Inhalt
Better Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
NI, Kooperative Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA (GTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (GTR)
Abitur gA (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss 10 E-...
Hauptschulabschluss 10 G-...
Hauptschulabschluss 9 E-K...
Hauptschulabschluss 9 G-K...
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur eA (GTR...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (GTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (GTR)
Abitur gA (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss 10 E-Kurs
Hauptschulabschluss 10 G-Kurs
Hauptschulabschluss 9 E-Kurs
Hauptschulabschluss 9 G-Kurs
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Better Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Aufgabe 2B

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
Alle Patienten eines Krankenhauses müssen sich aufgrund von Verdachtsfällen einem Schnelltest zur Erkennung des Norovirus unterziehen. Man schätzt, dass bereits $5\,\%$ der Patienten infiziert sind.
Ein positives Testergebnis bedeutet, dass ein Patient als infiziert eingestuft wird. Ein negatives Testergebnis bedeutet, dass ein Patient als nicht infiziert eingestuft wird.
In Schnelltests treten die folgenden Fehler auf:
Ein infizierter Patient erhält ein negatives Testergebnis.
Ein nicht infizierter Patient erhält ein positives Testergebnis.
Im vorliegenden Schnelltest gilt: $P(A) = 0,08 ;$ $P(B) = 0,02.$
a)
Gib die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm in der Abbildung an. Betrachtet werden nun die Ereignisse $C$ und $D.$
Wenn ein Patient ein positives Testergebnis erhält, ist er infiziert.
Wenn ein Patient ein negatives Testergebnis erhält, ist er nicht infiziert.
Zeige: $P(C)$ beträgt etwa $70,8\,\%$ und $P(D)$ etwa $99,6\,\%.$
Erläutere auf Grundlage dieser beiden Wahrscheinlichkeiten, wie aussagekräftig ein positives und wie aussagekräftig ein negatives Testergebnis für den Patienten ist.
(9 BE)
#baumdiagramm
b)
Erhält ein Patient ein positives Testergebnis, wird der Test wiederholt. Dadurch soll die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Patient infiziert ist, wenn er zwei positive Testergebnisse erhält, über $99\,\%$ betragen.
Untersuche, ob dieses Ziel durch die Wiederholung des Tests erreicht wird.
(5 BE)
c)
Das Ereignis $G,$ dass ein beliebiger Patient ein falsches Testergebnis erhält, nennt man Gesamtfehler des Tests.
Berechne $P(G)$ beim Test aus Teilaufgabe a).
Erläutere im Sachzusammenhang, dass $P(G)$ nicht die Summe von $P(A)$ und $P(B)$ ist.
Ein Hersteller entwickelt zwei neue Tests, bei denen $P(G)$ geringer als im alten Test ist:
  • In Variante $\text{I}$ wird nur $P(A)$ auf den Anteil $x \cdot 0,08$ reduziert.
  • In Variante $\text{II}$ wird nur $P(B)$ auf den Anteil $x \cdot 0,02$ reduziert.
In verschiedenen Krankenhäusern gibt es unterschiedliche Anteile $a$ infizierter Patienten.
Gib je einen Term für $P(G)$ in Variante $\text{I}$ und in Variante $\text{II}$ an.
Unabhängig von $x$ ist $P(G)$ bei beiden Varianten für $a = 0,2$ gleich groß.
Untersuche, für welche Anteile infizierter Patienten in Krankenhäusern die Variante $\text{I}$ besser geeignet ist.
(10 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm vervollständigenAufgabe 2B
Aufgabe 2B
Abb. 1: Baumdiagramm
Aufgabe 2B
Abb. 1: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten zeigen
Verwende folgende Bezeichnungen:
  • $i:$ ein Patient ist infiziert
  • $\overline{i}:$ ein Patient ist nicht infiziert
  • $p:$ ein Testergebnis ist positiv
  • $n:$ ein Testergebnis ist negativ
Verwende den Satz von Bayes:
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& P(i\mid p) \\[5pt] &=& \dfrac{P(p\mid i)\cdot P(i)}{P(p)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,92\cdot 0,05}{0,019 +0,046} \\[5pt] &\approx& 0,7077 \\[5pt] &\approx& 70,8\,\%\\[10pt] P(D)&=& P(\overline{i}\mid n) \\[5pt] &=& \dfrac{P(n\mid \overline{i})\cdot P(\overline{i})}{P(n)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,98\cdot 0,95}{0,004+0,931} \\[5pt] &\approx& 0,9957 \\[5pt] &\approx& 99,6\,\%\\[10pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Aussagekraft beurteilen
Da die Wahrscheinlichkeit $P(C)$ nur ca. $70,8\,\%$ beträgt, ist es in etwa $30\,\%$ der Fälle möglich, dass der Patient trotz eines positiven Testergebnisses nicht infiziert ist. Ein positives Testergebnis ist also nicht sehr aussagekräftig.
Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit $P(D)$ allerdings ca. $99,6\,\%,$ wodurch es nahezu ausgeschlossen werden kann, dass ein Patient mit einem negativen Testergebnis dennoch infiziert ist. Ein negatives Testergebnis kann also als aussagekräftig bezeichnet werden.
#satzvonbayes
b)
$\blacktriangleright$  Ziel untersuchen
Du kannst das Baumdiagramm um eine weitere Ebene ergänzen. Im Falle eines positiven Testergebnisses wird der Test wiederholt. Die Wahrscheinlichkeit für ein positives bzw negatives Testergebnis bleibt dabei wie im ersten Test.
Bezeichne das Ereignis, dass beide Tests positiv ausfallen mit $pp.$ Dann erhältst du wie zuvor mithilfe des Satzes von Bayes:
$\begin{array}[t]{rll} P(i\mid pp)&=& \dfrac{P(pp\mid i) \cdot P(i)}{P(pp)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,92\cdot 0,92 \cdot 0,05}{0,046\cdot 0,92 + 0,019\cdot 0,02} \\[5pt] &\approx& 0,9911\\[5pt] \end{array}$
$ P(i\mid pp)\approx 0,9911 $
Durch die Wiederholung des Tests beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Patient mit zwei positiven Testergebnissen infiziert ist, ca. $99,11\,\%.$ Das Ziel wird also durch die Wiederholung des Tests erreicht.
#satzvonbayes
c)
$\blacktriangleright$  Gesamtfehler des Tests berechnen
$\begin{array}[t]{rll} P(G)&=& P(i) \cdot P(n\mid i) + P(\overline{i})\cdot P(p\mid \overline{i}) \\[5pt] &=& 0,05\cdot 0,08 + 0,95\cdot 0,02 \\[5pt] &=& 0,023 \\[5pt] \end{array}$
$ P(G) = 0,023 $
Der Gesamtfehler des Tests aus Teilaufgabe a) beträgt $2,3\,\%.$
$\blacktriangleright$  Zusammensetzung des Gesamtfehlers erläutern
$P(A)$ und $P(B)$ sind bedingte Wahrscheinlichkeiten, bei ihnen ist bereits vorausgesetzt, dass der betrachtete Patient infiziert bzw. nicht infiziert ist. Diese Wahrscheinlichkeiten beziehen sich jeweils nur auf eine Teilmenge der Patienten.
Beim Gesamtfehler $P(G)$ wird jedoch ein beliebiger Patient betrachtet, bei dem die Wahrscheinlichkeit dafür, ob er infiziert ist oder nicht infiziert ist, noch mit einbezogen werden muss. Hier wird also die Gesamtmenge aller Patienten betrachtet, keine spezifische Teilmenge.
