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Aufgabe 3B

Aufgaben
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Gegeben sind ein Dreieck $ABC$ mit den Eckpunkten $A(1\mid 2\mid 3),$ $B( - 3\mid 5\mid 3)$ und $C(13\mid 5\mid 7)$ und die Gerade
$g:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{13\\5\\0} +r\cdot \pmatrix{0\\0\\1},$ $r\in \mathbb{R}.$
a)
Zeige, dass das Dreieck $ABC$ in der Ebene $E:\, 3 \cdot x + 4 \cdot y - 12 \cdot z + 25 = 0$ liegt.
Gib die Koordinaten des Punktes an, in dem die Gerade $g$ die Ebene $E$ schneidet. Berechne den Winkel, den die Dreiecksseiten $AB$ und $AC$ einschließen.
(8 BE)
#ebenengleichung#schnittwinkel
b)
Die Gerade $i$ verläuft durch die Punkte $A$ und $B.$
Zeige, dass die Geraden $g$ und $i$ windschief zueinander verlaufen. Bestimme den Abstand dieser beiden Geraden.
Variiert man die $z$-Koordinate des Punktes $C,$ so wird der Punkt $C$ entlang der Geraden $g$ verschoben. Dabei entstehen unterschiedlich große Dreiecke. Unter diesen gibt es eines mit minimalem Flächeninhalt.
Erläutere, wie mithilfe des Abstandes der Geraden $g$ zur Geraden $i$ der Flächeninhalt dieses Dreiecks bestimmt werden kann.
(16 BE)
#abstand#windschief
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Lösungen TI
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a)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass das Dreieck in der Ebene liegt
Das Dreieck $ABC$ liegt in der Ebene, wenn alle Eckpunkte darin liegen. Mithilfe von Punktproben folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 3x+4y-12z +25 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; A(1\mid 2\mid 3) \\[5pt] 3\cdot 1 +4\cdot 2 -12\cdot 3 +25 &=& 0 \\[5pt] 0&=&0 \\[10pt] 3x+4y-12z +25 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; B(-3\mid 5\mid 3) \\[5pt] 3\cdot (-3) +4\cdot 5 -12\cdot 3 +25 &=& 0 \\[5pt] 0&=&0 \\[10pt] 3x+4y-12z +25 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; C(13\mid 5\mid 7) \\[5pt] 3\cdot 13 +4\cdot 5 -12\cdot 7 +25 &=& 0 \\[5pt] 0&=&0 \\[10pt] \end{array}$
Das Einsetzen der Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks in die Koordinatengleichung liefert jeweils eine wahre Aussage. Die Punkte und damit auch das Dreieck $ABC$ liegen also in der Ebene $E.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts bestimmen
Es ist:
$g: \, \overrightarrow{x} = \pmatrix{13\\5\\0} +r\cdot \pmatrix{0\\0\\1} = \pmatrix{13\\ 5\\r}$
$g: \, \overrightarrow{x} =$ $\pmatrix{13\\5\\0} +r\cdot \pmatrix{0\\0\\1} = \pmatrix{13\\ 5\\r}$
Einsetzen der Koordinaten der Punkte auf der Geraden in die Ebenengleichung liefert eine Gleichung in Abhängigkeit von $r:$
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot x + 4 \cdot y - 12 \cdot z + 25 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\overrightarrow{x}= \pmatrix{13\\ 5\\r} \\[5pt] 3\cdot 13 +4\cdot 5 -12\cdot r +25 &=& 0 \\[5pt] 84 -12r&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+12r \\[5pt] 84&=& 12r &\quad \scriptsize \mid\;:12 \\[5pt] 7&=&r \end{array}$
$ 7 =r $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{13\\ 5\\7} \end{array}$
Die Koordinaten des Schnittpunkts der Ebene $E$ und der Gerade $g$ lauten $S(13\mid 5\mid 7).$
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Der Winkel, den die Dreiecksseiten $AB$ und $AC$ einschließen, entspricht dem Winkel $\alpha$, den die zugehörigen Verbindungsvektoren der Endpunkte einschließen. Dieser kann mit der entsprechenden Formel berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{ \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB} \right| \cdot \left|\overrightarrow{AC} \right|} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{\pmatrix{-4\\3\\0} \circ \pmatrix{12\\3\\4}}{\left|\pmatrix{-4\\3\\0} \right| \cdot \left|\pmatrix{12\\3\\4} \right|} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{-39}{\sqrt{(-4)^2 +3^2 +0^2} \cdot \sqrt{12^2+3^2+4^2}} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{-39}{5 \cdot 13} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{-3}{5} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 126,87^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 126,87^{\circ} $
Der Winkel, den die Dreiecksseiten $AB$ und $AC$ einschließen ist ca. $126,87^{\circ}$ groß.
