Aufgabe 3A

Ein Betrieb stellt Fruchtgummi aus der Grundsubstanz $\text{R1}$ und drei Fruchtsaftkonzentraten $\text{R2}$ , $\text{R3}$ und $\text{R4}$ her. Es entstehen drei Sorten einzelner Fruchtgummitiere $\text{Z1}$ , $\text{Z2}$ und $\text{Z3}$ . Unterschiedliche Zusammensetzungen aus den drei Sorten ergeben die in Tüten verpackten Sortimente $\text{E1}$ und $\text{E2}$ . Die folgenden Tabellen geben an, wie viele Mengeneinheiten (ME) der Grundsubstanz und der Fruchtsaftkonzentrate für je ein Fruchtgummitier bzw. wie viel Stück der Fruchtgummitiere für je eine Tüte der jeweiligen Sortimente benötigt werden. Der dargestellte Übergangsgraph verdeutlicht den Produktionsprozess.

	Z1	Z2	Z3
R1	13	12	12
R2	3	2	2
R3	0	1	3
R4	2	3	1

Tabelle $1$

	E1	E2
Z1	a	16
Z2	20	b
Z3	15	17

Tabelle $2$

Diagramm mit Knoten und Pfeilen, das Beziehungen zwischen verschiedenen Elementen darstellt.

Abb. 1: Produktionsprozess

Gib die fehlenden Werte für $a$ und $b$ aus Tabelle $2$ an.
Erläutere die Bedeutung des Eintrags $0$ in Tabelle $1$ im Sachzusammenhang.
Im Lager befinden sich noch $2.000$ ME der Grundsubstanz $\text{R1}$ , $3.000$ ME des Fruchtsaftkonzentrats $\text{R2}$ und $1.000$ Stück der Fruchtgummitiere $\text{Z1}$ . Es sollen $50$ Tüten des Sortiments $\text{E1}$ und $50$ Tüten des Sortiments $\text{E2}$ produziert werden. Dabei sollen alle vorhandenen Materialien vollständig verwendet werden.
Bestimme die ME der Grundsubstanz und die ME aller Fruchtsaftkonzentrate, die für diese Produktion nachbestellt werden müssen.

(9P)

Bisher wurden von den Tüten der Sortimente $\text{E1}$ und $\text{E2}$ gleich viele produziert. Die Produktion der Tüten des Sortiments $\text{E1}$ soll um $10\%$ und die Produktion der Tüten von Sortiment $\text{E2}$ soll um $18 \%$ gesteigert werden.
Berechne, um wie viel Prozent der Bedarf für das Fruchtsaftkonzentrat $\text{R4}$ steigt.
Eine Tüte eines neuen Sortiments $\text{E3}$ soll unter folgenden Bedingungen zusammengestellt werden:

Sie enthält insgesamt $50$ Stück der Fruchtgummitiere $\text{Z1}$ , $\text{Z2}$ und $\text{Z3}$ ,

es werden genau $109$ ME des Fruchtsaftkonzentrats $\text{R2}$ und $80$ ME des Fruchtsaftkonzentrats $\text{R3}$ verwendet,

von der Grundsubstanz $\text{R1}$ und dem Fruchtsaftkonzentrat $\text{R4}$ stehen beliebig viele ME zur Verfügung.

Untersuche, ob eine Tüte des neuen Sortiments $\text{E3}$ unter diesen Bedingungen zusammengestellt werden kann.

(5P)

Unabhängig vom Sachzusammenhang sind die Vektoren $\overrightarrow{v}=\pmatrix{v_{1} \\v_{2}}$ mit $v_{1},\,v_{2}\neq0$ gegeben.
Bestimme alle Vektoren $\overrightarrow{v}$ , die die folgende Gleichung lösen: $\pmatrix{3 & 2 \\ 6 & 4} \cdot \pmatrix{ v_{1} \\v_{2}}= \pmatrix{0 \\ 0}$ .
Damit $\pmatrix{a & b \\ c & d} \cdot \pmatrix{ v_{1} \\v_{2}}= \pmatrix{0\\0}$ mit $v_{1},\,v_{2}\neq0$ Lösungen hat, müssen $a,\, b,\, c,\, d \in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ unabhängig von $v_{1}$ und $v_{2}$ eine Bedingung erfüllen, die als Gleichung formuliert werden kann.
Leite diese Gleichung her. Dokumentiere hierzu einen Lösungsweg, der ohne den Einsatz des Rechners nachvollziehbar ist.

