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Aufgabe 2A

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Aufgabe 2A

Das Spiel „Die goldene Zehn“ wird mit einem idealen Würfel gespielt, bei dem eine Seitenfläche mit einem „V“, zwei Seitenflächen mit einer „$2$“, zwei mit einer „$5$“ und eine mit einer „$10$“ bedruckt sind.
Es gelten folgende Spielregeln:
  • Zu Beginn eines Spiels beträgt die Punktzahl des Spielers null.
  • Zeigt der Würfel nach einem Wurf eine Zahl, wird diese zur bisherigen Punktzahl addiert.
  • Der Spieler gewinnt, wenn er genau die Punktzahl $10$ erreicht.
  • Er verliert, wenn er eine Punktzahl größer als $10$ erreicht oder ein „V“ würfelt.
  • Das Spiel ist beendet, wenn der Spieler gewonnen oder verloren hat.
Der Spieler zahlt vor dem Spiel einen Einsatz von einem Euro an den Spielleiter. Gewinnt der Spieler, so bekommt er pro Wurf in diesem Spiel zwei Euro ausgezahlt.
a)
Das Spiel wird einmal gespielt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler mit zwei Würfen die Punktzahl $12$ erreicht.
(3P)
#wahrscheinlichkeit
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt den an den Spieler ausgezahlten Betrag in Euro.
Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ gilt:
$k$$ 0 $$ 2 $$ 4 $$ 10 $
$P(X=k)$$ \dfrac{349}{486} $$ \dfrac{1}{6} $$ \dfrac{1}{9} $$ \dfrac{1}{243} $
#tabelle
b)
Begründe, dass $X$ nur die Werte $0$, $2$, $4$ oder $10$ annehmen kann.
Begründe, dass das Spiel nicht fair ist.
Untersuche, ob bei unverändertem Einsatz von einem Euro der Auszahlungsbetrag pro Wurf so verändert werden kann, dass das Spiel fair wird.
(9P)
c)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler von $120$ Spielen mindestens $30$ und höchstens $50$ gewinnt.
Erläutere, welche Wahrscheinlichkeit im Sachzusammenhang des Spiels ‚Die goldene Zehn‘ mit dem Term $1-19\cdot\dfrac{349}{486}\cdot\left(\dfrac{137}{486}\right)^{18}$ berechnet werden kann.
(8P)
#wahrscheinlichkeit
d)
Unabhängig vom Sachzusammenhang ist über eine Urne Folgendes bekannt:
  • In der Urne befinden sich neben anderen Kugeln genau fünf gelbe Kugeln.
  • Es werden zwei Kugeln gleichzeitig aus der Urne gezogen.
    Die Wahrscheinlichkeit, genau eine gelbe Kugel zu erhalten, beträgt $\dfrac{1}{3}$.
Leite eine Gleichung zur Bestimmung der Anzahl aller Kugeln in der Urne her.
(4P)
#wahrscheinlichkeit
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