#koordinatenform
b)
$\blacktriangleright$  Lage der beiden Geraden zeigen
Zwei Geraden sind windschief zueinander, wenn sie weder parallel sind noch gemeinsame Punkte haben. Parallel sind sie nur dann, wenn die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.
Ein Richtungsvektor von $i$ ist $\overrightarrow{r}_i= \overrightarrow{AB} = \pmatrix{-4\\3\\0},$ einer von $g$ ist $\overrightarrow{r}_g = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Da $\overrightarrow{r}_i$ nur von null verschiedene Einträge für die $x$- und $y$-Koordinaten, aber $\overrightarrow{r}_g$ nur einen von null verschiedenen Eintrag, die $z$-Koordinate, hat, sind die Vektoren keine Vielfachen voneinander und dementsprechend die Geraden auch nicht parallel.
Gemeinsame Punkte können durch Gleichsetzen bestimmt werden. Eine Gleichung der Gerade $i$ lautet:
$\begin{array}[t]{rll} i:\, \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA} + t\cdot \overrightarrow{AB} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\2\\3} + t\cdot \pmatrix{-4\\3\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ i:\, \overrightarrow{x} = … $
Gleichsetzen liefert nun folgende Gleichung in Abhängigkeit von $r$ und $t:$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{1\\2\\3} + t\cdot \pmatrix{-4\\3\\0}&=& \pmatrix{13\\5\\0} +r\cdot \pmatrix{0\\0\\1} &\quad \scriptsize \mid\; - \pmatrix{13\\5\\0}; -t\cdot \pmatrix{-4\\3\\0} \\[5pt] \pmatrix{-12\\-3\\3} &=& r\cdot \pmatrix{0\\0\\1} - t\cdot \pmatrix{-4\\3\\0} \end{array}$
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-12&=& 4t &\quad \scriptsize\mid\;:4\\[5pt] &-3&=& t \\[10pt] \text{II}\quad&-3&=& -3t &\quad \scriptsize\mid\;:(-3)\\[5pt] &1&=& t \\[10pt] \text{III}\quad&3&=& r \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-3&=& t \\[10pt] \text{II}\quad&1&=& t \\[10pt] \text{III}\quad&3&=& r \\ \end{array}$
Die Ergebnisse der ersten beiden Gleichungen widersprechen sich, wodurch das Gleichungssystem keine Lösung besitzt. $g$ und $i$ können daher keine gemeinsamen Punkte besitzen. Weil sie wie oben gezeigt auch nicht parallel sind, müssen die beiden Geraden windschief zueinander sein.
$\blacktriangleright$  Abstand der beiden Geraden bestimmen
1. Schritt: Ebenengleichung der Hilfsebene bestimmen
Als Hilfsebene wird eine Ebene verwendet, die zu beiden Geraden parallel ist und eine der beiden Geraden enthält.
