Aufgabe 1B

Bei der Untersuchung eines Patienten wird ein Atemstoßtest durchgeführt. Dazu soll der Patient einmal möglichst vollständig und schnell ausatmen. Die hierbei pro Zeit ausgeatmete Luft wird als Atemfluss bezeichnet. Dieser wird in Litern pro Sekunde und die Zeit in Sekunden gemessen.

Der Messvorgang und das Ausatmen beginnen gleichzeitig zum Zeitpunkt $t_0 = 0\,\text{s}$ .

In den ersten drei Sekunden des Ausatmens wird der Atemfluss durch die Funktion $f$ mit $f(t) = 40 \cdot t \cdot \mathrm{e} ^{-\frac{5}{2}t}$ , $t$ in Sekunden, $f(t)$ in Litern pro Sekunde, modelliert.

Die Abbildung 1 in der Anlage zeigt den Graphen von $f$ .

a) Bestimme den Zeitpunkt $t_1$ , zu dem der Atemfluss maximal ist.

Bestimme den Zeitpunkt $t_2$ , zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt.

Der Messvorgang wird beendet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt $t_1$ die Grenze von $0,1\,\text{$ \frac{L}{s} $}$ unterschreitet.

Berechne die Dauer des Messvorgangs.

(11P)

b) Es wird modellhaft vorausgesetzt, dass die Lunge zum Zeitpunkt $t_0 = 0\,\text{s}$ voll und zum Zeitpunkt $t_3 = 2,81\,\text{s}$ leer ist. Ein Patient wird als gesund eingestuft, wenn er innerhalb der ersten Sekunde mindestens $75\,\%$ der in seiner Lunge vorhandenen Luft ausatmet.

Entscheide, ob der obige Patient bezüglich dieses Kriteriums als gesund eingestuft werden kann.

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem der Patient $3,2\,\text{Liter}$ Luft ausgeatmet hat.

(12P)

c) Bei einer weiteren Messung wird der Atemfluss durch die Funktion $g$ mit $g(t)=35\cdot t\cdot \mathrm{e}^{-\frac{5}{2}\cdot t}$ , $t$ in Sekunden, $g(t)$ in Litern pro Sekunde, modelliert.

Begründe ohne Rechnung, dass bei dieser Modellierung die Zeitpunkte $t_1$ und $t_2$ aus Teilaufgabe a) gleich bleiben.

Durch einen Defekt des Messgerätes werden bei dieser Messung nur Atemflusswerte unterhalb eines unbekannten Schwellenwertes $S$ aufgezeichnet. Nach der Messung wird festgestellt, dass dadurch für einen Zeitraum von $0,25$ Sekunden keine Atemflusswerte aufgezeichnet wurden. Die Abbildung 2 in der Anlage verdeutlicht diesen Sachverhalt.

Bestimme das Zeitintervall, in dem das Messgerät keine Werte aufzeichnet, und den Schwellenwert $S$ .

(11P)

d) Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktion $h$ mit $h(x)=x^2\cdot \mathrm{e}^{x^2}$ gegeben.

Weise nach, dass sich die erste Ableitung von $h$ in der Form $h‘(x)=2 \cdot x \cdot m(x)$ mitgeeigneter Funktion $m$ schreiben lässt.
Begründe, dass der Graph von $h$ an der Stelle $x=0$ eine waagerechte Tangentehat.

Im Folgenden wird die Funktion $k$ mit $k(x)=p(x)\cdot \mathrm{e}^{p(x)}$ betrachtet. Die Funktion $p$ istdifferenzierbar.

Beurteile, ob der Graph von $k$ an allen Extremstellen von $p$ jeweils eine waagerechte Tangente hat.

(12P)

Material

Anlage

Grafische Darstellung zu den Teilaufgaben a) und b)

Graph zeigt den Verlauf einer Funktion f(t) in L/s über die Zeit t in Sekunden.

