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Aufgabe 2B

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Aufgabe 2B

Im Zusammenhang mit der Veröffentlichung eines neuen Spiels im Internet werden Simulationen durchgeführt, bei denen die vom Anbieter bereitzustellenden Rechnerkapazitäten untersucht werden. Dabei wird auch berücksichtigt, wieviel Zeit ein Benutzer bis zu einer bestimmten Reaktion benötigt.
Diese Zeit wird Reaktionszeit genannt und in Sekunden ($\text{s}$) gemessen.
a)
Für diese bestimmte Reaktion wird eine erste Simulation durchgeführt. Dazu wird die Reaktionszeit als normalverteilte Zufallsgröße $X$ angenommen. Eine Schätzung liefert den Erwartungswert $\mu_{X}=3,2$ und die Standardabweichung $\sigma_{X}=0,6$
Bestimme
  • den Anteil der Reaktionszeiten, die länger als $4\,\text{s}$ dauern,
  • den Anteil der Reaktionszeiten, deren Abweichung vom Erwartungswert kleiner als $1 \text{s}$ ist,
  • die untere Grenze eines Zeitintervalls, in dem $80\,\%$ der Zeiten liegen und dessen obere Grenze $4\,\text{s}$ beträgt.
(9P)
#erwartungswert
b)
Nach der Veröffentlichung dieses Spiels werden Reaktionszeiten gemessen. Gegeben ist hier ein Auszug von $10$ Messdaten:
Nr.12345678910
Zeit in s3,183,022,953,184,042,802,642,412,643,18
Berechne das arithmetische Mittel und die Standardabweichung für diese Daten.
Anhand aller gemessenen Daten soll ein zweites Modell für weitere Simulationen entwickelt werden. Dazu soll die Reaktionszeit als normalverteilte Zufallsgröße $Y$ mit dem Erwartungswert $\mu_{Y}=3,0$ beschrieben werden. Außerdem sollen mindestens $80\,\%$ der Reaktionszeiten unterhalb von $3,5\,\text{s}$ liegen.
Bestimme die größte Standardabweichung auf $0,01\,\text{s}$ genau, für die dies gilt.
(8P)
#arithmetischesmittel#erwartungswert
c)
Unabhängig vom Sachzusammenhang werden im Folgenden normalverteilte Zufallsgrößen $Z_\sigma$ mit dem Erwartungswert $\mu=3$ betrachtet. Die Funktion $W$ gibt für Werte der Standardabweichung $\sigma$ mit $\sigma > 0$ die Wahrscheinlichkeit $P\left(Z_{\sigma} \leq 2\right)$ an.
Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $W$.
Erläutere den Wert $W(1)$ mithilfe einer Skizze des Graphen der zugehörigen Dichtefunktion der Normalverteilung.
Erläutere unter Bezug auf die Graphen der Dichtefunktionen der zugehörigen Normalverteilungen, dass der Graph von $W$ für $\sigma > 1$ monoton steigt, aber unterhalb der Geraden zu $y=0,5$ liegt.
Abb. 1: Graph von $W$
Abb. 1: Graph von $W$
(7P)
#monotonie#graph#erwartungswert
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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