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Aufgabe 1B

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Bei der Untersuchung eines Patienten wird ein Atemstoßtest durchgeführt. Dazu soll der Patient einmal möglichst vollständig und schnell ausatmen. Die hierbei pro Zeit ausgeatmete Luft wird als Atemfluss bezeichnet. Dieser wird in Litern pro Sekunde und die Zeit in Sekunden gemessen.
Der Messvorgang und das Ausatmen beginnen gleichzeitig zum Zeitpunkt $t_0 = 0\,\text{s}$.
In den ersten drei Sekunden des Ausatmens wird der Atemfluss durch die Funktion $f$ mit $f(t) = 40 \cdot t \cdot \mathrm{e} ^{-\frac{5}{2}t}$, $t$ in Sekunden, $f(t)$ in Litern pro Sekunde, modelliert.
Die Abbildung 1 in der Anlage zeigt den Graphen von $f$.
a) Bestimme den Zeitpunkt $t_1$, zu dem der Atemfluss maximal ist.
Bestimme den Zeitpunkt $t_2$, zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt.
Der Messvorgang wird beendet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt $t_1$ die Grenze von $0,1\,\text{$\frac{L}{s}$}$ unterschreitet.
Berechne die Dauer des Messvorgangs.
(11P)
b) Es wird modellhaft vorausgesetzt, dass die Lunge zum Zeitpunkt $t_0 = 0\,\text{s}$ voll und zum Zeitpunkt $t_3 = 2,81\,\text{s}$ leer ist. Ein Patient wird als gesund eingestuft, wenn er innerhalb der ersten Sekunde mindestens $75\,\%$ der in seiner Lunge vorhandenen Luft ausatmet.
Entscheide, ob der obige Patient bezüglich dieses Kriteriums als gesund eingestuft werden kann.
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem der Patient $3,2\,\text{Liter}$ Luft ausgeatmet hat.
(12P)
c) Bei einer weiteren Messung wird der Atemfluss durch die Funktion $g$ mit $g(t)=35\cdot t\cdot \mathrm{e}^{-\frac{5}{2}\cdot t}$, $t$ in Sekunden, $g(t)$ in Litern pro Sekunde, modelliert.
Begründe ohne Rechnung, dass bei dieser Modellierung die Zeitpunkte $t_1$ und $t_2$ aus Teilaufgabe a) gleich bleiben.
Durch einen Defekt des Messgerätes werden bei dieser Messung nur Atemflusswerte unterhalb eines unbekannten Schwellenwertes $S$ aufgezeichnet. Nach der Messung wird festgestellt, dass dadurch für einen Zeitraum von $0,25$ Sekunden keine Atemflusswerte aufgezeichnet wurden. Die Abbildung 2 in der Anlage verdeutlicht diesen Sachverhalt.
Bestimme das Zeitintervall, in dem das Messgerät keine Werte aufzeichnet, und den Schwellenwert $S$.
(11P)
d) Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktion $h$ mit $h(x)=x^2\cdot \mathrm{e}^{x^2}$ gegeben.
Weise nach, dass sich die erste Ableitung von $h$ in der Form$h'(x)=2 \cdot x \cdot m(x)$ mitgeeigneter Funktion $m$ schreiben lässt.
Begründe, dass der Graph von $h$ an der Stelle $x=0$ eine waagerechte Tangentehat.
Im Folgenden wird die Funktion $k$ mit $k(x)=p(x)\cdot \mathrm{e}^{p(x)}$ betrachtet. Die Funktion $p$ istdifferenzierbar.
Beurteile, ob der Graph von $k$ an allen Extremstellen von $p$ jeweils eine waagerechte Tangente hat.
(12P)

Material

Anlage
Grafische Darstellung zu den Teilaufgaben a) und b)
Abbildung 1: Graph von $f$
Abbildung 2: Grafische Darstellung der Messwerte des Atemflusses bei defektem Messgerät
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