Abbildung 1: Graph von $f$

Diagramm mit Achsen für g(t) in L/s und Zeit t in s. Darstellung einer Funktion.

Abbildung 2: Grafische Darstellung der Messwerte des Atemflusses bei defektem Messgerät

a) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt $\boldsymbol{t_1}$ mit dem maximalen Atemfluss bestimmen

Du hast eine Funktion

$f(t)=40t\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}$

gegeben, die den Atemfluss während der ersten drei Sekunden des Ausatmens beschreibt.

Um den Zeitpunkt $t_1$ mit dem maximalen Atemfluss zu bestimmen, berechnest du das Maximum der Funktion $f$ . Für ein Maximum der Funktion $f$ müssen folgende Bedingungen gelten:

Notwendige Bedingung: $f‘(x_E)=0$

Hinreichende Bedingung: $f‘‘(x_E)\lt 0$

Du kannst so vorgehen:

Bilde die erste und zweite Ableitung

Prüfe die notwendige Bedingung

Prüfe die hinreichende Bedingung

1. Schritt: Ableitungen bilden

Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel erhältst du (die dritte Ableitung wird in der nächsten Teilaufgabe benötigt):

$\begin{array}[t]{rll} f(t)=&40t\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\\[10pt] f‘(t)=&40\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} -\frac{5}{2}\cdot 40t\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} \\[5pt] =&(-100t+40)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\\[10pt] f‘‘(t)=&-100\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}-\frac{5}{2}\cdot (-100t+40)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} \\[5pt] =&(250t-200)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} \\[10pt] f‘‘‘(t)=&250\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}-\frac{5}{2}\cdot (250t-200)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\\[5pt] =&(-625t+750)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} \end{array}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen

$\begin{array}[t]{rlll} f‘(t)=&0\\[5pt] (-100t+40)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}=&0 \end{array}$

Hier liefert der Satz vom Nullprodukt , dass du nur noch den Term $-100t+40$ betrachten musst, da $\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} \gt 0$ . Damit gilt:

$\begin{array}[t]{rlll} (-100t+40)=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -40\\[5pt] 100t=&-40&\quad \scriptsize \mid\; :(-100)\\[5pt] t=&0,4 \end{array}$

Die Funktion $f$ hat an der Stelle $t_1=-8$ eine potentielle Extremstelle, die im betrachteten Intervall $[0;3]$ liegt.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen

Setze nun die potentielle Extremstellen in den Term der zweiten Ableitung $f‘‘$ ein.

$\begin{array}[t]{rlll} f‘‘(t_1)=&(250t_1-200)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t_1} \\[5pt] f‘‘(0,4) =&(250 \cdot 0,4-200)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot 0,4}\\[5pt] =&-100\cdot\mathrm e^{-1} \lt 0 \end{array}$

Die Funktion $f$ hat an der Stelle $t_1=0,4$ ein Maximum. Somit ist der Atemfluss zum Zeitpunkt $t_1=0,4$ maximal.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt $\boldsymbol{t_2}$ mit der stärksten Abnahme bestimmen

Nun sollst du den Zeitpunkt $t_2$ bestimmen, zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt.

Die Änderungsrate wird durch die ersten Ableitung $f‘$ der Funktion $f$ beschrieben. Um den Zeitpunkt $t_2$ zu bestimmen, benötigst du das Minimum von $f‘$ . An dieser Stelle nimmt der Atemfluss am stärksten ab.

