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Aufgabe 1A

In einem Betrieb wird im Produktionsprozess ein Gas verbraucht. Dazu wird das benötigte Gas durch eine Leitung aus dem Gastank in die Produktionsstätte geleitet. Das hierbei pro Zeit durch die Leitung strömende Gas wird als Gasstrom bezeichnet. Dieser wird in Litern pro Stunde $\left(\frac{\text{L}}{\text{h}}\right)$ gemessen, die Zeit in Stunden $(\text{h})$.
Der Arbeitstag in dem Betrieb dauert $14$ Stunden, am Ende des Arbeitstages wird das Ventil des Gastanks geschlossen.
Es wird eine Langzeitmessung durchgeführt, die folgende Werte ergibt:
Zeit in $\boldsymbol{\text{h}}$ nach Beginn des Arbeitstages$ 0 $$ 4 $$ 6 $$ 10 $
Gasstrom in $\boldsymbol{\frac{\text{L}}{\text{h}}}$$ 2.000 $$ 3.140 $$ 1.500 $$ 1.440 $
$2$ Stunden und $12,2$ Stunden nach Arbeitsbeginn treten Spitzenwerte im Gasstrom auf.
Für das aus diesen Werten entwickelte Modell wird die Funktion $f$ mit
$f(t)=-3\cdot t^4+88\cdot t^3-816\cdot t^2+2.304\cdot t+2.000$, $0\leq t\leq 14$, verwendet.
Dabei wird $t$ in $\text{h}$ und $f(t)$ in $\frac{\text{L}}{\text{h}}$ angegeben.
Der Zeitpunkt $t=0$ entspricht dem Beginn des Arbeitstages.
a)
Der Betriebsleiter stimmt der Nutzung des Modells unter folgenden Bedingungen zu:
  • Die mit dem Modell berechneten Werte weichen nicht mehr als $5\,\%$ von den Tabellenwerten ab.
  • Die Zeitpunkte der mit dem Modell berechneten Spitzenwerte weichen nicht mehr als $15$ Minuten von den Zeitpunkten der Spitzenwerte der Messung ab.
Weise nach, dass mit der Funktion $f$ die Bedingungen des Betriebsleiters erfüllt werden und $f$ somit für die folgenden Berechnungen genutzt werden kann.
Bestimme den Zeitpunkt zwischen den Zeitpunkten der Spitzenwerte im Gasstrom, an dem der Gasstrom am stärksten abnimmt.
Berechne die Gesamtzeit im Laufe eines Arbeitstages, in welcher der Gasstrom mindestens $2.500$ $\frac{\text{L}}{\text{h}}$ beträgt.
(13P)
Das Gas wird für den Verbrauch in einem Tank gespeichert. Dem Tank können $15.600$ $\text{L}$ Gas entnommen werden. Über eine Anzeige wird das noch entnehmbare Gasvolumen in Prozent angezeigt.
b)
Zu Beginn eines Arbeitstages ist der Tank vollständig gefüllt, die Anzeige zeigt $100\,\%$ an.
Begründe, dass das für die Produktion zu einem Zeitpunkt $x$ nach Arbeitsbeginn noch entnehmbare Gasvolumen durch die Funktion $g$ mit
$g(x)=15.600-\int\limits_{0}^{x}f(t)\;\text{d}t$, $x$ in $\text{h}$, $g(x)$ in $\text{L}$, beschrieben werden kann.
Der Tank muss aufgefüllt werden, sobald die Anzeige $20\,\%$ anzeigt.
Bestimme den Zeitpunkt des Beginns dieses Auftankvorgangs.
(8P)
c)
Zu Beginn eines Arbeitstages ist der Tank vollständig gefüllt. Gleichzeitig mit dem Verbrauch des Gases wird der Tank mit einem konstanten Gasstrom von $2.000\;\frac{\text{L}}{\text{h}}$ befüllt.
Bestimme die Zeiträume, in denen das dem Tank entnehmbare Gasvolumen ab- bzw. zunimmt.
Zeige, dass es keinen über den ganzen Arbeitstag konstanten Gasstrom gibt, bei dem der Gastank am Ende des Arbeitstages wieder vollständig gefüllt ist.
Zu Beginn eines anderen Arbeitstages sind im Tank nur noch $3.120\;\text{L}$ enthalten. Die Betankung erfolgt wieder gleichzeitig mit dem Verbrauch des Gases.
Bestimme den konstanten Gasstrom, mit dem die Betankung erfolgt, wenn der Tank nach $30$ Minuten gefüllt ist.
(10P)
d)
Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x)=0,25\cdot x^4-0,5\cdot (k+1)\cdot x^3+1,5\cdot k\cdot x^2$, $x\in\mathbb{R}$, $k\in\mathbb{R}$, gegeben.
Ohne Nachweis kannst du verwenden, dass gilt: $f_k''(x)=3\cdot (x-1)\cdot (x-k)$.
In der Abbildung sind zwei Graphen für $k=0$ und $k=1$ dargestellt.
Entscheide, welcher der beiden Graphen zu dem Parameterwert $k=0$ gehört.
Abb. 2: Graph von $f_k$ für $k=0$ oder $k=1$
Abb. 2: Graph von $f_k$ für $k=0$ oder $k=1$
Entscheide, ob es einen Wert für $k$ gibt, sodass der Graph von $f_k$ symmetrisch zur $y$-Achse ist.
Die Graphen von $f_k$ besitzen Wendepunkte.
Bestimme die Gleichungen derjenigen Kurven, auf denen diese Wendepunkte liegen können.
Für eine ganzrationale Funktion $h$ soll gleichzeitig gelten:
  • An der Stelle $x=2$ hat die zweite Ableitungsfunktion $h''$ eine Nullstelle.
  • Die Stelle $x=2$ ist weder eine Wendestelle noch eine Extremstelle von h.
Leite ausgehend von einem Term für $h''$ eine Gleichung der Ableitungsfunktion $h'$ her.
(15P)
#ableitung#parameter#wendepunkt#funktionenschar#symmetrie
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
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