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Aufgabe 1B

Aufgaben
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Aufgabe 1B

Gegeben ist die Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x)=\mathrm{e}^{k\cdot x}$, $x\in\mathbb{R}$, $k\neq0$.
#funktionenschar
a)
Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen $f_k$ für $k=-1$ und $k=0,5$.
Entscheide, welche der Funktionen zu welchem Graphen gehört.
Aufgabe 1B
Abb. 1: Graphen von $f_k$ für $k=-1$ und $k=0,5$
Aufgabe 1B
Abb. 1: Graphen von $f_k$ für $k=-1$ und $k=0,5$
Berechne die $x$-Koordinate des Punktes, in dem die Tangente an den Graphen von $f_4$ die Steigung $1$ hat.
Für jeden Wert von $k$ bezeichnet $t_k$ die Tangente an den Graphen von $f_k$ im Punkt $(0\mid 1)$.
Zeige, dass es zu jedem Parameter $k_1$ einen davon verschiedenen Parameter $k_2$ gibt, sodass sich die Tangenten $t_{k_1}$ und $t_{k_2}$ senkrecht schneiden. Ohne Nachweis kannst du verwenden: Wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ zweier Geraden die Beziehung gilt: $m_1\cdot m_2=-1$, dann stehen die zugehörigen Geraden senkrecht aufeinander.
Jede Tangente $t_k$ hat eine Nullstelle. Die Nullstelle der Tangente $t_{k_3}$ wird mit $x_{k_3}$ bezeichnet und die Nullstelle der Tangente $t_{k_4}$ wird mit $x_{k_4}$ bezeichnet.
Begründe, dass der Wert von $k_3$ doppelt so groß ist wie der Wert von $k_4$, wenn $x_{k_3}$ halb so groß ist wie $x_{k_4}$.
(12P)
#tangente#parameter#nullstelle#steigung
b)
Die Funktionen $f_k$ werden nun mit den folgenden Bedingungen betrachtet: $x\geq 0$ und $k<0$.
Für jeden Wert von $k$ wird dem Graphen von $f_k$ ein rechtwinkliges Dreieck einbeschrieben. Für eine Stelle $u>0$ sind $O\;(0\mid 0)$ ,$Q\; (u\mid 0)$ und $P_k\;(u\mid f_k(u))$ die Eckpunkte. Bei Rotation dieser Dreiecke um die $x$-Achse entstehen Kegel.
Zeige, dass für die Volumen $V_k$ der Kegel gilt: $V_k(u)=\dfrac{\pi}{3}\cdot u\cdot \mathrm{e}^{2\cdot k\cdot u}$.
Untersuche, ob die Kegel mit dem maximalen Volumen für jeden Wert des Parameters $k$ denselben Grundkreisradius haben. Ohne Nachweis kannst du verwenden:
$V_k'(u)=\dfrac{\pi}{3}\cdot (1+2\cdot k\cdot u)\cdot\mathrm{e}^{2\cdot k\cdot u}$ und $V_k''(u)=\dfrac{4\cdot k\cdot \pi}{3}\cdot (1+k\cdot u)\cdot\mathrm{e}^{2\cdot k\cdot u}$.
(10P)
#kegel#rechtwinkligesdreieck#rotation#parameter
c)
Für $x\leq 0$ werden nun die Funktion $f_4$ sowie die Funktion $g$ mit der Gleichung $g(x)=-4\cdot x\cdot \mathrm{e}^{4\cdot x}$ betrachtet.
$t_{f_4}$ bezeichnet die Tangente an den Graphen von $f_4$ an der Stelle $x$ und $t_g$ bezeichnet die Tangenten an den Graphen von $g$ an dieser Stelle $x$. Es gibt eine Stelle, an der die Tangenten $t_{f_4}$ und $t_g$ parallel zueinander verlaufen.
Bestimme die Differenz der y-Achsenabschnitte dieser parallelen Tangenten.
Die Graphen von $f_4$ und $g$ schneiden sich an einer Stelle $v$ und begrenzen zwei Flächen: Eine liegt rechts von $v$ und wird rechts von der $y$-Achse begrenzt und eine liegt links von $v$ und wird von der Geraden zu $x=-0,5$ begrenzt.
Bestimme das Verhältnis der Inhalte beider Flächen. Die Funktion $g$ wird nun für alle $x\in\mathbb{R}$ betrachtet.
Untersuche, welche Steigungswerte der Graph von $g$ genau einmal und welche Steigungswerte er genau zweimal annimmt.
