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Aufgabe P1

Für jeden Wert von $a(a\in\mathbb{R})$ ist eine Funktion $f_a$ gegeben durch $f_{a}(x)=-x^{2}+a$ $(x\in\mathbb{R})$.
a) Begründen Sie mithilfe der Lage des Graphen von $f_1$ im Koordinatensystem, dass
$\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-1}^{1}f_{1}(x)\mathrm{dx}>0$ gilt.
(2P)
b) Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$, für den $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-1}^{1}f_{a}(x)\mathrm{dx}=0$ gilt.
(3P)

Aufgabe P2

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion $f$.
a) Beschreiben Sie für $a\leq x\leq b$ den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von $f$.
(2P)
b) Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von $f$ im gesamten dargestellten Bereich.
(3P)

Aufgabe P3

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^{x}\cdot\left(2\cdot x+x^{2}\right)$ $(x\in\mathbb{R})$.
a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion $f$.
(2P)
b) Zeigen Sie, dass die Funktion $F$ mit $F(x)=x^{2}\cdot\mathrm{e}^{x}$ $(x\in\mathbb{R})$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
(2P)
c) Zeigen Sie, dass $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-2}^{0}f(x)\mathrm{dx}=-\dfrac{4}{\mathrm{e}^2}$ gilt.
(2P)

Aufgabe P4

In Urne A befinden sich zwei rote und drei weiße Kugeln. Urne B enthält drei rote und zwei weiße Kugeln.
Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment:
Aus Urne A wird eine Kugel zufällig entnommen und in Urne B gelegt; danach wird aus Urne B eine Kugel zufällig entnommen und in Urne A gelegt.
a) Geben Sie alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A nach der Durchführung des Zufallsexperiments an.
(2P)
b) Betrachtet wird das Ereignis E: Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne A.
Untersuchen Sie, ob das Ereignis E eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat.
(3P)

Aufgabe P5

Gegeben sind die Matrix $A$ mit $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ und der Vektor $\vec{u}$ mit $\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}$.
a) Berechnen Sie das Produkt $A\cdot\vec{u}$.\newline Geben Sie zwei von $\vec{u}$ verschiedene Vektoren $\vec{v}$ und $\overrightarrow{w}$ an, sodass gilt:
$A\cdot\vec{u}=A\cdot\vec{v}=A\cdot\overrightarrow{w}$.
(3P)
b) Zeigen Sie, dass für alle Vektoren $\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ $(k\in\mathbb{R})$ gilt: $A\cdot\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}$.
(2P)

(20P)
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