Aufgabe 1B

Gegeben ist die Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x)=\mathrm{e}^{k\cdot x}$ , $x\in\mathbb{R}$ , $k\neq0$ .

Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen $f_k$ für $k=-1$ und $k=0,5$ .

Entscheide, welche der Funktionen zu welchem Graphen gehört.

Abb. 1: Graphen von $f_k$ für $k=-1$ und $k=0,5$

Berechne die $x$ -Koordinate des Punktes, in dem die Tangente an den Graphen von $f_4$ die Steigung $1$ hat.

Für jeden Wert von $k$ bezeichnet $t_k$ die Tangente an den Graphen von $f_k$ im Punkt $(0\mid 1)$ .

Zeige, dass es zu jedem Parameter $k_1$ einen davon verschiedenen Parameter $k_2$ gibt, sodass sich die Tangenten $t_{k_1}$ und $t_{k_2}$ senkrecht schneiden. Ohne Nachweis kannst du verwenden: Wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ zweier Geraden die Beziehung gilt: $m_1\cdot m_2=-1$ , dann stehen die zugehörigen Geraden senkrecht aufeinander.

Jede Tangente $t_k$ hat eine Nullstelle. Die Nullstelle der Tangente $t_{k_3}$ wird mit $x_{k_3}$ bezeichnet und die Nullstelle der Tangente $t_{k_4}$ wird mit $x_{k_4}$ bezeichnet.

Begründe, dass der Wert von $k_3$ doppelt so groß ist wie der Wert von $k_4$ , wenn $x_{k_3}$ halb so groß ist wie $x_{k_4}$ .

(12P)

Die Funktionen $f_k$ werden nun mit den folgenden Bedingungen betrachtet: $x\geq 0$ und $k\lt 0$ .

Für jeden Wert von $k$ wird dem Graphen von $f_k$ ein rechtwinkliges Dreieck einbeschrieben. Für eine Stelle $u\gt 0$ sind $O\;(0\mid 0)$ , $Q\; (u\mid 0)$ und $P_k\;(u\mid f_k(u))$ die Eckpunkte. Bei Rotation dieser Dreiecke um die $x$ -Achse entstehen Kegel.

Zeige, dass für die Volumen $V_k$ der Kegel gilt: $V_k(u)=\dfrac{\pi}{3}\cdot u\cdot \mathrm{e}^{2\cdot k\cdot u}$ .

Untersuche, ob die Kegel mit dem maximalen Volumen für jeden Wert des Parameters $k$ denselben Grundkreisradius haben. Ohne Nachweis kannst du verwenden:

$V_k‘(u)=\dfrac{\pi}{3}\cdot (1+2\cdot k\cdot u)\cdot\mathrm{e}^{2\cdot k\cdot u}$ und $V_k‘‘(u)=\dfrac{4\cdot k\cdot \pi}{3}\cdot (1+k\cdot u)\cdot\mathrm{e}^{2\cdot k\cdot u}$ .

(10P)

Für $x\leq 0$ werden nun die Funktion $f_4$ sowie die Funktion $g$ mit der Gleichung $g(x)=-4\cdot x\cdot \mathrm{e}^{4\cdot x}$ betrachtet.

$t_{f_4}$ bezeichnet die Tangente an den Graphen von $f_4$ an der Stelle $x$ und $t_g$ bezeichnet die Tangenten an den Graphen von $g$ an dieser Stelle $x$ . Es gibt eine Stelle, an der die Tangenten $t_{f_4}$ und $t_g$ parallel zueinander verlaufen.

Bestimme die Differenz der y-Achsenabschnitte dieser parallelen Tangenten.

Die Graphen von $f_4$ und $g$ schneiden sich an einer Stelle $v$ und begrenzen zwei Flächen: Eine liegt rechts von $v$ und wird rechts von der $y$ -Achse begrenzt und eine liegt links von $v$ und wird von der Geraden zu $x=-0,5$ begrenzt.

Bestimme das Verhältnis der Inhalte beider Flächen. Die Funktion $g$ wird nun für alle $x\in\mathbb{R}$ betrachtet.

Untersuche, welche Steigungswerte der Graph von $g$ genau einmal und welche Steigungswerte er genau zweimal annimmt.

(18P)

Begründe ausgehend von den Integralen $\int\limits_0^x\mathrm{e}^t\,\mathrm{d}t$ und $\int\limits_0^x (1+t)\;\mathrm{d}t$ , dass für $x\gt 0$ gilt:

$\mathrm{e}^x\gt 1+x+\dfrac{x^2}{2}$ .

(6P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]