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Aufgabe 3B

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Gegeben sind ein Dreieck $ABC$ mit den Eckpunkten $A(1\mid 2\mid 3),$ $B( - 3\mid 5\mid 3)$ und $C(13\mid 5\mid 7)$ und die Gerade
$g:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{13\\5\\0} +r\cdot \pmatrix{0\\0\\1},$ $r\in \mathbb{R}.$
a)
Zeige, dass das Dreieck $ABC$ in der Ebene $E:\, 3 \cdot x + 4 \cdot y - 12 \cdot z + 25 = 0$ liegt.
Gib die Koordinaten des Punktes an, in dem die Gerade $g$ die Ebene $E$ schneidet. Berechne den Winkel, den die Dreiecksseiten $AB$ und $AC$ einschließen.
(8 BE)
#ebenengleichung#schnittwinkel
b)
Die Gerade $i$ verläuft durch die Punkte $A$ und $B.$
Zeige, dass die Geraden $g$ und $i$ windschief zueinander verlaufen. Bestimme den Abstand dieser beiden Geraden.
Variiert man die $z$-Koordinate des Punktes $C,$ so wird der Punkt $C$ entlang der Geraden $g$ verschoben. Dabei entstehen unterschiedlich große Dreiecke. Unter diesen gibt es eines mit minimalem Flächeninhalt.
Erläutere, wie mithilfe des Abstandes der Geraden $g$ zur Geraden $i$ der Flächeninhalt dieses Dreiecks bestimmt werden kann.
(16 BE)
#abstand#windschief
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