergestellt werden sollen, hat der Verteilungsvektor die Einträge $\overrightarrow{v}=\pmatrix{50 \\ 50}$. Als Ergebnis erhältst du einen Vektor $\overrightarrow{w}$ der angibt, wie viele Fruchtgummitiere $Z1$, $Z2$ und $Z3$ hergestellt werden müssen. Diesen kannst du anschließend mit der zweiten Übergangsmatrix $M_2$ (Tabelle 1) multiplizieren und du erhältst die Mengeneinheiten der benötigten Fruchtsaftkonzentrate. Um dann zu berechnen, wie viele Mengeneinheiten noch bestellt werden müssen, subtrahierst du die Vorräte mit den benötigten Mengeneinheiten.
1. Schritt: $\boldsymbol{M_1}$ mit $\boldsymbol{\overrightarrow{v}}$ multiplizieren
$M_1 \cdot \overrightarrow{v}=\pmatrix{15 & 16 \\ 20 & 17 \\ 15 & 17} \cdot \pmatrix{50 \\ 50 } = \pmatrix{1.550 \\ 1.850 \\ 1.600} = \pmatrix{\text{Anzahl}\; Z1 \\ \text{Anzahl}\; Z2 \\ \text{Anzahl} \;Z3 }= \overrightarrow{w}$
$M_1 \cdot \overrightarrow{v}= \pmatrix{1.550 \\ 1.850 \\ 1.600} $
Von den Fruchtgummitieren $Z1$ sind noch $1.000$ vorrätig, es müssen also nur $550$ produziert werden. Somit ändert sich der erste Eintrag des Vektors $\overrightarrow{w} = \pmatrix{550 \\ 1.850 \\ 1.600} $.
2. Schritt: $\boldsymbol{M_2}$ mit $\boldsymbol{\overrightarrow{w}}$ multiplizieren
$M_2 \cdot \overrightarrow{w} = \pmatrix{13 & 12 & 12 \\ 3& 2& 2 \\ 0& 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 } \cdot \pmatrix{550 \\ 1.850 \\ 1.600} = \pmatrix{48.550 \\ 8.550 \\6.650 \\ 8.250} = \pmatrix{ME\; R1 \\ ME\; R2 \\ ME\; R3 \\ ME\; R4} $
$M_2 \cdot \overrightarrow{w} = \pmatrix{48.550 \\ 8.550 \\6.650 \\ 8.250} $
3. Schritt: Benötigte Mengen mit den Vorräten verrechnen
Von der Grundsubstanz $R1$ werden $48.550\; ME$ benötigt, $2.000\;ME$ sind vorrätig.
$R1= 48.550 - 2.000 = 46.550$
Vom Fruchtsaftkonzentrat $R2$ werden $11.550\;ME$ benötigt und $3.000\;$ sind vorrätig.
$R2= 8.550 - 3.000 = 5.550$
Von der Grundsubstanz $R1$ müssen $46.550\; ME$ bestellt werden und von den Fruchtsaftkonzentraten müssen folgende Mengeneinheiten bestellt werden: $R2=5.550$, $R3=6.650$ und $R4= 8.250$.
b)
$\blacktriangleright$  Berechnen, um wie viel Prozent der Bedarf an $\boldsymbol{R4}$ steigt
In dieser Aufgabe sollst du berechnen, um wie viel Prozent der bedarf des Fruchtsaftkonzentrates steigt, wenn die Produktion der Tüte $E1$ um $10\%$ und die der Tüte $E2$ um $18\%$ gesteigert wird.
Berechne dazu als erstes, wie viel Fruchtsaftkonzentrat $R4$ für eine Tüte $E1$ und eine Tüte $E2$ benötigt wird. Dazu kannst du die beiden Übergangsmatrizen miteinander multiplizieren. In der Lösungsmatrix gibt dann die letzte Zeile an, wie viele Mengeneinheiten $R4$ für $E1$ und $E2$ benötigt wird. Im nächsten Schritt kannst du dann berechnen, wie viele $ME$ von $R4$ benötigt werden, wenn die Produktion erhöht wird. Du erhältst dann den gesuchten Prozentwert, wenn du durch die Mengeneinheiten teilst, die für jeweils eine Tüte benötigt werden.
1. Schritt: Matrizen multiplizieren
$\pmatrix{13 & 12 & 12 \\ 3& 2& 2 \\ 0& 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 } \cdot \pmatrix{15 & 16 \\ 20 & 17 \\ 15 & 17} = \pmatrix{615 & 616 \\ 115 & 116\\ 65 & 68 \\ 105 & 100}$
$ = \pmatrix{615 & 616 \\ 115 & 116\\ 65 & 68 \\ 105 & 100}$
2. Schritt: Mengenheiten der Produktionssteigerung
Multipliziere den ersten Eintrag der letzten Zeile mit $1,10$ und dem zweiten Eintrag mit $1,18$ und addiere die neuen Mengeneinheiten.
$105 \cdot 1,1 + 100\cdot 1,18 = 233,5$
3. Schritt: Prozentwert berechnen
Dividiere die benötigten Mengeneinheiten der Produktionssteigerung durch die Summe der Mengeneinheiten, die für jeweils eine Tüte benötigt werden.
