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Aufgabe 2B

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Alle Patienten eines Krankenhauses müssen sich aufgrund von Verdachtsfällen einem Schnelltest zur Erkennung des Norovirus unterziehen. Man schätzt, dass bereits $5\,\%$ der Patienten infiziert sind.
Ein positives Testergebnis bedeutet, dass ein Patient als infiziert eingestuft wird. Ein negatives Testergebnis bedeutet, dass ein Patient als nicht infiziert eingestuft wird.
In Schnelltests treten die folgenden Fehler auf:
Ein infizierter Patient erhält ein negatives Testergebnis.
Ein nicht infizierter Patient erhält ein positives Testergebnis.
Im vorliegenden Schnelltest gilt: $P(A) = 0,08 ;$ $P(B) = 0,02.$
a)
Gib die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm in der Abbildung an. Betrachtet werden nun die Ereignisse $C$ und $D.$
Wenn ein Patient ein positives Testergebnis erhält, ist er infiziert.
Wenn ein Patient ein negatives Testergebnis erhält, ist er nicht infiziert.
Zeige: $P(C)$ beträgt etwa $70,8\,\%$ und $P(D)$ etwa $99,6\,\%.$
Erläutere auf Grundlage dieser beiden Wahrscheinlichkeiten, wie aussagekräftig ein positives und wie aussagekräftig ein negatives Testergebnis für den Patienten ist.
(9 BE)
#baumdiagramm
b)
Erhält ein Patient ein positives Testergebnis, wird der Test wiederholt. Dadurch soll die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Patient infiziert ist, wenn er zwei positive Testergebnisse erhält, über $99\,\%$ betragen.
Untersuche, ob dieses Ziel durch die Wiederholung des Tests erreicht wird.
(5 BE)
c)
Das Ereignis $G,$ dass ein beliebiger Patient ein falsches Testergebnis erhält, nennt man Gesamtfehler des Tests.
Berechne $P(G)$ beim Test aus Teilaufgabe a).
Erläutere im Sachzusammenhang, dass $P(G)$ nicht die Summe von $P(A)$ und $P(B)$ ist.
Ein Hersteller entwickelt zwei neue Tests, bei denen $P(G)$ geringer als im alten Test ist:
  • In Variante $\text{I}$ wird nur $P(A)$ auf den Anteil $x \cdot 0,08$ reduziert.
  • In Variante $\text{II}$ wird nur $P(B)$ auf den Anteil $x \cdot 0,02$ reduziert.
In verschiedenen Krankenhäusern gibt es unterschiedliche Anteile $a$ infizierter Patienten.
Gib je einen Term für $P(G)$ in Variante $\text{I}$ und in Variante $\text{II}$ an.
Unabhängig von $x$ ist $P(G)$ bei beiden Varianten für $a = 0,2$ gleich groß.
Untersuche, für welche Anteile infizierter Patienten in Krankenhäusern die Variante $\text{I}$ besser geeignet ist.
(10 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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