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Aufgabe 1B

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Aufgabe 1B

Gegeben ist die Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x)=\mathrm{e}^{k\cdot x}$, $x\in\mathbb{R}$, $k\neq0$.
#funktionenschar
a)
Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen $f_k$ für $k=-1$ und $k=0,5$.
Entscheide, welche der Funktionen zu welchem Graphen gehört.
Abb. 1: Graphen von $f_k$ für $k=-1$ und $k=0,5$
Abb. 1: Graphen von $f_k$ für $k=-1$ und $k=0,5$
Berechne die $x$-Koordinate des Punktes, in dem die Tangente an den Graphen von $f_4$ die Steigung $1$ hat.
Für jeden Wert von $k$ bezeichnet $t_k$ die Tangente an den Graphen von $f_k$ im Punkt $(0\mid 1)$.
Zeige, dass es zu jedem Parameter $k_1$ einen davon verschiedenen Parameter $k_2$ gibt, sodass sich die Tangenten $t_{k_1}$ und $t_{k_2}$ senkrecht schneiden. Ohne Nachweis kannst du verwenden: Wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ zweier Geraden die Beziehung gilt: $m_1\cdot m_2=-1$, dann stehen die zugehörigen Geraden senkrecht aufeinander.
Jede Tangente $t_k$ hat eine Nullstelle. Die Nullstelle der Tangente $t_{k_3}$ wird mit $x_{k_3}$ bezeichnet und die Nullstelle der Tangente $t_{k_4}$ wird mit $x_{k_4}$ bezeichnet.
Begründe, dass der Wert von $k_3$ doppelt so groß ist wie der Wert von $k_4$, wenn $x_{k_3}$ halb so groß ist wie $x_{k_4}$.
(12P)
#tangente#parameter#nullstelle#steigung
b)
Die Funktionen $f_k$ werden nun mit den folgenden Bedingungen betrachtet: $x\geq 0$ und $k<0$.
Für jeden Wert von $k$ wird dem Graphen von $f_k$ ein rechtwinkliges Dreieck einbeschrieben. Für eine Stelle $u>0$ sind $O\;(0\mid 0)$ ,$Q\; (u\mid 0)$ und $P_k\;(u\mid f_k(u))$ die Eckpunkte. Bei Rotation dieser Dreiecke um die $x$-Achse entstehen Kegel.
Zeige, dass für die Volumen $V_k$ der Kegel gilt: $V_k(u)=\dfrac{\pi}{3}\cdot u\cdot \mathrm{e}^{2\cdot k\cdot u}$.
Untersuche, ob die Kegel mit dem maximalen Volumen für jeden Wert des Parameters $k$ denselben Grundkreisradius haben. Ohne Nachweis kannst du verwenden:
$V_k'(u)=\dfrac{\pi}{3}\cdot (1+2\cdot k\cdot u)\cdot\mathrm{e}^{2\cdot k\cdot u}$ und $V_k''(u)=\dfrac{4\cdot k\cdot \pi}{3}\cdot (1+k\cdot u)\cdot\mathrm{e}^{2\cdot k\cdot u}$.
(10P)
#kegel#rechtwinkligesdreieck#rotation#parameter
c)
Für $x\leq 0$ werden nun die Funktion $f_4$ sowie die Funktion $g$ mit der Gleichung $g(x)=-4\cdot x\cdot \mathrm{e}^{4\cdot x}$ betrachtet.
$t_{f_4}$ bezeichnet die Tangente an den Graphen von $f_4$ an der Stelle $x$ und $t_g$ bezeichnet die Tangenten an den Graphen von $g$ an dieser Stelle $x$. Es gibt eine Stelle, an der die Tangenten $t_{f_4}$ und $t_g$ parallel zueinander verlaufen.
Bestimme die Differenz der y-Achsenabschnitte dieser parallelen Tangenten.
Die Graphen von $f_4$ und $g$ schneiden sich an einer Stelle $v$ und begrenzen zwei Flächen: Eine liegt rechts von $v$ und wird rechts von der $y$-Achse begrenzt und eine liegt links von $v$ und wird von der Geraden zu $x=-0,5$ begrenzt.
Bestimme das Verhältnis der Inhalte beider Flächen. Die Funktion $g$ wird nun für alle $x\in\mathbb{R}$ betrachtet.
Untersuche, welche Steigungswerte der Graph von $g$ genau einmal und welche Steigungswerte er genau zweimal annimmt.
(18P)
#parallel#tangente
d)
Begründe ausgehend von den Integralen $\int\limits_0^x\mathrm{e}^t\,\mathrm{d}t$ und $\int\limits_0^x (1+t)\;\mathrm{d}t$, dass für $x>0$ gilt:
$\mathrm{e}^x> 1+x+\dfrac{x^2}{2}$.
(6P)
#integral
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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