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Pflichtteil

Aufgaben
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Aufgabe P1

An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von $10$ Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt $t$ (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung $n(t)= 3t^2-60t+500$ mit $t\in\mathbb{R};$ $0\leq t\leq 10,$ beschrieben werden.
a)
Bestimme die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen pro Kubikmeter und Stunde während der ersten beiden Stunden der Messung.
(3 BE)
b)
Ermittle den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane zeitliche Änderung der Anzahl der Pollen pro Kubikmeter und Stunde $-30$ beträgt.
(2 BE)
#zentraleraufgabenpool#änderungsrate

Aufgabe P2

Eine Funktion $f$ ist durch $f(x)= 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1$ mit $x\in \mathbb{R}$ gegeben.
a)
Ermittle die Nullstelle der Funktion $f$.
(2 BE)
b)
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weise nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.
(3 BE)
#tangente#nullstelle#gleichschenkligesdreieck#zentraleraufgabenpool

Aufgabe P3

a)
Gegeben ist die Funktion $p$ mit $p(x)= c\cdot x -x^2,$ $x\in \mathbb{R},$ $c> 0.$ Der Graph von $p$ schließt zwischen den beiden Nullstellen $x=0$ und $x=c$ mit der $x$-Achse ein Flächenstück ein.
Berechne den Wert von $c$ so, dass der Inhalt dieses Flächenstücks $\frac{9}{2}$ groß ist.
(3 BE)
b)
Gegebn sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g.$
$f$ und $g$ haben für $x=a$ einen gemeinsamen Punkt und es gilt $\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f'(x)-g'(x)\right)\;\mathrm dx = 0.$
Zeige damit, dass die Funktionen $f$ und $g$ auch für $x=b$ einen gemeinsamen Punkt haben.
(3 BE)
#integral

Aufgabe P4

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, einen blauen, einen gelben und einen roten. Diese sind unterschiedlich groß. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der blaue Sektor getroffen wird, beträgt $p$.
a)
Interpretiere den Term $(1-p)^7$ im Sachzusammenhang.
(2 BE)
b)
Das Glücksrad wird zehnmal gedreht. Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass der blaue Sektor genau zweimal getroffen wird.
(1 BE)
c)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der gelbe Sektor getroffen wird, beträgt $50\,\%.$ Felix hat $100$ Drehungen des Glücksrads beobachtet und festgestellt, dass bei diesen der Anteil der Drehungen bei denen der gelbe Sektor getroffen wurde, deutlich geringer als $50\,\%$ war. Er folgert: „Der Anteil der Drehungen, bei denen der gelbe Sektor getroffen wird, muss also bei den nächsten $100$ Drehungen deutlich größer als $50\,\%$ sein. “ Beurteile die Aussage von Felix.
(2 BE)
#zentraleraufgabenpool

Aufgabe P5

Gegeben ist die Ebene $E:\; 2x_1+x_2-2x_3 = -18.$
a)
Der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_1$-Achse, der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_2$-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
(2 BE)
b)
Ermittle die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punkts der Ebene $E$ ist.
(3 BE)
#normalenvektor#zentraleraufgabenpool#ebenengleichung
#hilfsmittelfreieaufgaben
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Lösungen
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Aufgabe P1

a)
$\blacktriangleright$  Mittlere Änderungsrate bestimmen
Die Funktion $n$ beschreibt die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft. Die mittlere Änderungsrate, beschreibt, wie schnell die Anzahl der Pollen in den ersten beiden Stunden im Schnitt gestiegen bzw. gefallen ist. Die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$ kann mit dem Differenzenquotienten berechnet werden.
Es geht um die ersten beiden Stunden, wobei $t$ in Stunden nach Messbeginn angegeben ist, also $a=0$ und $b = 2:$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}&=& \dfrac{3\cdot 2^2-60\cdot 2+500 - \left(3\cdot 0^2-60\cdot 0 +500\right)}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot 2^2-60\cdot 2}{2}\\[5pt] &=& -54 \end{array}$
$ \frac{f(2)-f(0)}{2-0} = -54 $
In den ersten beiden Stunden der Messung beträgt die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft $-54\,\frac{1}{\text{h}}$. Die Anzahl der Pollen nimmt also im Schnitt um ca. $54$ pro Stunde ab.
b)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt ermitteln
Da die momentane zeitliche Änderungsrate durch die erste Ableitungsfunktion $n'$ von $n$ beschrieben wird, ist $t$ gesucht mit $n'(t)=-30$.
$\begin{array}[t]{rll} n(t)&=&3t^2-60t+500 \\[10pt] n'(t)&=& 3\cdot 2\cdot t -60 \\[5pt] &=& 6t-60 \end{array}$
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} n'(t) &=& -30 \\[5pt] 6t-60 &=& -30 &\quad \scriptsize \mid\; +60 \\[5pt] 6t&=& 30&\quad \scriptsize \mid\; :6\\[5pt] t&=& 5 \end{array}$
$ t = 5 $
$5$ Stunden nach Beginn der Messung beträgt die momentane zeitliche Änderungsrate der Anzahl der Pollen pro Kubikmeter und _Stunde $-30\,\frac{1}{\text{h}}.$