(18P)
#parallel#tangente
d)
Begründe ausgehend von den Integralen $\int\limits_0^x\mathrm{e}^t\,\mathrm{d}t$ und $\int\limits_0^x (1+t)\;\mathrm{d}t$, dass für $x>0$ gilt:
$\mathrm{e}^x> 1+x+\dfrac{x^2}{2}$.
(6P)
#integral
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a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgraphen zuordnen
Um festzustellen, welcher Graph die Funktionsschar $f_k(x)=\mathrm{e}^{k\cdot x}$ für den Parameter $k=-1$ und $k=0,5$ zeigt, betrachtest du zuerst die Unterschiede der beiden Graphen.
Eine „normale“ $\mathrm{e}$-Funktion verläuft monoton wachsend auf ganz $\mathrm{R}$ und besitzt den Ordinatenabschnitt $1$.
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{x}$-Koordinate berechnen
Du sollst die Stelle bzw. $x$-Koordinate berechnen, bei welchem die Tangente an dern Graphen von $f_4$ die Steigung $1$ besitzt.
Die Tangentensteigung ist allerdings immer gleich der Steigung der Funktion im Berührpunkt ihrer Graphen.
Du berechnest somit die Stelle, an welcher $f_{4}'=1$ gilt.
$\blacktriangleright$  Orthogonalität nachweisen
Gegeben sind die Tangenten $t_k$, welche den Graphen $f_k$ im Punkt $(0\mid 1)$ berühren.
Du sollst nachweisen, dass es einen Parameter $k_2$ gibt, sodass die zugehörige Tangente $t_{k_2}$, welche den Graphen im Punkt $(0\mid 1)$ berührt, die Tangente $t_{k_1}$ senkrecht schneidet.
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass für zwei sich senkrecht schneidente Geraden und Tangenten mit den Steigungen $m_1$ und $m_2$ gilt:
$m_1\cdot m_2=-1$
$m_1\cdot m_2=-1$
1. Schritt: Steigung berechnen
Für die Steigungen der Tangenten benötigst du den Term der Ableitung, welche du mit der Kettenregel erhälst.
$\blacktriangleright$  Verhältnis der Tangenten und Nullstellen Parameter begründen
Du sollst begründen, warum $k_3$ doppelt so groß ist wie $k_4$, wenn die Nullstelle der Tangente $t_{k_3}$ $x_{k_3}$ halb so weit vom Ursprung entfernt ist wie $x_{k_4}$. Zur Vereinfachung dieses Problems bestimmst du zuerst die Funktionsgleichung der Tangente $t_k$ und die zugehörige Nullstelle $x_k$.
b)
$\blacktriangleright$  Volumen der Kegel bestimmen
Aufgabe 1B
Abb. 1: Skizze des rechtwinkligen Dreiecks
Aufgabe 1B
Abb. 1: Skizze des rechtwinkligen Dreiecks
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Rotationsvolumen
Um das Volumen des Kegels zu berechnen, bestimmst du die Geradengleichung der Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks, welche die Punkte $(0\mid 0)$ und $\left(u\mid f_k(u)\right)$ verbindet und berechnest daraus dann das Rotationsvolumen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Kegelvolumen
Du kannst den Funktionswert $f_k(u)$ als Radius der Grundfläche eines liegenden Kegels mit der Höhe $u-0=u$ verwenden. Für das Volumen eines Kegels gilt:
$V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$
$V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$
$\blacktriangleright$  Unabhängigkeit des maximalen Volumens nachweisen
Um zu überprüfen, ob der Grundkreisradius unabhängig vom Parameter $k$ ist, bestimmst du zuerst den Wert für $u$ welcher $V_k$ maximiert.
Die dafür nötige erste und zweite Ableitung ist in der Aufgabenstellunng gegeben mit:
$\begin{array}[t]{rll} V_k'(u)&=& \dfrac{\pi}{3}\cdot (1+2\cdot k\cdot u)\cdot \mathrm e^{2\cdot k\cdot u} &\\[5pt] V_k''(u)&=& \dfrac{4\cdot k\cdot \pi}{3}\cdot (1+k\cdot u)\cdot \mathrm e^{2\cdot k\cdot u} \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Differenz der $\boldsymbol{y-}$Achsenabschnitte bestimmen
Du sollst die Differenz der $y-$Achsenabschnitte der Tangenten bestimmen, die parallel zueinander sind. zuerst musst du die Stelle bestimmen, an der die Tangenten an $f_4$ und $g$ parallel zueinander verlaufen, also die gleiche Steigung besitzen. Da die Steigung einer Tangente an der Stelle $x$ der Steigung der Funktion an der Stelle $x$ entspricht, musst du $g'$ und $f'_4$ gleichsetzten und nach $x$ auflösen.
