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Aufgabe 2A

Aufgaben
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Bei einem 10 km-Lauf in Hannover wurden für $1879$ Teilnehmende die Zeiten in Minuten $(\text{min})$ gemessen. Die Tabelle in der Anlage stellt eine zugehörige Häufigkeitsverteilung der Zeiten in Klassen dar.
a)
Gib mithilfe der Tabelle den Anteil der Teilnehmenden an, deren Zeit einer der Klassen $\text{V},$ $\text{VI}$ oder $\text{VII}$ angehört.
Gib einen möglichen Zeitbereich an, in dem $51\,\%$ aller gemessenen Zeiten liegen.
Berechne den arithmetischen Mittelwert der in Klassen zusammengefassten Zeiten.
(6 BE)
#arithmetischesmittel
b)
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die gemessenen Zeiten des 10 km-Laufs. Im Folgenden wird angenommen, dass $X$ normalverteilt ist mit $\mu = 57,5\,\text{min}$ und $\sigma = 9,42\,\text{min.}$
Bestimme die Klassen, in denen die Grenzen der $1\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert liegen.
Berechne den Anteil der Teilnehmenden, deren gemessene Zeit höchstens $55$ Minuten beträgt.
In der Abbildung 1 der Anlage ist der Graph der Dichtefunktion der Zufallsgröße $X$ dargestellt.
Begründe allein mithilfe der Abbildung 1, dass für mehr als $55\,\%$ der Teilnehmenden die gemessene Zeit zwischen $50$ und $65$ Minuten liegt.
Für einen anderen 10 km-Lauf in Hannover beträgt der Erwartungswert der gemessenen Zeiten zwar ebenfalls $\mu = 57,5\,\text{min},$ die zugehörige Standardabweichung ist aber größer als $9,42\,\text{min}.$
Skizziere in Abbildung 1 für diesen Lauf einen typischen Graphen der zugehörigen Dichtefunktion.
(11 BE)
#normalverteilung
c)
Unabhängig vom Sachzusammenhang wird eine normalverteilte Zufallsgröße $Y$ mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma = 1$ betrachtet. In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph einer Funktion $W_1$ zu sehen, die für $\sigma = 1$ für jeden Erwartungswert $\mu$ die Wahrscheinlichkeit
$W_1(\mu) = P(-2\leq Y \leq -1) + P(1\leq Y \leq 2)$
$ W_1(\mu)=… $
angibt.
Begründe, dass die Funktionswerte von $W_1$ für $\mu> 5$ nahe bei null liegen.
Für einen anderen Wert von $\sigma$ hat der Tiefpunkt $T$ des Graphen von $W_{\sigma}$ die Koordinaten $T(0 \mid 0,2).$
Bestimme mithilfe dieser Informationen einen möglichen Wert der Standardabweichung $\sigma.$
(7 BE)
#normalverteilung
Material
Tabelle zu den Teilaufgaben a) und b)
KlasseBereich der gemessenen Zeit in MinutenHäufigkeit in ProzentKlassenmitte in Minuten
$\text{I}$ab $18,5$ und weniger als $32,0$$0$$25,25$
$\text{II}$ab $32,0$ und weniger als $45,0$$8$$38,5$
$\text{III}$ab $45,0$ und weniger als $51,5$$17$$48,25$
$\text{IV}$ab $51,5$ und weniger als $57,5$$26$$54,5$
$\text{V}$ab $57,5$ und weniger als $63,5$$26$$60,5$
$\text{VI}$ab $63,5$ und weniger als $70$$14$$66,75$
$\text{VII}$ab $70$ und weniger als $83,0$$8$$76,5$
$\text{VIII}$ab $83,0$ und weniger als $96,5$$1$$89,75$
Graph zu Teilaufgabe b)
Aufgabe 2A
Abb. 1: Graph der Dichtefunktion der Zufallsgröße $X$
Aufgabe 2A
Abb. 1: Graph der Dichtefunktion der Zufallsgröße $X$
Graph zu Teilaufgabe c)
Aufgabe 2A
Abb. 2: Wahrscheinlichkeit $W_1(\mu)$ in Abhängigkeit vom Erwartungswert $\mu$
Aufgabe 2A
Abb. 2: Wahrscheinlichkeit $W_1(\mu)$ in Abhängigkeit vom Erwartungswert $\mu$
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  Anteil der Teilnehmenden angebenAufgabe 2A
$26\,\% + 14\,\% +8\,\% = 48\,\%$
Die Zeit von $48\,\%$ der Teilnehmenden liegt in einer der Klassen $\text{V},$ $\text{VI}$ oder $\text{VII}.$
$\blacktriangleright$  Zeitbereich angeben
Wähle Zeitbereiche aus der Tabelle so, dass die Summe der zugehörigen Häufigkeiten $51$ ergibt.
Im Bereich ab $32,0\,\text{min}$ und weniger als $57,5\,\text{min}$ liegen $51\,\%$ der gemessenen Zeiten.