Aufgabe P2

a)
$\blacktriangleright$  Nullstelle ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0\\[5pt] 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \mathrm e^{\frac{1}{2}x}&=& \frac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \frac{1}{2}x&=& \ln\left(\frac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] x&=& 2\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)\\[5pt] \end{array}$
$ x = 2\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$
Die Nullstelle der Funktion $f$ ist $x = 2\cdot\ln\left(\frac{1}{2}\right)$
b)
$\blacktriangleright$  Gleichschenkligkeit nachweisen
1. Schritt: Tangentengleichung bestimmen
Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ muss gelten:
  • $t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$, also $m = f'(0)$.
  • $t$ verläuft durch den Punkt $S(0\mid 1),$ also $t(0)=1.$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2\cdot\mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1 \\[5pt] f'(x)&=&2\cdot \frac{1}{2}\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x} \\[5pt] &=&\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\\[5pt] \end{array}$
Also gilt für die Steigung:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& f'(0) \\[5pt] &=& \mathrm e^{\frac{1}{2}\cdot 0} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
Einsetzen von $m$ und der Koordinaten von $S$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 1&=&1\cdot 0 +b \\[5pt] 1&=& b \end{array}$
Eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ lautet also $t: \; y = x +1$.
2. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Der erste Eckpunkt ist der Koordinatenursprung $O$. Der zweite Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $y$-Achse, also $S(0\mid 1).$ Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse.
$\begin{array}[t]{rll} x+1&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x&=&-1 \end{array}$
Der dritte Eckpunkt ist also $S_x(-1\mid 0).$
3. Schritt: Seitenlängen berechnen
Es gilt $\overline{OS} = 1 $, $\overline{OS}_x = 1$ und $\overline{S_xS} =\sqrt{2}\neq 1$. Also ist das Dreieck mit den Eckpunkten $O$, $S$ und $S_x$ gleichschenklig.

Aufgabe P3

a)
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{c}$ berechnen
Der Inhalt des Flächenstücks lässt sich mit folgendem Integral bestimmen:
$\displaystyle\int_{0}^{c}p(x)\;\mathrm dx$
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{c}p(x)\;\mathrm dx&=&\frac{9}{2} \\[5pt] \displaystyle\int_{0}^{c}\left(c\cdot x-x^2 \right)\;\mathrm dx&=&\frac{9}{2} \\[5pt] \left[\frac{c}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^c&=&\frac{9}{2} \\[5pt] \frac{c}{2}\cdot c^2-\frac{1}{3}\cdot c^3- \frac{c}{2}\cdot 0^2+\frac{1}{3}\cdot 0^3&=& \frac{9}{2} \\[5pt] \frac{1}{2}\cdot c^3-\frac{1}{3}\cdot c^3&=& \frac{9}{2} \\[5pt] \frac{1}{6}\cdot c^3&=& \frac{9}{2}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 6 \\[5pt] c^3&=& 27\\[5pt] c&=&3 \end{array}$
$ c=3$
Für $c=3$ ist der Inhalt des eingeschlossenen Flächenstücks $\frac{9}{2}$ groß.
b)
$\blacktriangleright$  Gemeinsamen Punkt zeigen
Da $f$ und $g$ für $x=a$ einen gemeinsamen Punkt haben, gilt $f(a)=g(a).$ Zu zeigen ist nun $f(b)=g(b).$
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f'(x)-g'(x)\right)\;\mathrm dx&=& 0 \\[5pt] \displaystyle\int_{a}^{b}f'(x)\;\mathrm dx - \displaystyle\int_{a}^{b}g'(x)\;\mathrm dx&=& 0 \\[5pt] \left[f(x) \right]_a^b - \left[g(x) \right]_a^b&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\left[g(x) \right]_a^b \\[5pt] \left[f(x) \right]_a^b&=&\left[g(x) \right]_a^b \\[5pt] f(b)-f(a)&=&g(b)-g(a) &\quad \scriptsize \mid\; f(a)=g(a) \\[5pt] f(b)-g(a)&=& g(b)-g(a)&\quad \scriptsize \mid\;+g(a) \\[5pt] f(b)&=&g(b) \end{array}$
$ f(b)=g(b) $
Da $f(b)=g(b)$ gilt, besitzen $f$ und $g$ auch für $x=b$ einen gemeinsamen Punkt.
#integral