Der zugehörige Normalenvektor muss also orthogonal zu beiden Geraden sein und kann daher durch das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_H &=& \overrightarrow{r}_i \times \overrightarrow{r}_g \\[5pt] &=& \pmatrix{-4\\3\\0} \times \pmatrix{0\\0\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{3\cdot 1 -0\cdot 0\\ 0\cdot 0 -(-4)\cdot 1 \\ -4\cdot 0 -3\cdot 0} \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\4\\0} \end{array}$
$ \overrightarrow{n}_H =\pmatrix{3\\4\\0} $
Damit die Gerade $g$ in der Ebene liegt, können nun die Koordinaten eines Punkts auf $g$ gemeinsam mit dem Normalenvektor in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform eingesetzt werden. Ein solcher Punkt ist beispielsweise der Stützpunkt, der aus der Geradengleichung abgelesen werden kann:
$\begin{array}[t]{rll} n_1x +n_2y +n_3z&=& d &\quad \scriptsize \mid\; \overrightarrow{n}_H; P(13\mid 5\mid 0)\\[5pt] 3\cdot 13 + 4\cdot 5 +0\cdot 0&=& d \\[5pt] 59 &=& d \end{array}$
$ 59 = d $
Eine Ebene, die parallel zu $i$ ist und $g$ enthält wird also beschrieben durch $H:\,3x + 4y = 59$
2. Schritt: Abstand berechnen
Der Abstand der beiden Geraden entspricht nun dem Abstand eines beliebigen Punkts auf der Geraden $i$ zur Hilfsebene $H.$ Dazu kann beispielsweise der Punkt $A$ verwendet werden.
Der Abstand kann mithilfe der Hesseschen Normalenform bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} d(H,A)&=& \dfrac{\left|3x + 4y -59\right|}{\left| \overrightarrow{n}_H\right|}&\quad \scriptsize \mid\;A(1\mid 2\mid 3) \\[5pt] &=& \dfrac{\left|3\cdot1+4\cdot 2 -59\right| }{\sqrt{3^2 +4^2 +0^2}} \\[5pt] &=& \dfrac{48}{5}\\[5pt] &=& 9,6 \end{array}$
$ d(H,A)=9,6$
Der Abstand der beiden Geraden $g$ und $i$ beträgt $9,6$ Längeneinheiten.
$\blacktriangleright$  Verfahren zur Bestimmung des minimalen Flächeninhalts beschreiben
Der Flächeninhalt eines Dreiecks kann mit folgender Formel bestimmt werden:
$A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h,$
wobei $g$ die Länge der Grundseite und $h$ die Länge der zugehörigen Höhe bezeichnet.
Wählt man als Grundseite die Kante $AB,$ so ist deren Länge fest und nicht von der Lage des Punktes $C$ abhängig.
Das Dreieck $ABC$ besitzt daher den minimalen Flächeninhalt, wenn die Höhe ihre minimale Länge annimmt.
Das ist wiederum der Fall, wenn sie sowohl senkrecht zur Kante $AB,$ also der Geraden $i,$ als auch zu $g$ verläuft. Das ist gerade die Definition des Abstandes von $g$ zu $i.$
#kreuzprodukt#hesseschenormalform
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a)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass das Dreieck in der Ebene liegt
Das Dreieck $ABC$ liegt in der Ebene, wenn alle Eckpunkte darin liegen. Mithilfe von Punktproben folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 3x+4y-12z +25 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; A(1\mid 2\mid 3) \\[5pt] 3\cdot 1 +4\cdot 2 -12\cdot 3 +25 &=& 0 \\[5pt] 0&=&0 \\[10pt] 3x+4y-12z +25 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; B(-3\mid 5\mid 3) \\[5pt] 3\cdot (-3) +4\cdot 5 -12\cdot 3 +25 &=& 0 \\[5pt] 0&=&0 \\[10pt] 3x+4y-12z +25 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; C(13\mid 5\mid 7) \\[5pt] 3\cdot 13 +4\cdot 5 -12\cdot 7 +25 &=& 0 \\[5pt] 0&=&0 \\[10pt] \end{array}$
Das Einsetzen der Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks in die Koordinatengleichung liefert jeweils eine wahre Aussage. Die Punkte und damit auch das Dreieck $ABC$ liegen also in der Ebene $E.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts bestimmen
Es ist:
$g: \, \overrightarrow{x} = \pmatrix{13\\5\\0} +r\cdot \pmatrix{0\\0\\1} = \pmatrix{13\\ 5\\r}$
$g: \, \overrightarrow{x} =$ $\pmatrix{13\\5\\0} +r\cdot \pmatrix{0\\0\\1} = \pmatrix{13\\ 5\\r}$