Anschließend musst du die Tangentengleichungen aufstellen und die $y-$ Achsenabschnitte voneinander subtrahieren.
$\blacktriangleright$ Konzept zu Berechnung des Verhältnises der Flächeninhalte erstellen
Um das Verhältnis der Flächeninhalte zu bestimmen musst du die Flächeninhalte zunächst berechnen. Es handelt sich um Flächeninhalte zwischen $f_4$ und $g$ im Intervall $[-0,5;v]$ und $[v;0]$. Flächeninhalte zwischen Kurven berechnest du mit dem Integral über den Betrag der Differenz von $f_4$ und $g$. Bevor du die Integrale berechnen kannst, musst du $v$ bestimmen.
$\blacktriangleright$ Häufigkeit der Steigungswerte analysieren
Du sollst untersuchen, welche Steigungswerte der Graph von $g$ genau einmal bzw. genau zweimal annimmt. Untersuche dazu die Funktion $g'(x)=-4\cdot(4\cdot x+1)\cdot \text{e}^{4x} $.
d)
$\blacktriangleright$  Ungleichung begründen
Du sollst mit Hilfe der beiden Integrale $\int\limits_0^x\mathrm e^t\;\mathrm d t$ und $\int\limits_0^x (1+t)\;\mathrm d t$ die Abschätzung $\mathrm e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}$ für alle $x>0$ nachweisen.
Untersuchte dazu die Integranten $\mathrm e^t$ und $(1+t)$.
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a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgraphen zuordnen
Um festzustellen, welcher Graph die Funktionsschar $f_k(x)=\mathrm{e}^{k\cdot x}$ für den Parameter $k=-1$ und $k=0,5$ zeigt, betrachtest du zuerst die Unterschiede der beiden Graphen.
Eine „normale“ $\mathrm{e}$-Funktion verläuft monoton wachsend auf ganz $\mathrm{R}$ und besitzt den Ordinatenabschnitt $1$.
Betrachtest du den Term der Funktion $f_{-1}(x)=\mathrm{e}^{-1\cdot x}$, lässt sich dieser schreiben als $f_{-1}(x)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}$.
Dies ist eine gebrochenrationale Funktion. Der Nenner, die $\mathrm{e}$-Funktion, wächst dabei, wie du bereits weißt, monoton an. Der Funktionswert wird somit für steigende Argumente $x$ kleiner.
Der grüne Graph zeigt eine $\mathrm{e}$-Funktion mit positivem Exponenten, in diesem Fall mit $k=0,5$. Der andere Graph fällt für steigende $x$-Werte und zeigt den Graph von $f_{-1}$.
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{x}$-Koordinate berechnen
Du sollst die Stelle bzw. $x$-Koordinate berechnen, bei welchem die Tangente an den Graphen von $f_4$ die Steigung $1$ besitzt.
Die Tangentensteigung ist allerdings immer gleich der Steigung der Funktion im Berührpunkt ihres Graphen.
Du berechnest somit die Stelle, an welcher $f_{4}'=1$ gilt.
1. Schritt: Funktion aufstellen und Ableitung berechnen
Um diese Gleichung zu lösen, benötigst du die Ableitung $f_4'$. Die Funktion $f_4$ lautet dabei:
$\begin{array}[t]{rll} f_4(x)&=& \mathrm e^{4\cdot x} &\\[5pt] \end{array}$
Die Ableitung bestimmst du mit der Kettenregel:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& u(v(x)) &\\[5pt] f'(x)&=& v'(x)\cdot u'(v(x)) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& u(v(x)) &\\[5pt] f'(x)&=& v'(x)\cdot u'(v(x)) \end{array}$
Dabei gilt $u(x)=\mathrm e^x$ und $v(x)=4\cdot x$. Du erhälst die Funktionsgleichung der Ableitung:
$\begin{array}[t]{rll} f_4'(x)&=& 4\cdot\mathrm e^{4\cdot x} &\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Gleichung lösen
Mit dieser Funktionsgleichung löst du die Gleichung $f_4'(x)=1$, um die $x$-Koordinate zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} f_4'(x)&=& 1 &\\[5pt] 4\cdot\mathrm e^{4\cdot x}&=& 1 &\scriptsize\quad\mid\; \cdot\dfrac{1}{4}\\[5pt] \mathrm e^{4\cdot x}&=& \dfrac{1}{4} &\scriptsize\quad\mid\; \ln\\[5pt] 4\cdot x&=& \ln\left(\dfrac{1}{4}\right) &\scriptsize\quad\mid\; \cdot\dfrac{1}{4}\\[5pt] x &=& \dfrac{1}{4}\cdot\ln\left(\dfrac{1}{4}\right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4}\cdot\left(\ln(1)-\ln(4)\right) \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{4}\cdot\ln(4) \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{4}\cdot\ln(2^2) \\[5pt] &=& -\dfrac{2}{4}\cdot\ln(2)\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2}\cdot\ln(2) \end{array}$
$ x=-\dfrac{1}{2} $
Die Tangente an den Graphen von $f_4$ hat an der Stelle $x=-\dfrac{1}{2}\cdot\ln(2)$ die Steigung $1$.