Aufgabe P4

a)
$\blacktriangleright$  Term im Sachzusammenhang interpretieren
$p$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass beim einmaligen Drehen des Glücksrades der blaue Sektor getroffen wird. $1-p$ ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen nicht der blaue Sektor getroffen wird.
Mit der Pfadmultiplikationsregel ist demnach $(1-p)^7$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei sieben Drehungen kein einziges Mal der blaue Sektor getroffen wird.
b)
$\blacktriangleright$  Term angeben
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X$, die die Anzahl der Drehungen unter $10$ Drehungen beschreibt, bei denen der blaue Sektor getroffen wird.
Diese kann als binomialverteilt mit den Parametern $n=10$ und unbekanntem $p$ angenommen werden, da bei jedem Dreh nur die Möglichkeiten „blau“ oder „nicht blau“ unterschieden werden und die Wahrscheinlichkeit dafür, den blauen Sektor zu treffen bei jedem Dreh gleich bleibt.
Gesucht ist $P(X=2):$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)&=& \binom{10}{2}\cdot p^2 \cdot(1-p)^{10-2} \\[5pt] &=& 45 \cdot p^2\cdot (1-p)^8 \end{array}$
$ P(X=2)$
$=45 \cdot p^2\cdot (1-p)^8 $
c)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Die Wahrscheinlichkeitsangabe von $50\,\%$ gibt nur einen Richtwert dafür an, wie oft im Schnitt das Treffen des gelben Sektors erwartet werden kann. Dies ist aber keine Vorhersage, da es sich bei dem Drehen eines Glücksrades um ein Zufallsexperiment handelt, dessen Ausgang zufällig ist.
Zudem sind die Drehungen von einander unabhängig. Es muss also jeder Dreh einzeln betrachtet werden. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit $50\,\%$ für den gelben Sektor. Das Ergebnis des vorherigen oder der $10$, $100$, $200$,… Drehungen davor spielen keine Rolle für den nächsten Dreh.
#pfadregeln#binomialverteilung

Aufgabe P5

a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Einer der Eckpunkte ist der Koordinatenursprung $O(0\mid 0\mid 0).$ Ein weiterer Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der $x_1$-Achse. Für alle Punkte auf der $x_1$-Achse gilt $(x_1\mid 0 \mid 0).$ Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x_1 +x_2 -2x_3 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 = x_3 =0 \\[5pt] -18&=&2x_1 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] -9&=&x_1 \end{array}$
$ -9=x_1 $
Der zweite Eckpunkt hat also die Koordinaten $P(-9\mid 0 \mid 0).$
Für den dritten Eckpunkt folgt analog:
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x_1 +x_2 -2x_3 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 = x_3 =0\\[5pt] -18&=&x_2 \end{array}$
$ -18 = x_2 $
Die Koordinaten des dritten Eckpunktes lauten $Q(0 \mid -18 \mid 0).$
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Mit dem Betrag des Kreuzprodukts kann der Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OQ} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-9\\0\\0}\times \pmatrix{0\\-18\\0} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\162} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+162^2}\\[5pt] &=& 81 \end{array}$
$A = 81 $
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $81$ Flächeneinheiten.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Aus der Ebenengleichung lässt sich ein Normalenvektor von $E$ ablesen. Da der gesuchte Vektor ebenfalls ein Normalenvektor von $E$ sein soll, muss dieser ein Vielfaches von $\overrightarrow{n}$ sein:
$\overrightarrow{v} = t\cdot\overrightarrow{n}$.
Einsetzen in die Ebenengleichung von $E$ liefert das $t,$ für das $\overrightarrow{v}$ gleichzeitig der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x_1 +x_2 -2x_3 &\quad \scriptsize \mid\; \overrightarrow{v} = \pmatrix{2t\\ t\\ -2t} \\[5pt] -18&=& 2\cdot 2t + t -2\cdot (-2t) \\[5pt] -18&=&9t &\quad \scriptsize \mid\; :9 \\[5pt] -2&=& t \end{array}$
$ -2 = t $
$\overrightarrow{v} = -2\cdot \pmatrix{2\\1\\-2} = \pmatrix{-4\\-2\\4}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}&=& -2\cdot \pmatrix{2\\1\\-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{-4\\-2\\4} \end{array}$
Der Vektor $\overrightarrow{v}= \pmatrix{-4\\-2\\4}$ ist sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punktes in $E.$
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