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Aufgabe 2B

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Vor einer Wahl führen die drei Parteien $A$, $B$ und $C$ verschiedene Umfragen unter Wahlberechtigten durch.
a)  Partei $A$ führt eine Umfrage unter $400$ Personen durch. Die Zufallsgröße $X$, die die Anzahl der Personen beschreibt, die Partei $A$ wählen wollen, soll als binomialverteilt angenommen werden.
Es wird angenommen, dass der Wähleranteil für Partei $A$ $18\,\%$ beträgt.
Bestimme
  • die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Umfrage mindestens $65$ Personen und höchstens $80$ Personen Partei $A$ wählen wollen.
  • das kleinste um den Erwartungswert von $X$ symmetrische Intervall, in dem das Ergebnis dieser Umfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ liegt.
(9P)
b)  Es wird eine Umfrage unter $1.000$ Wahlberechtigten durchgeführt. $34\,\%$ der Personen geben an, Partei $B$ wählen zu wollen, $12\,\%$ der Personen geben an, Partei $C$ wählen zu wollen. Es wird behauptet, dass die beiden Parteien $B$ und $C$ zusammen mindestens $50\,\%$ der Stimmen erreichen.
Untersuche mithilfe eines Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$, ob diese Behauptung mit dem Ergebnis der Umfrage verträglich ist.
Eine zweite Umfrage unter $1.000$ Wahlberechtigten liefert für Partei $B$ zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ das Vertrauensintervall $[0,3204\, ; b]$.
Bestimme den Wert von $b$.
(10P)
c)  Es werden $1.000$ gleich große Stichproben simuliert. Für diese werden jeweils die zugehörigen Vertrauensintervalle für die beiden Sicherheitswahrscheinlichkeiten $75\,\%$ und $99\,\%$ berechnet.
Die Abbildungen 1 und 2 zeigen als Häufigkeitsdiagramme jeweils die linken Intervallgrenzen der zugehörigen Vertrauensintervalle.
Gib eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit $75\,\%$ im Hinblick auf den unbekannten Anteil $p$ der Grundgesamtheit an.
Entscheide, welche der beiden Abbildungen zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $75\,\%$ und welche zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $99\,\%$ gehört.
(5P)
Abbildung 1: Häufigkeitsverteilung der linken Intervallgrenzen von $1.000$ Vertrauensintervallen
Abbildung 2: Häufigkeitsverteilung der linken Intervallgrenzen von $1.000$ Vertrauensintervallen
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