$\dfrac{233,5}{105+100}= \dfrac{233,5}{205} = 1,139 $
Der Bedarf des Fruchtsaftkonzentrats $R4$ steigt somit um ungefähr $14\%$.
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob die Tüte $E3$ zusammengestellt werden kann
In dieser Aufgabe sollst du prüfen, ob die Tüte $E3$ unter bestimmten Bedingungen zusammengestellt werden kann.
Die erste Bedingung ist, dass die Tüte $E3$ aus insgesamt $50$ Fruchtgummitieren besteht. Die erste Gleichung ist somit: $E3 = z_1 +z_2 + z_3 = 50$
Für die beiden anderen Bedingungen kannst du die Verteilung aus dem Aufgabenteil a) verwenden. Da nur die Fruchtsaftkonzentrate $R2$ und $R3$ vorgegeben sind, erhältst du mit der zweiten und dritten Zeile der zweiten Übergangsmatrix zwei weitere Gleichungen. Ist die Lösung für $z_1$, $z_2$ und $z_3$ eine ganze Zahl, kann die Tüte $E3$ unter den gegebenen Bedingungen produziert werden.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& z_1 + z_2+z_3 &=& 50 \\ \text{II}\quad& 3z_1+2z_2 + 2z_3 &=& 109 \\ \text{III}\quad& z_2 + 3z_3 &=& 80 \\ \end{array}$
Dieses Gleichungssystem kannst du mit deinem Taschenrechner lösen.
Aufgabe 3A
Abb. 1: lineares Gleichungssystem lösen
Aufgabe 3A
Abb. 1: lineares Gleichungssystem lösen
Da $z_3$ für die Anzahl der Fruchtgummitiere $Z3$ steht, muss die Anzahl von $Z3$ eine ganze Zahl sein. Da die berechnete Anzahl der Fruchtgummitiere $Z3$ keine ganze Zahl ist, kann die Tüte $E3$ unter den gegebenen Bedingungen nicht produziert werden.
c)
$\blacktriangleright$  Alle Vektoren $\boldsymbol{\overrightarrow{v}}$ bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du alle Vektoren bestimmen, die die Gleichung $\pmatrix{3 & 2 \\ 6 & 4} \cdot \pmatrix{v_1 \\ v_2} = \pmatrix{0 \\ 0}$ lösen. Du erhältst ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 3v_1 + 2v_2 &=& 0 \quad \\ \text{II}\quad& 6v_1 + 4v_2 &=& 0\quad\\ \end{array}$
Löse das lineare Gleichungssystem mit deinem Taschenrechner.
Aufgabe 3A
Abb. 2: lineares Gleichungssystem lösen
Aufgabe 3A
Abb. 2: lineares Gleichungssystem lösen
Da in der Aufagbe gegeben ist, dass $v_1$, $v_2 \neq 0 $ sind, sind die Vektoren, die die Gleichung lösen, $\overrightarrow{v}= t \cdot \pmatrix{-\frac{2}{3} \\ 1}$ für $t\in \mathbb{R}$ \ {$0$}.
$\blacktriangleright$  Gleichung herleiten
In dieser Aufgabe sollst du die Bedingung herleiten, für die die Gleichung $\pmatrix{a & b \\ c & d}\cdot \pmatrix{v_1\\ v_2} = \pmatrix{0 \\ 0}$ mit $v_1$, $v_2 \neq 0 $ und $a$, $b$, $c$, $d$ $\in \mathbb{R}$ \ {$0$} erfüllt ist.
Auch hier erhältst du zwei Gleichugen mit zwei Unbekannten. Versuche die Gleichungen nach $v_1$ und $v_2$ zu lösen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&av_1 + bv_2&=& 0 \\ \text{II}\quad&cv_1 + dv_2&=& 0\quad\\ \end{array}$
Löse zum Beispiel die erste Gleichung nach $v_1$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} av_1+ bv_2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -bv_2\\[5pt] av_1&=& - bv_2 &\quad \scriptsize \mid\; :a\\[5pt] v_1 &=& -\dfrac{b}{a}v_2 \end{array}$
Jetzt kannst du $v_1$ in die zweite Gleichung einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} c\cdot \left(-\dfrac{b}{a}\right)v_2 + dv_2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;v_2\; \text{ausklammern} \\[5pt] v_2 \left(-\dfrac{cb}{a} + d\right)&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} v_2 \left(-\dfrac{cb}{a} + d\right)&=& 0 \end{array}$
Nach dem Satz vom Nullprodukt muss entweder $v_2=0$ oder $-\dfrac{cb}{a}+d=0$ sein. Da nach Voraussetzung aber $v_2 \neq 0$ gilt, muss somit die Gleichung $-\dfrac{cb}{a}+d=0$ erfüllt sein.
Diese Gleichung kannst du noch umschreiben.
$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{cb}{a}+d &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -d \mid\; \cdot a \\[5pt] -cb&=&-da &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \mid\; -da \\[5pt] cb- da &=& 0 \end{array}$
Die Bedingung $cb- da = 0$ muss unabhängig von $v_1$ und $v_2$ erfüllt werden, damit die Gleichung $\pmatrix{a & b \\ c & d}\cdot \pmatrix{v_1\\ v_2} = \pmatrix{0 \\ 0}$ erfüllt ist.
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© 2016 – SchulLV.
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