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Aufgabe 3B

Aufgaben
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#würfel#pyramide
a)
Gib die Koordinaten aller Eckpunkte der dreiseitigen Pyramide an.
Berechne die Länge der Kante $HF.$
Begründe, dass alle Kanten der Pyramide die gleiche Länge haben.
Bestimme eine Gleichung in Koordinatenform einer zu $K$ parallelen Ebene, die den Punkt $B$ enthält.
Bestimme den Winkel, den die Seitenfläche $ACH$ der Pyramide und die Ebene $K$ miteinander einschließen.
(12 BE)
#schnittwinkel#koordinatenform
b)
Der Würfel begrenzt mit der Pyramide $ACFH$ vier dreiseitige Pyramiden.
Begründe die Richtigkeit der folgenden Aussage:
Das Volumen der Pyramide $ACFH$ ist doppelt so groß wie das Volumen jeder der vier anderen eingeschlossenen dreiseitigen Pyramiden.
Die Gerade $g$ ist durch die Punkte $B$ und $H$ festgelegt. $P$ ist ein beliebiger Punkt auf $g.$
Berechne die Koordinaten eines Punktes $P$ in Abhängigkeit von $k$ für $k > 0$ so, dass die Pyramide $ACFP$ das $k$-fache Volumen der Pyramide $ACFH$ hat.
(12 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Eckpunkte angebenAufgabe 3B
Verwendet werden die Würfeleigenschaften von $ABCDEFGH$ und die gegebenen Koordinaten von $D,$ $B$ und $H.$
$A(4\mid 0\mid 0),$ $C(0\mid 4\mid 0),$ $F(4\mid 4\mid 4)$ und $H(0\mid 0\mid 4).$
$\blacktriangleright$  Kantenlänge berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{HF} \right|&=& \left|\pmatrix{4\\4\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{4^2+4^2+0^2}\\[5pt] &\approx& 5,66 \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{HF} \right| \approx 5,66 $
Die Kante $HF$ ist ca. $5,66$ Längeneinheiten lang.
$\blacktriangleright$  Gleiche Länge begründen
Alle Kanten der Pyramide sind Diagonalen der quadratischen Seitenflächen des Würfels und müssen daher gleich lang sein.
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung bestimmen
Aus der angegebenen Gleichung von $K$ kann der Normalenvektor $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\1\\-1}$ abgelesen werden. Da die gesuchte Ebene parallel zu $K$ verlaufen soll, kann dieser Normalenvektor verwendet werden. Mithilfe einer Punktprobe mit $B$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} J:\quad x+y-z &=& d &\quad \scriptsize \mid\;B(4\mid 4\mid 0) \\[5pt] 4+4-0 &=&d \\[5pt] 8&=& d \end{array}$
$ d = 8 $
Eine Gleichung der Ebene, die parallel zu $K$ ist und in der $B$ liegt, lautet:
$x+y-z =8$
$\blacktriangleright$  Winkel bestimmen
Ein möglicher Normalenvektor der Ebene, in der $ACH$ liegt, lässt sich mithilfe des Kreuzprodukts berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_2&=& \overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AH} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4\\4\\0}\times \pmatrix{-4\\0\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\cdot 4 - 0\cdot 0 \\ 0\cdot (-4) -(-4)\cdot 4 \\ -4\cdot 0 -4\cdot (-4)} \\[5pt] &=& \pmatrix{16\\-16\\16} \\[5pt] &=& 16\cdot \pmatrix{1\\-1\\1} \end{array}$
$ \overrightarrow{n}_2 = 16\cdot \pmatrix{1\\-1\\1} $
Du kannst den gekürzten Vektor verwenden. Mit der Formel für den Schnittwinkel $\alpha$ zweier Ebenen folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{\left| \pmatrix{1\\-1\\1}\circ \pmatrix{1\\1\\-1}\right|}{\left| \pmatrix{1\\-1\\1}\right| \cdot \left| \pmatrix{1\\1\\-1}\right|} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2 +1^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx & 70,5^{\circ} \end{array}$
$ \alpha\approx 70,5^{\circ} $
Die Seitenfläche $ACH$ und die Ebene $K$ schließen einen Winkel von ca. $70,5^{\circ}$ ein.
#schnittwinkel#kreuzprodukt
b)
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Die Kantenlänge des Würfels beträgt $4.$ Der Würfel hat also ein Volumen von $V = 4^3= 64.$
Die vier dreiseitigen Pyramiden werden jeweils durch eine Seitenfläche der Pyramide $ACFH$ und drei Würfelkanten begrenzt. Sie haben daher alle identisches Volumen.