(7P)

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Aufgabe 3A

$\blacktriangleright$ Fehlende Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ angeben

Mit Hilfe des gegebenen Übergangsgraphen sollst du die fehlenden Werte für $a$ und $b$ in Tabelle 2 bestimmen. Diese Tabelle beschreibt, wie viele Fruchtgummitiere $Z1$ , $Z2$ und $Z3$ jeweils in den Tüten $E1$ und $E2$ drin sind. Der Wert $a$ ist die Anzahl der Fruchtgummitiere $Z1$ , die in der Tüte $E1$ drin sind. Aus dem Graphen abgelesen erhältst du:

$a=15$

Der Wert $b$ gibt an wie viele Fruchtgummitiere $Z2$ in der Packung $E2$ sind. Auch diesen Wert kannst du aus dem Übergangsgraphen ablesen.

$b=17$

Der Wert für $a=15$ und für $b=17$ .

$\blacktriangleright$ Eintrag $\boldsymbol{0}$ erläutern

In der Tabelle 1 gibt es einen Eintrag 0. Dieser Eintrag bedeutet, dass für die Fruchtgummitiere $Z1$ $0$ Mengeneinheiten vom Fruchtsaftkonzentrat $R3$ benötigt werden.

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{ME}$ berechnen, die nachbestellt werden müssen

In dieser Aufgabe sollen jeweils $50$ Tüten $E1$ und $E2$ hergestellt werden. Im Lager befinden sich noch:

Grundsubstanz $R1$ :	$2.000\;ME$
Fruchtsaftkonzentrat $R2$ :	$3.000\;ME$
Fruchtgummitiere $Z1$	$1.000\;ME$

Berechne als erstes, wie viele Fruchtgummitiere hergestellt werden müssen. Multipliziere die Matrix $M_1$ des Übergangsgraphen (Tabelle 2) mit einem Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}$ . Da $50$ Tüten von $E1$ und $E2$ hergestellt werden sollen, hat der Verteilungsvektor die Einträge $\overrightarrow{v}=\pmatrix{50 \\ 50}$ . Als Ergebnis erhältst du einen Vektor $\overrightarrow{w}$ der angibt, wie viele Fruchtgummitiere $Z1$ , $Z2$ und $Z3$ hergestellt werden müssen. Diesen kannst du anschließend mit der zweiten Übergangsmatrix $M_2$ (Tabelle 1) multiplizieren und du erhältst die Mengeneinheiten der benötigten Fruchtsaftkonzentrate. Um dann zu berechnen, wie viele Mengeneinheiten noch bestellt werden müssen, subtrahierst du die Vorräte mit den benötigten Mengeneinheiten.

1. Schritt: $\boldsymbol{M_1}$ mit $\boldsymbol{\overrightarrow{v}}$ multiplizieren

$M_1 \cdot \overrightarrow{v}= \pmatrix{1.550 \\ 1.850 \\ 1.600}$

Vollständige Lösung anzeigen

Von den Fruchtgummitieren $Z1$ sind noch $1.000$ vorrätig, es müssen also nur $550$ produziert werden. Somit ändert sich der erste Eintrag des Vektors $\overrightarrow{w} = \pmatrix{550 \\ 1.850 \\ 1.600}$ .

2. Schritt: $\boldsymbol{M_2}$ mit $\boldsymbol{\overrightarrow{w}}$ multiplizieren

$M_2 \cdot \overrightarrow{w} = \pmatrix{48.550 \\ 8.550 \\6.650 \\ 8.250}$

Vollständige Lösung anzeigen

3. Schritt: Benötigte Mengen mit den Vorräten verrechnen

Von der Grundsubstanz $R1$ werden $48.550\; ME$ benötigt, $2.000\;ME$ sind vorrätig.

$R1= 48.550 - 2.000 = 46.550$

Vom Fruchtsaftkonzentrat $R2$ werden $11.550\;ME$ benötigt und $3.000\;$ sind vorrätig.

$R2= 8.550 - 3.000 = 5.550$

Von der Grundsubstanz $R1$ müssen $46.550\; ME$ bestellt werden und von den Fruchtsaftkonzentraten müssen folgende Mengeneinheiten bestellt werden: $R2=5.550$ , $R3=6.650$ und $R4= 8.250$ .

$\blacktriangleright$ Berechnen, um wie viel Prozent der Bedarf an $\boldsymbol{R4}$ steigt

In dieser Aufgabe sollst du berechnen, um wie viel Prozent der bedarf des Fruchtsaftkonzentrates steigt, wenn die Produktion der Tüte $E1$ um $10\%$ und die der Tüte $E2$ um $18\%$ gesteigert wird.