$\blacktriangleright$  Orthogonalität nachweisen
Gegeben sind die Tangenten $t_k$, welche den Graphen $f_k$ im Punkt $(0\mid 1)$ berühren.
Du sollst nachweisen, dass es einen Parameter $k_2$ gibt, sodass die zugehörige Tangente $t_{k_2}$, welche den Graphen im Punkt $(0\mid 1)$ berührt, die Tangente $t_{k_1}$ senkrecht schneidet.
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass für zwei sich senkrecht schneidende Geraden und Tangenten mit den Steigungen $m_1$ und $m_2$ gilt:
$m_1\cdot m_2=-1$
$m_1\cdot m_2=-1$
1. Schritt: Steigung berechnen
Für die Steigungen der Tangenten benötigst du den Term der Ableitung, welchen du erneut mit der Kettenregel erhälst:
$\begin{array}[t]{rll} f_k(x)&=& \mathrm e^{k\cdot x} &\\[5pt] f_k'(x)&=& k\cdot\mathrm e^{k\cdot x} \end{array}$
Im Punkt $(0\mid 1)$, beziehungsweise an der Stelle $x=0$ hat der Graph von $f_k$ die Steigung:
$\begin{array}[t]{rll} f_k'(0)&=& k\cdot\mathrm e^{k\cdot 0} &\\[5pt] &=& k\cdot 1 \\[5pt] &=& k \end{array}$
Die Tangente $t_{k_1}$ besitzt im Punkt $(0\mid 1)$ somit die Steigung $k_1$.
2. Schritt: Parameter $\boldsymbol{k_2}$ bestimmen
Um den Parameter $k_2$ zu bestimmen, sodass $t_{k_2}$ und $t_{k_1}$ sich senkrecht schneiden, wendest du die Bedingung aus der Aufgabenstellung an, und löst die Gleichung nach $t_{k_2}$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} k_1\cdot k_2&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot\dfrac{1}{k_1} \\[5pt] k_2 &=& -\dfrac{1}{k_1} \end{array}$
Da $k\neq 0$ gilt, kannst du für alle $k_1$ das zugehörige $k_2$ berechnen. Somit gibt es immer Tangenten, welche sich an der Stelle $x=0$ senkrecht schneiden.
$\blacktriangleright$  Verhältnis der Tangenten und Nullstellen Parameter begründen
Du sollst begründen, warum $k_3$ doppelt so groß ist wie $k_4$, wenn die Nullstelle der Tangente $t_{k_3}$ $x_{k_3}$ halb so weit vom Ursprung entfernt ist wie $x_{k_4}$. Zur Vereinfachung dieses Problems bestimmst du zuerst die Funktionsgleichung der Tangente $t_k$ und die zugehörige Nullstelle $x_k$.
1. Schritt: Funktionsgleichung bestimmen
Alle Tangenten $t_k$ verlaufen durch den Punkt $(0\mid 1)$ und besitzen die Steigung $k$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Allgemeine Tangentengleichung
Alle Tangenten an eine Funktion lassen sich in folgender Form schreiben. Dabei bezeichnet $u$ die Stelle an welcher die Tangente an der Graphen angelegt wird.
$t: \, y=f'(u)\cdot (x-u)+f(u)$
$t: \, y=f'(u)\cdot (x-u)+f(u)$
Du benötigst die Tangentengleichug an der Stelle $u=0$, dort gilt $f_k'(0)=k$ und $f_k(0)=1$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& f_k'(0)\cdot (x-0)+f(0)&\\[5pt] &=& k\cdot x+1 \end{array}$
Die Tangenten durch $(0\mid 1)$ an die Graphen von $f_k$ haben die Form $y=k\cdot x+1$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Allgemeine Geradengleichung
Alle Tangenten sind Geraden und lassen sich somit durch die Form $y=m\cdot x+c$ ausdrücken.