$\blacktriangleright$  Terme angeben
In deiner obigen Berechnung des Gesamtfehlers musst du lediglich die Wahrscheinlichkeiten $P(n\mid i)$ bzw. $P(p\mid \overline{i})$ und den Anteil der infizierten Patienten anpassen:
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{I}}(G) &=& P(i) \cdot P(n\mid i) + P(\overline{i})\cdot P(p\mid \overline{i}) \\[5pt] &=& a\cdot x\cdot 0,08 + (1-a)\cdot 0,02 \\[10pt] P_{\text{II}}(G) &=& P(i) \cdot P(n\mid i) + P(\overline{i})\cdot P(p\mid \overline{i}) \\[5pt] &=& a\cdot 0,08 + (1-a)\cdot x\cdot 0,02 \\[10pt] \end{array}$
$P_{\text{I}}(G) = a\cdot x\cdot 0,08 + (1-a)\cdot 0,02 $
$P_{\text{II}}(G) = a\cdot 0,08 + (1-a)\cdot x\cdot 0,02 $
$\blacktriangleright$  Eignung untersuchen
Variante $\text{I}$ ist besser geeignet, wenn $P_{\text{I}}(G) < P_{\text{II}}(G)$ gilt.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Ausprobieren und Argumentieren
Aus der Aufgabenstellung ist bereits bekannt, dass unabhängig von $x$ für $a=0,2$ die beiden Fehler gleich groß sind. Betrachte also noch die Fälle $a< 0,2$ und $a> 0,2$ für einen beliebigen festen Wert von $x.$
Beispielsweise erhältst du für $x=0,5$ und $a=0,1:$
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{I}}(G)&=& 0,1\cdot 0,5\cdot 0,08 + (1-0,1)\cdot 0,02 \\[5pt] &=& 0,022 \\[10pt] P_{\text{II}}(G)&=& 0,1\cdot 0,08 + (1-0,1)\cdot 0,5\cdot 0,02 \\[5pt] &=& 0,017 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{I}}(G)&=&0,022 \\[10pt] P_{\text{II}}(G)&=& 0,017 \\[5pt] \end{array}$
Analog gilt beispielsweise für $x=0,5$ und $a=0,5:$
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{I}}(G)&=& 0,5\cdot 0,5\cdot 0,08 + (1-0,5)\cdot 0,02 \\[5pt] &=& 0,03 \\[10pt] P_{\text{II}}(G)&=& 0,5\cdot 0,08 + (1-0,5)\cdot 0,5\cdot 0,02 \\[5pt] &=& 0,045 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{I}}(G)&=& 0,03 \\[10pt] P_{\text{II}}(G)&=& 0,045 \\[5pt] \end{array}$
Für $a< 0,2$ ist also Variante $\text{II}$ besser geeignet, für $a>0,2$ ist Variante $\text{I}$ besser geeignet.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Umformung einer Ungleichung
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{I}}(G)&<& P_{\text{II}}(G) \\[5pt] a\cdot x\cdot 0,08 + (1-a)\cdot 0,02&<& a\cdot 0,08 + (1-a)\cdot x\cdot 0,02 \\[5pt] a\cdot x\cdot 0,08 + 0,02- a\cdot 0,02&<& a\cdot 0,08 + x\cdot 0,02 -a\cdot x\cdot 0,02 &\quad \scriptsize \mid\; +a\cdot x\cdot 0,02\\[5pt] a\cdot x\cdot 0,1 +0,02 - a\cdot 0,02&<& a\cdot 0,08 + x\cdot 0,02 &\quad \scriptsize \mid\; -a\cdot 0,08\\[5pt] a\cdot x\cdot 0,1 +0,02 - a\cdot 0,1&<& x\cdot 0,02 &\quad \scriptsize \mid\;:0,02 \\[5pt] a\cdot x\cdot 5 +1 -a\cdot 5 &<& x &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] a\cdot x\cdot 5 -a\cdot 5 &<& x-1 \\[5pt] 5\cdot a\cdot (x-1) &<& x-1 \end{array}$
$ 5\cdot a\cdot (x-1) < x-1 $
Da durch den Faktor $x$ jeweils die Wahrscheinlichkeit von $P(A)$ bzw. $P(B)$ reduziert wird, muss $x<1$ sein und damit ist $x-1 <0.$ Teilt man nun durch $(x-1),$ so dreht sich das Ungleichheitszeichen also um:
$\begin{array}[t]{rll} 5\cdot a\cdot (x-1) &<& x-1 &\quad \scriptsize \mid\; :(x-1) < 0 \\[5pt] 5\cdot a &>& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :5 >0 \\[5pt] a&>& 0,2 \end{array}$
$ a> 0,2 $
Variante $\text{I}$ ist also für Krankenhäuser mit einem Anteil infizierter Patienten von $a>0,2$ besser geeignet als Variante $\text{II}.$
#bedingtewahrscheinlichkeit#ungleichung
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App