Berechne dazu als erstes, wie viel Fruchtsaftkonzentrat $R4$ für eine Tüte $E1$ und eine Tüte $E2$ benötigt wird. Dazu kannst du die beiden Übergangsmatrizen miteinander multiplizieren. In der Lösungsmatrix gibt dann die letzte Zeile an, wie viele Mengeneinheiten $R4$ für $E1$ und $E2$ benötigt wird. Im nächsten Schritt kannst du dann berechnen, wie viele $ME$ von $R4$ benötigt werden, wenn die Produktion erhöht wird. Du erhältst dann den gesuchten Prozentwert, wenn du durch die Mengeneinheiten teilst, die für jeweils eine Tüte benötigt werden.

1. Schritt: Matrizen multiplizieren

$= \pmatrix{615 & 616 \\ 115 & 116\\ 65 & 68 \\ 105 & 100}$

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2. Schritt: Mengenheiten der Produktionssteigerung

Multipliziere den ersten Eintrag der letzten Zeile mit $1,10$ und dem zweiten Eintrag mit $1,18$ und addiere die neuen Mengeneinheiten.

$105 \cdot 1,1 + 100\cdot 1,18 = 233,5$

3. Schritt: Prozentwert berechnen

Dividiere die benötigten Mengeneinheiten der Produktionssteigerung durch die Summe der Mengeneinheiten, die für jeweils eine Tüte benötigt werden.

$\dfrac{233,5}{105+100}= \dfrac{233,5}{205} = 1,139$

Der Bedarf des Fruchtsaftkonzentrats $R4$ steigt somit um ungefähr $14\%$ .

$\blacktriangleright$ Prüfen, ob die Tüte $E3$ zusammengestellt werden kann

In dieser Aufgabe sollst du prüfen, ob die Tüte $E3$ unter bestimmten Bedingungen zusammengestellt werden kann.

Die erste Bedingung ist, dass die Tüte $E3$ aus insgesamt $50$ Fruchtgummitieren besteht. Die erste Gleichung ist somit: $E3 = z_1 +z_2 + z_3 = 50$

Für die beiden anderen Bedingungen kannst du die Verteilung aus dem Aufgabenteil a) verwenden. Da nur die Fruchtsaftkonzentrate $R2$ und $R3$ vorgegeben sind, erhältst du mit der zweiten und dritten Zeile der zweiten Übergangsmatrix zwei weitere Gleichungen. Ist die Lösung für $z_1$ , $z_2$ und $z_3$ eine ganze Zahl, kann die Tüte $E3$ unter den gegebenen Bedingungen produziert werden.

$\begin{array}{} \text{I}\quad& z_1 + z_2+z_3 &=& 50 \\ \text{II}\quad& 3z_1+2z_2 + 2z_3 &=& 109 \\ \text{III}\quad& z_2 + 3z_3 &=& 80 \\ \end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du mit deinem Taschenrechner lösen.

Mathematische Gleichungen und Lösungen auf einem Bildschirm dargestellt.

Abb. 1: lineares Gleichungssystem lösen

Da $z_3$ für die Anzahl der Fruchtgummitiere $Z3$ steht, muss die Anzahl von $Z3$ eine ganze Zahl sein. Da die berechnete Anzahl der Fruchtgummitiere $Z3$ keine ganze Zahl ist, kann die Tüte $E3$ unter den gegebenen Bedingungen nicht produziert werden.

$\blacktriangleright$ Alle Vektoren $\boldsymbol{\overrightarrow{v}}$ bestimmen

In dieser Aufgabe sollst du alle Vektoren bestimmen, die die Gleichung $\pmatrix{3 & 2 \\ 6 & 4} \cdot \pmatrix{v_1 \\ v_2} = \pmatrix{0 \\ 0}$ lösen. Du erhältst ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.

$\begin{array}{} \text{I}\quad& 3v_1 + 2v_2 &=& 0 \quad \\ \text{II}\quad& 6v_1 + 4v_2 &=& 0\quad\\ \end{array}$

Löse das lineare Gleichungssystem mit deinem Taschenrechner.

Mathematische Gleichungen werden in einem Software-Interface gelöst.

Abb. 2: lineares Gleichungssystem lösen

Da in der Aufagbe gegeben ist, dass $v_1$ , $v_2 \neq 0$ sind, sind die Vektoren, die die Gleichung lösen, $\overrightarrow{v}= t \cdot \pmatrix{-\frac{2}{3} \\ 1}$ für $t\in \mathbb{R}$ \ { $0$ }.