Du benötigst die Steigung $m=f_k'(0)=k$ sowie den Ordinatenabschnitt $c=f_k(0)=1$ um die Tangente an den Graphen $f_k$ durch den Punkt $(0\mid 1)$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot x+c &=& f_k'(0)\cdot x+f_k(0) &\\[5pt] &=& k\cdot x+1 \end{array}$
$ y=k\cdot x+1 $
Die Tangenten durch $(0\mid 1)$ an die Graphen von $f_k$ haben die Form $y=k\cdot x+1$.
2. Schritt: Nullstelle berechnen
Alle Nullstellen zeichen sich durch den $y$-Wert $0$ aus. Du setzt die Geradengleichung $0$ und löst sie nach der Nullstelle $x_k$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& k\cdot x_k+1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -1&=& k\cdot x_k &\quad \scriptsize \mid\; \cdot\dfrac{1}{k} \\[5pt] -\dfrac{1}{k} &=& x_k \end{array}$
Die Nullstellen der Tangenten $t_k$ haben den $x$-Wert $-\dfrac{1}{k}$.
3. Schritt: Aussage begründen
Die Tangenten $t_{k_3}$ und $t_{k_4}$ haben ihre Nullstellen bei $x_{k_3}$ beziehungsweise $x_{k_4}$.
Der Aufgabenstellung nach, ist zu prüfen wie $k_3$ und $k_4$ im Verhältnis stehen wenn $x_{k_3}$ halb so groß ist wie $x_{k_4}$, also $x_{k_3}=\dfrac{1}{2}\cdot x_{k_4}$ gilt. Betrachte die Nullstelle $x_{k_3}$ der Tangente $t_{k_3}$:
$\begin{array}[t]{rll} x_{k_3}&=& \dfrac{1}{2}\cdot x_{k_4} &\\[5pt] -\dfrac{1}{k_3}&=& \dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{k_4}\right) &\scriptsize\quad\mid\;\text{Kehrbruch} \\[5pt] -k_3&=& 2\cdot (-k_4) &\scriptsize\quad\mid\; \cdot(-1) \\[5pt] k_3&=& 2\cdot k_4 \end{array}$
$ k_3=2\cdot k_4 $
Damit ist gezeigt, dass $k_3=2\cdot k_4$ gilt, wenn $x_{k_3}=\dfrac{1}{2}\cdot x_{k_4}$ gilt.
#kettenregel#geradengleichung#gleichung#ableitung#orthogonal
b)
$\blacktriangleright$  Volumen der Kegel bestimmen
Aufgabe 1B
Abb. 1: Skizze des rechtwinkligen Dreiecks
Aufgabe 1B
Abb. 1: Skizze des rechtwinkligen Dreiecks
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Rotationsvolumen
Um das Volumen des Kegels zu berechnen, bestimmst du die Geradengleichung der Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks, welche die Punkte $(0\mid 0)$ und $\left(u\mid f_k(u)\right)$ verbindet und berechnest daraus dann das Rotationsvolumen.
1. Schritt: Geradengleichung bestimmen
Die Gerade verbindet die Punkte $(0\mid 0)$ und $\left(u\mid f_k(u)\right)$. Du benötigst Steigung udn Ordinatenabschnitt.
Die Steigung $m$ bestimmst du mittels eines Steigungsdreiecks:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\\[5pt] &=& \dfrac{f_k(u)-0}{u-0} \\[5pt] &=& \dfrac{\mathrm e^{k\cdot u}}{u} \end{array}$
Die Steigung der Geraden ist $\dfrac{\mathrm e^{k\cdot u}}{u}$. Da es sich um eine Ursprungsgerade handelt, gilt für den Ordinatenabschnitt $c=0$.