$\blacktriangleright$  Arithmetischen Mittelwert berechnen
Verwende aus der Tabelle die Häufigkeiten in Prozent und die Klassenmitten in Minuten:
$0 + 0,08 \cdot 38,5 + 0,17 \cdot 48,25 + 0,26\cdot 54,5 + 0,26\cdot 60,5 +0,14\cdot 66,75 +0,08\cdot 76,5 + 0,01\cdot 89,75$
$ …\approx 57,545 $
$\approx 57,545 $
Der arithmetische Mittelwert der in Klassen zusammengefassten Zeiten beträgt ungefähr $57,5\,\text{min}.$
b)
$\blacktriangleright$  Klassen bestimmen
Die untere Grenze ist
$\mu -1\cdot\sigma = 57,5 - 1\cdot 9,42 = 48,08.$
$…= 48,08 $
Die obere Grenze ist $\mu +1\cdot\sigma = 57,5 + 1\cdot 9,42 = 66,92.$
$ … = 66,92 $
Die Grenzen der $1\sigma$-Umgebung liegen also in den Klassen $\text{III}$ und $\text{VI}.$
$\blacktriangleright$  Anteil berechnen
Mithilfe der Normalverteilung von $X$ kannst du mit dem GTR die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen:
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
Statistik: F5: DIST $\to$ F1: NORM $\to$ F2: Ncd
Statistik: F5: DIST $\to$ F1: NORM $\to$ F2: Ncd
$P(X\leq 55)= \Phi_{57,5;9,42}(55)\approx 0,395 = 39,5\,\%$
$ P(X\leq 55)\approx 39,5\,\% $
Der Anteil der Teilnehmenden mit einer Zeit von höchstens $55\,\text{min}$ beträgt ca. $39,5\,\%.$
$\blacktriangleright$  Anteil begründen
Der gesuchte Anteil lässt sich durch den Flächeninhalt der Fläche beschreiben, die der Graph der Dichtefunktion mit der $x$-Achse im Bereich $50\leq x\leq 65$ begrenzt.
Mithilfe der Beschriftung der Achsen lässt sich erkennen, dass ein Kästchen im Koordinatensystem einem Anteil von $0,025 = 2,5\,\%$ entspricht. In der betrachteten Fläche befinden sich $20$ ganze Kästchen und noch mindestens zwei Kästchen, die sich aus Teilkästchen zusammensetzen lassen. Der Flächeninhalt ist also insgesamt größer als $22$ Kästchen. Dies entspricht einem Anteil von mehr als $22\cdot 2,5\,\% = 55\,\%.$ Der gesuchte Anteil beträgt also mehr als $55\,\%.$
$\blacktriangleright$  Graphen der Dichtefunktion skizzieren
Beachte folgende Punkte:
  • Der Hochpunkt des Graphen liegt weiterhin an der Stelle $x = 57,5$ allerdings nicht mehr so hoch.
  • Der Graph verläuft durch die größere Standardabweichung allgemein etwas flacher. Er wird in $x$-Richtung gestreckt.
  • Die Symmetrie zum Erwartungswert muss erhalten bleiben.
Aufgabe 2A
Abb. 1: Skizze der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße mit größerer Standardabweichung
Aufgabe 2A
Abb. 1: Skizze der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße mit größerer Standardabweichung
c)
$\blacktriangleright$  Annäherung an Null begründen
Für $\mu > 5$ und $\sigma =1$ liegen die Bereiche $-2\leq Y \leq -1$ und $1\leq Y \leq 2$ jeweils außerhalb der $3\sigma$-Umgebung von $Y$ um den Erwartungswert $\mu.$ Die $3\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert hat eine Wahrscheinlichkeit nahe $100\,\%,$ wodurch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Werte von $Y$ außerhalb der $3\sigma$-Umgebung liegen nahe null sind.
$\blacktriangleright$  Mögliche Standardabweichung bestimmen
Betrachte die zugehörige normalverteilte Zufallsgröße $Z.$
Aus dem angegebenen Tiefpunkt ergibt sich für $Z$ ein Erwartungswert von $\mu = 0.$ Die Standardabweichung $\sigma$ soll so bestimmt werden, dass
$P(-2\leq Z \leq -1 )+ P(1\leq Z \leq 2) = 0,2.$
$ P(-2\leq Z \leq -1 )+ … $

Die beiden Bereiche, deren Wahrscheinlichkeiten betrachtet werden liegen symmetrisch zum Erwartungswert $\mu.$ Da auch die Dichtefunktion einer jeden normalverteilten Zufallsgröße symmetrisch zum Erwartungswert $\mu$ verläuft, ist also
$P(-2\leq Z \leq -1 ) = P(1\leq Z \leq 2) = \frac{1}{2}\cdot 0,2 =0,1.$
$ P(-2\leq Z \leq -1 ) = … $
Es genügt also einen der beiden Summanden zu betrachten. Bestimme $\sigma$ also beispielsweise so, dass $P(1\leq Z \leq 2) =0,1$ ist.
Mit deinem GTR kannst du diese Wahrscheinlichkeit für verschiedene Werte von $\sigma$ berechnen. Durch systematisches Probieren erhältst du beispielsweise $\sigma_1 \approx 0,80$ oder $\sigma_2 \approx 3,66.$ (Du musst nur eine mögliche Lösung für $\sigma$ bestimmen)
Mögliche Werte für die Standardabweichung sind $\sigma_1 \approx 0,80$ und $\sigma_2\approx 3,66.$
Bildnachweise [nach oben]
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