Einsetzen der Koordinaten der Punkte auf der Geraden in die Ebenengleichung liefert eine Gleichung in Abhängigkeit von $r:$
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot x + 4 \cdot y - 12 \cdot z + 25 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\overrightarrow{x}= \pmatrix{13\\ 5\\r} \\[5pt] 3\cdot 13 +4\cdot 5 -12\cdot r +25 &=& 0 \\[5pt] 84 -12r&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+12r \\[5pt] 84&=& 12r &\quad \scriptsize \mid\;:12 \\[5pt] 7&=&r \end{array}$
$ 7 =r $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{13\\ 5\\7} \end{array}$
Die Koordinaten des Schnittpunkts der Ebene $E$ und der Gerade $g$ lauten $S(13\mid 5\mid 7).$
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Der Winkel, den die Dreiecksseiten $AB$ und $AC$ einschließen, entspricht dem Winkel $\alpha$, den die zugehörigen Verbindungsvektoren der Endpunkte einschließen. Dieser kann mit der entsprechenden Formel berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{ \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB} \right| \cdot \left|\overrightarrow{AC} \right|} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{\pmatrix{-4\\3\\0} \circ \pmatrix{12\\3\\4}}{\left|\pmatrix{-4\\3\\0} \right| \cdot \left|\pmatrix{12\\3\\4} \right|} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{-39}{\sqrt{(-4)^2 +3^2 +0^2} \cdot \sqrt{12^2+3^2+4^2}} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{-39}{5 \cdot 13} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{-3}{5} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 126,87^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 126,87^{\circ} $
Der Winkel, den die Dreiecksseiten $AB$ und $AC$ einschließen ist ca. $126,87^{\circ}$ groß.
b)
$\blacktriangleright$  Lage der beiden Geraden zeigen
Zwei Geraden sind windschief zueinander, wenn sie weder parallel sind noch gemeinsame Punkte haben. Parallel sind sie nur dann, wenn die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.
Ein Richtungsvektor von $i$ ist $\overrightarrow{r}_i= \overrightarrow{AB} = \pmatrix{-4\\3\\0},$ einer von $g$ ist $\overrightarrow{r}_g = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Da $\overrightarrow{r}_i$ nur von null verschiedene Einträge für die $x$- und $y$-Koordinaten, aber $\overrightarrow{r}_g$ nur einen von null verschiedenen Eintrag, die $z$-Koordinate, hat, sind die Vektoren keine Vielfachen voneinander und dementsprechend die Geraden auch nicht parallel.
Gemeinsame Punkte können durch Gleichsetzen bestimmt werden. Eine Gleichung der Gerade $i$ lautet:
$\begin{array}[t]{rll} i:\, \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA} + t\cdot \overrightarrow{AB} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\2\\3} + t\cdot \pmatrix{-4\\3\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ i:\, \overrightarrow{x} = … $
Gleichsetzen liefert nun folgende Gleichung in Abhängigkeit von $r$ und $t:$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{1\\2\\3} + t\cdot \pmatrix{-4\\3\\0}&=& \pmatrix{13\\5\\0} +r\cdot \pmatrix{0\\0\\1} &\quad \scriptsize \mid\; - \pmatrix{13\\5\\0}; -t\cdot \pmatrix{-4\\3\\0} \\[5pt] \pmatrix{-12\\-3\\3} &=& r\cdot \pmatrix{0\\0\\1} - t\cdot \pmatrix{-4\\3\\0} \end{array}$
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-12&=& 4t &\quad \scriptsize\mid\;:4\\[5pt] &-3&=& t \\[10pt] \text{II}\quad&-3&=& -3t &\quad \scriptsize\mid\;:(-3)\\[5pt] &1&=& t \\[10pt] \text{III}\quad&3&=& r \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-3&=& t \\[10pt] \text{II}\quad&1&=& t \\[10pt] \text{III}\quad&3&=& r \\ \end{array}$
Die Ergebnisse der ersten beiden Gleichungen widersprechen sich, wodurch das Gleichungssystem keine Lösung besitzt. $g$ und $i$ können daher keine gemeinsamen Punkte besitzen. Weil sie wie oben gezeigt auch nicht parallel sind, müssen die beiden Geraden windschief zueinander sein.