Du erhälst die Geradengleichung:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{\mathrm e^{k\cdot u}}{u}\cdot x &\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Rotatiosnvolumen bestimmen
Das Rotationsvolumen einer Funktion $g(x)$ ist zwischen den Stellen $a$ und $b$ definiert durch:
$V\left[g(x)\right]=\pi\cdot\int\limits_a^b \left(g(x)\right)^2\;\mathrm d x$
$V\left[g(x)\right]=\pi\cdot\int\limits_a^b \left(g(x)\right)^2\;\mathrm d x$
Für die Geradengleichung als Funktion und $0$ sowie $u$ als Grenzen ergibt sich das Volumen des Kegels mit:
$\begin{array}[t]{rll} V_k(u)&=& \pi\cdot\int\limits_0^u \left( \dfrac{\mathrm e^{k\cdot u}}{u}\cdot x \right)^2\;\mathrm d x &\\[5pt] &=& \pi\cdot\int\limits_0^u \dfrac{\mathrm e^{2\cdot k\cdot u}\cdot x^2}{u^2}\;\mathrm d x \\[5pt] &=& \pi\cdot\dfrac{\mathrm e^{2\cdot k\cdot u}}{u^2}\cdot\int\limits_0^u x^2\;\mathrm d x \\[5pt] &=& \pi\cdot\dfrac{\mathrm e^{2\cdot k\cdot u}}{u^2}\cdot\left[\dfrac{1}{3}\cdot x^3\right]_0^u\;\mathrm d x \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot\dfrac{\mathrm e^{2\cdot k\cdot u}}{u^2}\cdot\left(u^3-0 \right)\\[5pt] &=& \dfrac{\pi}{3}\cdot u\cdot \mathrm e^{2\cdot k\cdot u} \end{array}$
$ V_k(u)=\dfrac{\pi}{3}\cdot u\cdot \mathrm e^{2\cdot k\cdot u} $
Der Kegel hat das Volumen $V_k(u)=\dfrac{\pi}{3}\cdot u\cdot \mathrm e^{2\cdot k\cdot u}$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Kegelvolumen
Du kannst den Funktionswert $f_k(u)$ als Radius der Grundfläche eines liegenden Kegels mit der Höhe $u-0=u$ verwenden. Für das Volumen eines Kegels gilt:
$V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$
$V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$
Mit dem Radius $r=f_k(u)$ und der Höhe $h=u$ ergibt sich für das Volumen $V_k$:
$\begin{array}[t]{rll} V_k(u)&=& \dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot \left(f_k(u)\right)^2\cdot u &\\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot\left(\mathrm e^{k\cdot u}\right)^2\cdot u \\[5pt] &=& \dfrac{\pi}{3}\cdot u\cdot \mathrm e^{2\cdot k\cdot u} \end{array}$
Der Kegel hat das Volumen $V_k(u)=\dfrac{\pi}{3}\cdot u\cdot \mathrm e^{2\cdot k\cdot u}$.
$\blacktriangleright$  Unabhängigkeit des maximalen Volumens nachweisen
Um zu überprüfen, ob der Grundkreisradius unabhängig vom Parameter $k$ ist, bestimmst du zuerst den Wert für $u$ welcher $V_k$ maximiert.
Die dafür nötige erste und zweite Ableitung ist in der Aufgabenstellunng gegeben mit:
$\begin{array}[t]{rll} V_k'(u)&=& \dfrac{\pi}{3}\cdot (1+2\cdot k\cdot u)\cdot \mathrm e^{2\cdot k\cdot u} &\\[5pt] V_k''(u)&=& \dfrac{4\cdot k\cdot \pi}{3}\cdot (1+k\cdot u)\cdot \mathrm e^{2\cdot k\cdot u} \end{array}$
1. Schritt: Ableitung null setzen
Zur Bestimmung der Extremstellen der Volumenfunktion setzt du deren erste Ableitung $0$:
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& V_k'(u) &\\[5pt] &=& \dfrac{\pi}{3}\cdot (1+2\cdot k\cdot u)\cdot \mathrm e^{2\cdot k\cdot u} &\quad\scriptsize\mid\;\text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] &=& 1+2\cdot k\cdot u &\quad\scriptsize\mid\; -1\\[5pt] -1&=& 2\cdot k\cdot u &\quad\scriptsize\mid\; \cdot\dfrac{1}{2\cdot k}\\[5pt] -\dfrac{1}{2\cdot k} &=& u \end{array}$
$ -\dfrac{1}{2\cdot k} = u $
An der Stelle $u=-\dfrac{1}{2\cdot k}$ hat die Volumenfunktion einen Extrempunkt.
2. Schritt: Art des Extrempunkts prüfen
Zur Prüfung der Art des Extrempunktes setzt du diesen in die zweite Ableitung ein. Für ein Maximum und Hochpunkt ist die zweite Ableitung negativ.