Das Volumen der Pyramide $ABCF$ kann beispielsweise wie folgt berechnet werden:
Betrachtet man die Seite $ABC$ als Grundfläche, so handelt es sich dabei um ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Flächeninhalt $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4 = 8.$
Die Höhe dieser Pyramide beträgt entsprechend der Kantenlänge des Würfels $4.$ Das Volumen beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} V_{ABCF}&=& \frac{1}{3}\cdot 8\cdot 4 \\[5pt] &=& \frac{32}{3} \end{array}$
Die vier dreiseitigen Pyramiden nehmen also gemeinsam ein Volumen von $4\cdot \frac{32}{3} = \frac{128}{3}$ ein.
Das Volumen der Pyramide $ACFH$ ergibt sich als Differenz des Würfelvolumens und des Gesamtvolumens der dreiseitigen Pyramiden:
$V_{ACFH} = 64-\frac{128}{3} = \frac{64}{3} $
Dies entspricht dem Doppelten von $V_{ABCF}=\frac{32}{3}.$
Das Volumen von $ACFH$ ist also doppelt so groß wie das Volumen jeder der vier anderen eingeschlossenen dreiseitigen Pyramiden.
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
$g$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} g:\quad \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OH}+t\cdot \overrightarrow{HB} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\4} +t\cdot \pmatrix{4\\4\\-4}\\[5pt] &=& \pmatrix{4t\\4t\\4-4t} \end{array}$
$ g:\quad \overrightarrow{x} = … $
Ihr Richtungsvektor und der Normalenvektor von $K$ sind linear abhängig. Die Gerade verläuft also orthogonal zu $K.$
Die Höhe der Pyramide $ACFP$ zur Grundfläche $ACF$ entspricht also dem Abstand von $P$ zu dem Punkt $Q,$ in dem $g$ die Ebene $K$ durchstößt.
Setzt du die Koordinaten von $g$ in die Ebenengleichung von $K$ ein, so erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} K:\quad x+y-z&=& 4 \\[5pt] 4t+4t -(4-4t)&=& 4 \\[5pt] 12t -4&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] 12t&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; :12\\[5pt] t&=& \frac{2}{3} \end{array}$
$ t= \frac{2}{3} $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert damit den Ortsvektor des Durchstoßpunkts $Q:$
$\overrightarrow{OQ} = \pmatrix{4\cdot \frac{2}{3} \\4\cdot \frac{2}{3}\\4-4\cdot \frac{2}{3}} = \pmatrix{\frac{8}{3}\\\frac{8}{3}\\\frac{4}{3}}$
$ \overrightarrow{OQ} = \pmatrix{\frac{8}{3}\\\frac{8}{3}\\\frac{4}{3}}$
Da alle Pyramiden $ACFP$ und $ACFH$ die Grundfläche $ACF$ gemeinsam haben, ist das Volumen von $ACFP$ genau dann das $k$-fache des Volumens von $ACFH,$ wenn die Höhe $k$-mal so lang ist wie die Höhe von $ ACFH.$
Es muss also gelten $\left|\overrightarrow{QP}\right| = k\cdot \left|\overrightarrow{QH}\right|.$ Dies ist der Fall für $\overrightarrow{QP} = k\cdot \overrightarrow{QH} = k\cdot \pmatrix{-\frac{8}{3}\\-\frac{8}{3}\\\frac{8}{3}}.$
Den Ortsvektor von $P$ kannst du dann wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=& \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{QP} \\[5pt] &=& \pmatrix{\frac{8}{3}\\\frac{8}{3}\\\frac{4}{3}} + k\cdot \pmatrix{-\frac{8}{3}\\-\frac{8}{3}\\\frac{8}{3}} \\[5pt] &=& \pmatrix{\frac{8}{3}-\frac{8}{3}k \\ \frac{8}{3}-\frac{8}{3}k \\ \frac{4}{3}+\frac{8}{3}k} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OP} = \pmatrix{\frac{8}{3}-\frac{8}{3}k \\ \frac{8}{3}-\frac{8}{3}k \\ \frac{4}{3}+\frac{8}{3}k} $
Ein möglicher Punkt $P$ ist also $P\left(\frac{8}{3}-\frac{8}{3}k \mid \frac{8}{3}-\frac{8}{3}k \mid \frac{4}{3}+\frac{8}{3}k\right).$
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