$\blacktriangleright$ Gleichung herleiten

In dieser Aufgabe sollst du die Bedingung herleiten, für die die Gleichung $\pmatrix{a & b \\ c & d}\cdot \pmatrix{v_1\\ v_2} = \pmatrix{0 \\ 0}$ mit $v_1$ , $v_2 \neq 0$ und $a$ , $b$ , $c$ , $d$ $\in \mathbb{R}$ \ { $0$ } erfüllt ist.

Auch hier erhältst du zwei Gleichugen mit zwei Unbekannten. Versuche die Gleichungen nach $v_1$ und $v_2$ zu lösen.

$\begin{array}{} \text{I}\quad&av_1 + bv_2&=& 0 \\ \text{II}\quad&cv_1 + dv_2&=& 0\quad\\ \end{array}$

Löse zum Beispiel die erste Gleichung nach $v_1$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} av_1+ bv_2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -bv_2\\[5pt] av_1&=& - bv_2 &\quad \scriptsize \mid\; :a\\[5pt] v_1 &=& -\dfrac{b}{a}v_2 \end{array}$

Jetzt kannst du $v_1$ in die zweite Gleichung einsetzen.

$\begin{array}[t]{rll} v_2 \left(-\dfrac{cb}{a} + d\right)&=& 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Nach dem Satz vom Nullprodukt muss entweder $v_2=0$ oder $-\dfrac{cb}{a}+d=0$ sein. Da nach Voraussetzung aber $v_2 \neq 0$ gilt, muss somit die Gleichung $-\dfrac{cb}{a}+d=0$ erfüllt sein.

Diese Gleichung kannst du noch umschreiben.

$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{cb}{a}+d &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -d \mid\; \cdot a \\[5pt] -cb&=&-da &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \mid\; -da \\[5pt] cb- da &=& 0 \end{array}$

Die Bedingung $cb- da = 0$ muss unabhängig von $v_1$ und $v_2$ erfüllt werden, damit die Gleichung $\pmatrix{a & b \\ c & d}\cdot \pmatrix{v_1\\ v_2} = \pmatrix{0 \\ 0}$ erfüllt ist.

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Aufgabe 3A

$\blacktriangleright$ Fehlende Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ angeben

$a=15$

Der Wert $b$ gibt an wie viele Fruchtgummitiere $Z2$ in der Packung $E2$ sind. Auch diesen Wert kannst du aus dem Übergangsgraphen ablesen.

$b=17$

Der Wert für $a=15$ und für $b=17$ .

$\blacktriangleright$ Eintrag $\boldsymbol{0}$ erläutern

In der Tabelle 1 gibt es einen Eintrag 0. Dieser Eintrag bedeutet, dass für die Fruchtgummitiere $Z1$ $0$ Mengeneinheiten vom Fruchtsaftkonzentrat $R3$ benötigt werden.

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{ME}$ berechnen, die nachbestellt werden müssen

In dieser Aufgabe sollen jeweils $50$ Tüten $E1$ und $E2$ hergestellt werden. Im Lager befinden sich noch:

Grundsubstanz $R1$ :	$2.000\;ME$
Fruchtsaftkonzentrat $R2$ :	$3.000\;ME$
Fruchtgummitiere $Z1$	$1.000\;ME$

1. Schritt: $\boldsymbol{M_1}$ mit $\boldsymbol{\overrightarrow{v}}$ multiplizieren

$M_1 \cdot \overrightarrow{v}= \pmatrix{1.550 \\ 1.850 \\ 1.600}$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Schritt: $\boldsymbol{M_2}$ mit $\boldsymbol{\overrightarrow{w}}$ multiplizieren

$M_2 \cdot \overrightarrow{w} = \pmatrix{48.550 \\ 8.550 \\6.650 \\ 8.250}$

Vollständige Lösung anzeigen

3. Schritt: Benötigte Mengen mit den Vorräten verrechnen

Von der Grundsubstanz $R1$ werden $48.550\; ME$ benötigt, $2.000\;ME$ sind vorrätig.

$R1= 48.550 - 2.000 = 46.550$

Vom Fruchtsaftkonzentrat $R2$ werden $11.550\;ME$ benötigt und $3.000\;$ sind vorrätig.

$R2= 8.550 - 3.000 = 5.550$

Von der Grundsubstanz $R1$ müssen $46.550\; ME$ bestellt werden und von den Fruchtsaftkonzentraten müssen folgende Mengeneinheiten bestellt werden: $R2=5.550$ , $R3=6.650$ und $R4= 8.250$ .

$\blacktriangleright$ Berechnen, um wie viel Prozent der Bedarf an $\boldsymbol{R4}$ steigt

In dieser Aufgabe sollst du berechnen, um wie viel Prozent der bedarf des Fruchtsaftkonzentrates steigt, wenn die Produktion der Tüte $E1$ um $10\%$ und die der Tüte $E2$ um $18\%$ gesteigert wird.