$\begin{array}[t]{rll} V_k''(-\dfrac{1}{2\cdot k})&=& \dfrac{4\cdot k\cdot \pi}{3}\cdot \left(1+k\cdot \left(-\dfrac{1}{2\cdot k}\right)\right)\cdot \mathrm e^{2\cdot k\cdot \left(-\dfrac{1}{2\cdot k}\right)} &\\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot k\cdot \pi}{3}\cdot \left(1-\dfrac{1}{2}\right)\cdot\mathrm e^{-1} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{k\cdot\pi}{\mathrm e} \end{array}$
$ V_k''(-\dfrac{1}{2\cdot k})=\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{k\cdot\pi}{\mathrm e} $
Da $k<0$ ist der Term $\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{k\cdot\pi}{\mathrm e}$ ebenfalls kleiner als $0$. An der Stelle $-\dfrac{1}{2\cdot k}$ liegt ein Hochpunkt vor. Das Volumen ist an dieser Stelle somit maximal.
3. Schritt: Grundkreisradius berechnen
Mit der Stelle $u=-\dfrac{1}{2\cdot k}$ berechnest du den Grundkreisradius $r=f_k(u)$:
$\begin{array}[t]{rll} r&=& f_k\left(-\dfrac{1}{2\cdot k}\right) &\\[5pt] &=& \mathrm e^{k\cdot\left(-\dfrac{1}{2\cdot k}\right)} \\[5pt] &=& \mathrm e^{-\dfrac{1}{2}} \\[5pt] \end{array}$
Die Kegel mit dem maximalen Volumen haben den Grundkreisradius $\mathrm e^{-\dfrac{1}{2}}$, dieser ist unabhängig von $k$ und somit für alle Kegel an allen Funktionen der Schar gleich.
#extrempunkt#ableitung
c)
$\blacktriangleright$ Stelle, an der Tangenten parallel zueinander sind bestimmen
Du sollst die Stelle bestimmen, an der die Tangenten an $f_4$ und $g$ parallel zueinander verlaufen, also die gleiche Steigung besitzen. Da die Steigung einer Tangente an der Stelle $x$ der Steigung der Funktion an der Stelle $x$ entspricht, musst du $g'$ und $f'_4$ gleichsetzten und nach $x$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} f_4'(x)&=&g'(x) \\[5pt] 4\text{e}^{4x}&=&-16\cdot x\cdot \text{e}^{4x}-4\cdot \text{e}^{4x} &\quad \scriptsize \mid\;+16\cdot x\cdot \text{e}^{4x}+4\cdot \text{e}^{4x} \\[5pt] 4\text{e}^{4x}+16\cdot x\cdot \text{e}^{4x}+4\cdot \text{e}^{4x}&=&0\\[5pt] 8\text{e}^{4x}+16\cdot x\cdot \text{e}^{4x}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Faktorisieren} \\[5pt] 8\text{e}^{4x}\cdot (1+2x)&=&0 \end{array}$
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist die Gleichung genau dann erfüllt, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Die Exponentialfunktion ist für kein $x$ Null. Damit ist die Gleichung nur erfüllt, wenn $1+2x=0$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} 1+2x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] 2x&=&-1 &\quad \scriptsize \mid\;:2\\[5pt] x&=&-\dfrac{1}{2} \end{array}$
Die beiden Tangenten verlaufen an der Stelle $x=-\dfrac{1}{2}$ parallel zueinander.
$\blacktriangleright$ Differenz der $\boldsymbol{y}-$Achsen Abschnitte bestimmen
Die Tangentengleichungen an der Stelle $\dfrac{1}{2}$ kannst du mit den folgenden Gleichungen bestimmen:
$t_{f_4}(x)=f'_4(-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})+f_4(-\frac{1}{2})$
$t_{g}(x)=g'(-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})+g(-\frac{1}{2})$
Die $y-$ Achsen Abschnitte sind $f_4(-\frac{1}{2})$ und $g(-\frac{1}{2})$.
Die Differenz der $y-$Achsen Abschnitte ist:
$\begin{array}[t]{rll} g(-\frac{1}{2})-f_4(-\frac{1}{2})&=& 2\text{e}^{-2}-\text{e}^{-2} \\[5pt] &=&\text{e}^{-2}\\[5pt] &\approx& 0,14 \end{array}$
Die Differenz der $y-$ Achsenabschnitte ist $0,14$.
$\blacktriangleright$ Konzept zu Berechnung des Verhältnises der Flächeninhalte erstellen
Um das Verhältnis der Flächeninhalte zu bestimmen musst du die Flächeninhalte zunächst berechnen. Es handelt sich um Flächeninhalte zwischen $f_4$ und $g$ im Intervall $[-0,5;v]$ und $[v;0]$. Flächeninhalte zwischen Kurven berechnest du mit dem Integral über den Betrag der Differenz von $f_4$ und $g$. Bevor du die Integrale berechnen kannst, musst du $v$ bestimmen.