$\blacktriangleright$  Abstand der beiden Geraden bestimmen
1. Schritt: Ebenengleichung der Hilfsebene bestimmen
Als Hilfsebene wird eine Ebene verwendet, die zu beiden Geraden parallel ist und eine der beiden Geraden enthält.
Der zugehörige Normalenvektor muss also orthogonal zu beiden Geraden sein und kann daher durch das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_H &=& \overrightarrow{r}_i \times \overrightarrow{r}_g \\[5pt] &=& \pmatrix{-4\\3\\0} \times \pmatrix{0\\0\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{3\cdot 1 -0\cdot 0\\ 0\cdot 0 -(-4)\cdot 1 \\ -4\cdot 0 -3\cdot 0} \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\4\\0} \end{array}$
$ \overrightarrow{n}_H =\pmatrix{3\\4\\0} $
Damit die Gerade $g$ in der Ebene liegt, können nun die Koordinaten eines Punkts auf $g$ gemeinsam mit dem Normalenvektor in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform eingesetzt werden. Ein solcher Punkt ist beispielsweise der Stützpunkt, der aus der Geradengleichung abgelesen werden kann:
$\begin{array}[t]{rll} n_1x +n_2y +n_3z&=& d &\quad \scriptsize \mid\; \overrightarrow{n}_H; P(13\mid 5\mid 0)\\[5pt] 3\cdot 13 + 4\cdot 5 +0\cdot 0&=& d \\[5pt] 59 &=& d \end{array}$
$ 59 = d $
Eine Ebene, die parallel zu $i$ ist und $g$ enthält wird also beschrieben durch $H:\,3x + 4y = 59$
2. Schritt: Abstand berechnen
Der Abstand der beiden Geraden entspricht nun dem Abstand eines beliebigen Punkts auf der Geraden $i$ zur Hilfsebene $H.$ Dazu kann beispielsweise der Punkt $A$ verwendet werden.
Der Abstand kann mithilfe der Hesseschen Normalenform bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} d(H,A)&=& \dfrac{\left|3x + 4y -59\right|}{\left| \overrightarrow{n}_H\right|}&\quad \scriptsize \mid\;A(1\mid 2\mid 3) \\[5pt] &=& \dfrac{\left|3\cdot1+4\cdot 2 -59\right| }{\sqrt{3^2 +4^2 +0^2}} \\[5pt] &=& \dfrac{48}{5}\\[5pt] &=& 9,6 \end{array}$
$ d(H,A)=9,6$
Der Abstand der beiden Geraden $g$ und $i$ beträgt $9,6$ Längeneinheiten.
$\blacktriangleright$  Verfahren zur Bestimmung des minimalen Flächeninhalts beschreiben
Der Flächeninhalt eines Dreiecks kann mit folgender Formel bestimmt werden:
$A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h,$
wobei $g$ die Länge der Grundseite und $h$ die Länge der zugehörigen Höhe bezeichnet.
Wählt man als Grundseite die Kante $AB,$ so ist deren Länge fest und nicht von der Lage des Punktes $C$ abhängig.
Das Dreieck $ABC$ besitzt daher den minimalen Flächeninhalt, wenn die Höhe ihre minimale Länge annimmt.
Das ist wiederum der Fall, wenn sie sowohl senkrecht zur Kante $AB,$ also der Geraden $i,$ als auch zu $g$ verläuft. Das ist gerade die Definition des Abstandes von $g$ zu $i.$
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