1. Schritt: Matrizen multiplizieren

$= \pmatrix{615 & 616 \\ 115 & 116\\ 65 & 68 \\ 105 & 100}$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Schritt: Mengenheiten der Produktionssteigerung

Multipliziere den ersten Eintrag der letzten Zeile mit $1,10$ und dem zweiten Eintrag mit $1,18$ und addiere die neuen Mengeneinheiten.

$105 \cdot 1,1 + 100\cdot 1,18 = 233,5$

3. Schritt: Prozentwert berechnen

Dividiere die benötigten Mengeneinheiten der Produktionssteigerung durch die Summe der Mengeneinheiten, die für jeweils eine Tüte benötigt werden.

$\dfrac{233,5}{105+100}= \dfrac{233,5}{205} = 1,139$

Der Bedarf des Fruchtsaftkonzentrats $R4$ steigt somit um ungefähr $14\%$ .

$\blacktriangleright$ Prüfen, ob die Tüte $E3$ zusammengestellt werden kann

In dieser Aufgabe sollst du prüfen, ob die Tüte $E3$ unter bestimmten Bedingungen zusammengestellt werden kann.

Die erste Bedingung ist, dass die Tüte $E3$ aus insgesamt $50$ Fruchtgummitieren besteht. Die erste Gleichung ist somit: $E3 = z_1 +z_2 + z_3 = 50$

$\begin{array}{} \text{I}\quad& z_1 + z_2+z_3 &=& 50 \\ \text{II}\quad& 3z_1+2z_2 + 2z_3 &=& 109 \\ \text{III}\quad& z_2 + 3z_3 &=& 80 \\ \end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du mit deinem Taschenrechner lösen.

Mathematische Gleichungen und Lösungen für Variablen x, y, z in einem interaktiven Programm.

Abb. 1: lineares Gleichungssystem lösen

$\blacktriangleright$ Alle Vektoren $\boldsymbol{\overrightarrow{v}}$ bestimmen

$\begin{array}{} \text{I}\quad& 3v_1 + 2v_2 &=& 0 \quad \\ \text{II}\quad& 6v_1 + 4v_2 &=& 0\quad\\ \end{array}$

Löse das lineare Gleichungssystem mit deinem Taschenrechner.

Mathematische Gleichungen in einem interaktiven Editor zur Lösung von Variablen x und y.

Abb. 2: lineares Gleichungssystem lösen

Da in der Aufagbe gegeben ist, dass $v_1$ , $v_2 \neq 0$ sind, sind die Vektoren, die die Gleichung lösen, $\overrightarrow{v}= t \cdot \pmatrix{-\frac{2}{3} \\ 1}$ für $t\in \mathbb{R}$ \ { $0$ }.

$\blacktriangleright$ Gleichung herleiten

Auch hier erhältst du zwei Gleichugen mit zwei Unbekannten. Versuche die Gleichungen nach $v_1$ und $v_2$ zu lösen.

$\begin{array}{} \text{I}\quad&av_1 + bv_2&=& 0 \\ \text{II}\quad&cv_1 + dv_2&=& 0\quad\\ \end{array}$

Löse zum Beispiel die erste Gleichung nach $v_1$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} av_1+ bv_2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -bv_2\\[5pt] av_1&=& - bv_2 &\quad \scriptsize \mid\; :a\\[5pt] v_1 &=& -\dfrac{b}{a}v_2 \end{array}$

Jetzt kannst du $v_1$ in die zweite Gleichung einsetzen.

$\begin{array}[t]{rll} v_2 \left(-\dfrac{cb}{a} + d\right)&=& 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Nach dem Satz vom Nullprodukt muss entweder $v_2=0$ oder $-\dfrac{cb}{a}+d=0$ sein. Da nach Voraussetzung aber $v_2 \neq 0$ gilt, muss somit die Gleichung $-\dfrac{cb}{a}+d=0$ erfüllt sein.

Diese Gleichung kannst du noch umschreiben.

$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{cb}{a}+d &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -d \mid\; \cdot a \\[5pt] -cb&=&-da &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \mid\; -da \\[5pt] cb- da &=& 0 \end{array}$

Die Bedingung $cb- da = 0$ muss unabhängig von $v_1$ und $v_2$ erfüllt werden, damit die Gleichung $\pmatrix{a & b \\ c & d}\cdot \pmatrix{v_1\\ v_2} = \pmatrix{0 \\ 0}$ erfüllt ist.

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