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Aufgabe 2A

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Bei einem 10 km-Lauf in Hannover wurden für $1879$ Teilnehmende die Zeiten in Minuten $(\text{min})$ gemessen. Die Tabelle in der Anlage stellt eine zugehörige Häufigkeitsverteilung der Zeiten in Klassen dar.
a)
Gib mithilfe der Tabelle den Anteil der Teilnehmenden an, deren Zeit einer der Klassen $\text{V},$ $\text{VI}$ oder $\text{VII}$ angehört.
Gib einen möglichen Zeitbereich an, in dem $51\,\%$ aller gemessenen Zeiten liegen.
Berechne den arithmetischen Mittelwert der in Klassen zusammengefassten Zeiten.
(6 BE)
#arithmetischesmittel
b)
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die gemessenen Zeiten des 10 km-Laufs. Im Folgenden wird angenommen, dass $X$ normalverteilt ist mit $\mu = 57,5\,\text{min}$ und $\sigma = 9,42\,\text{min.}$
Bestimme die Klassen, in denen die Grenzen der $1\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert liegen.
Berechne den Anteil der Teilnehmenden, deren gemessene Zeit höchstens $55$ Minuten beträgt.
In der Abbildung 1 der Anlage ist der Graph der Dichtefunktion der Zufallsgröße $X$ dargestellt.
Begründe allein mithilfe der Abbildung 1, dass für mehr als $55\,\%$ der Teilnehmenden die gemessene Zeit zwischen $50$ und $65$ Minuten liegt.
Für einen anderen 10 km-Lauf in Hannover beträgt der Erwartungswert der gemessenen Zeiten zwar ebenfalls $\mu = 57,5\,\text{min},$ die zugehörige Standardabweichung ist aber größer als $9,42\,\text{min}.$
Skizziere in Abbildung 1 für diesen Lauf einen typischen Graphen der zugehörigen Dichtefunktion.
(11 BE)
#sigmaregeln#normalverteilung
c)
Unabhängig vom Sachzusammenhang wird eine normalverteilte Zufallsgröße $Y$ mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma = 1$ betrachtet. In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph einer Funktion $W_1$ zu sehen, die für $\sigma = 1$ für jeden Erwartungswert $\mu$ die Wahrscheinlichkeit
$W_1(\mu) = P(-2\leq Y \leq -1) + P(1\leq Y \leq 2)$
$ W_1(\mu)=… $
angibt.
Begründe, dass die Funktionswerte von $W_1$ für $\mu> 5$ nahe bei null liegen.
Für einen anderen Wert von $\sigma$ hat der Tiefpunkt $T$ des Graphen von $W_{\sigma}$ die Koordinaten $T(0 \mid 0,2).$
Bestimme mithilfe dieser Informationen einen möglichen Wert der Standardabweichung $\sigma.$
(7 BE)
#normalverteilung
Material
Tabelle zu den Teilaufgaben a) und b)
KlasseBereich der gemessenen Zeit in MinutenHäufigkeit in ProzentKlassenmitte in Minuten
$\text{I}$ab $18,5$ und weniger als $32,0$$0$$25,25$
$\text{II}$ab $32,0$ und weniger als $45,0$$8$$38,5$
$\text{III}$ab $45,0$ und weniger als $51,5$$17$$48,25$
$\text{IV}$ab $51,5$ und weniger als $57,5$$26$$54,5$
$\text{V}$ab $57,5$ und weniger als $63,5$$26$$60,5$
$\text{VI}$ab $63,5$ und weniger als $70$$14$$66,75$
$\text{VII}$ab $70$ und weniger als $83,0$$8$$76,5$
$\text{VIII}$ab $83,0$ und weniger als $96,5$$1$$89,75$
Graph zu Teilaufgabe b)
Normalverteilung
Abb. 1: Graph der Dichtefunktion der Zufallsgröße $X$
Normalverteilung
Abb. 1: Graph der Dichtefunktion der Zufallsgröße $X$
Graph zu Teilaufgabe c)
Wahrscheinlichkeit
Abb. 2: Wahrscheinlichkeit $W_1(\mu)$ in Abhängigkeit vom Erwartungswert $\mu$
Wahrscheinlichkeit
Abb. 2: Wahrscheinlichkeit $W_1(\mu)$ in Abhängigkeit vom Erwartungswert $\mu$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
[2]
Public Domain.
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