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{v}$ bestimmen
Bestimme den Schnittpunkt $v$ der Kurven $g$ und $f_4$.
$\begin{array}[t]{rll} f_4(v)&=&g(v)\\[5pt] \text{e}^{4v}&=&-4x\text{e}^{4v} &\quad \scriptsize \mid\;:\text{e}^{4v}\\[5pt] 1&=&-4v &\quad \scriptsize \mid\;:(-4)\\[5pt] x&=& -\frac{1}{4} \end{array}$
Der Schnittpunkt und damit die unbekannte Integrationsgrenze ist $v=-\frac{1}{4}$
$\blacktriangleright$ Flächeninhalte zwischen den Kurven bestimmen
Berechne zuerst die Fläche zwischen $g$ und $f_4$ im Intervall $[-0,5;-0,25]$ und nenne diese Fläche $A_1$. In diesem Intervall verläuft $g$ oberhalb von $f_4$. Berechne den Wert des Integrals mit deinem Taschenrechner. $\begin{array}[t]{rll} A_1&=&\int_{-0,5}^{-0,25} |f_4(x)-g(x)| dx \\[5pt] &=&\int_{-0,5}^{-0,25}g(x)- f_4(x) dx \\[5pt] &=& 0,024 \end{array}$
Berechne als Nächstes die Fläche zwischen $g$ und $f_4$ im Intervall $[-0,25;0]$ und nenne diese Fläche $A_2$. In diesem Intervall verläuft $f_4$ oberhalb von $g$. Berechne den Wert des Integrals mit deinem Taschenrechner.
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=&\int_{-0,25}^{0} |f_4(x)-g(x)| dx \\[5pt] &=&\int_{-0,5}^{-0,25} f_4(x)-g(x) dx \\[5pt] &=& 0,091 \end{array}$
Das Verhältnis der Flächen ist:
$\dfrac{A_1}{A_2}\approx 0,26$.
$\blacktriangleright$ Häufigkeit der Steigungswerte analysieren
Du sollst untersuchen, welche Steigungswerte der Graph von $g$ genau einmal bzw. genau zweimal annimmt. Untersuche dazu die Funktion $g'(x)=-4\cdot(4\cdot x+1)\cdot \text{e}^{4x} $.
Betrachte als erstes den Wert $0$. Dieser Steigungswert wird von $g$ an allen Stellen angenommen, an denen die Ableitungsfunktion Null ist. Da $\text{e}^{4x}$ für jedes $x$ größer als Null ist, halt $g'(x)$ die einzige Nullstelle $-0,25$. Der Steigungswert $0$ wird also einmal angenommen.
Betrachte als Nächstes die Werte $x>0$. Für diese Werte ist $g'$ streng monoton fallend. Außerdem ist $g'(x)< 0$. Jede negative reelle Zahl wird genau einmal als Steigungswert angenommen.
Betrachte als Letztes die Werte $x < -0,25$. Für diese Werte ist $g'$ positiv und hat ein Maximum bei $x=-0,5$. Da $g'(x)\rightarrow 0$ für $x \rightarrow\infty$, nimmt $g$ alle Steigungswerte zwischen $0$ und $g(-0,5)$ genau zwiemal und den Maximalwert $g(-0,5)$ genau einmal an.
#integral#tangente
d)
$\blacktriangleright$  Ungleichung begründen
Du sollst mit Hilfe der beiden Integrale $\int\limits_0^x\mathrm e^t\;\mathrm d t$ und $\int\limits_0^x (1+t)\;\mathrm d t$ die Abschätzung $\mathrm e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}$ für alle $x>0$ nachweisen.
Untersuchte dazu die Integranden $\mathrm e^t$ und $(1+t)$.
Für $t=0$ haben beide den gleichen Funktionswert $1$. Allerdings ist die Steigung der $\mathrm e$-Funktion immer größer als die der Gerade, deren Steigung konstant $1$ ist.
Somit gilt für alle $t$-Werte größer $0$, dass $\mathrm e^t$ größer als $(1+t)$ ist.
Bestimmst du den Wert derIntegrale, erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} \int\limits_0^x\mathrm e^t\;\mathrm d t& >& \int\limits_0^x (1+t)\;\mathrm d t &\\[5pt] \mathrm e^x-1& > & x+\dfrac{x^2}{2} &\quad\scriptsize\mid \; +1 \\[5pt] \mathrm e^x & > & 1+x+\dfrac{x^2}{2} \end{array}$
Damit ist die Ungleichung nachgewiesen.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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