Da du alle benötigten Ableitungen in der vorigen Teilaufgabe bereits berechnet hast, kannst du so vorgehen:

Prüfe die notwendige Bedingung

Prüfe die hinreichende Bedingung

1. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen

$\begin{array}[t]{rlll} f‘‘(t)=&0\\[5pt] (250t-200)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}=&0 \end{array}$

Hier liefert der Satz vom Nullprodukt , dass du nur noch den Term $250t-200$ betrachten musst, da $\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} \gt 0$ . Damit gilt:

$\begin{array}[t]{rlll} (250t-200)=&0&\quad \scriptsize \mid\; +200\\[5pt] 250t=&200&\quad \scriptsize \mid\; :(250)\\[5pt] t=&0,8 \end{array}$

Die Funktion $f‘$ hat an der Stelle $t_2=0,8$ eine potentielle Extremstelle, die im betrachteten Intervall $[0;3]$ liegt.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen

Setze nun die potentielle Extremstellen in den Term der dritten Ableitung $f‘‘‘$ ein.

$\begin{array}[t]{rlll} f‘‘‘(t_2)=&(-625t_2+750)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t_2} \\[5pt] f‘‘(0,8) =&(-625 \cdot 0,8 +750)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2} \cdot 0,8}\\[5pt] =&250\cdot\mathrm e^{-2} \gt 0 \end{array}$

Die Funktion $f‘$ hat an der Stelle $t_2=0,8$ ein Minimum. Somit ist die stärkste Abnahme des Atemflusses zum Zeitpunkt $t_2=0,8$ .

$\blacktriangleright$ Dauer des Messvorgangs berechnen

Der Messvorgang endet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt $t_1=0,4$ die Grenze von $0,1\,\frac{\text{L}}{\text{s}}$ unterschreitet. Um die Dauer des Messvorgangs zu berechnen, berechnest du den Schnittpunkt der Funktion $f$ mit der Funktion $g=0,1$ .

Die Funktionen haben zwei Schnittpunkte. Uns interessiert nur der Schnittpunkt, der nach dem Zeitpunkt $t_1$ liegt.

Wechsle dazu mit deinem GTR in das Y= -Menü und speichere dort die Funktionsterme von $f$ und $g$ ab. Hast du diese dort gespeichert, dann lass dir die zugehörigen Graphen über GRAPH anzeigen. Den Schnittpunkt erhältst du mit dem Befehl

2nd CALC (TRACE) 5: intersect

Damit ergibt sich:

Graph einer Funktion mit Schnittpunkt, Achsen und Werten auf einem Taschenrechner-Display.

Die Graphen von $f$ und $g$ schneiden sich an der Stelle $t=2,81$ . Der Messvorgang dauert also $2,81$ Sekunden.

b) $\blacktriangleright$ Prozentsatz der ausgeatmeten Luft bestimmen

Bei dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen, ob der Patient aus der Aufgabe gesund ist. Als gesund wird ein Patient eingestuft, wenn er in der ersten Sekunde mindestens $75\,\%$ der eingeatmeten Luft ausatmet.

Um nun den Prozentsatz zu berechnen, den der Patient in der ersten Sekunde ausatmet, musst du wissen, wie viel Luft der Patient nach einer Sekunde und nach der kompletten Zeit von $t_3=2,81$ Sekunden ausgeatmet hat. Dies berechnest du jeweils mit einem Integral :

$V_1=\displaystyle\int_{0}^{1} f(t)\;\mathrm dt$ (Volumen der ausgeatmeten Luft nach einer Sekunde)

$V_{ges}=\displaystyle\int_{0}^{2,81} f(t)\;\mathrm dt$ (gesamtes Volumen)

Der Prozentsatz wird mit der Prozentformel berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{W}{G}\cdot 100 \end{array}$

Dabei ist $p$ der Prozentsatz. Das $W$ ist der Prozentwert und das $G$ der Grundwert. Der Prozentwert entspricht hier dem Volumen $V_1$ der ausgeatmeten Luft nach einer Sekunde. Dementsprechend entspricht das gesamte Volumen $V_{ges}$ dem Grundwert.

Gehe folgendermaßen vor:

Berechne $V_1$ und $V_{ges}$

Berechne den Prozentsatz $p$

1. Schritt: Volumina berechnen

Das Integral kannst du jeweils im Graph -Modus des GTR unter folgendem Befehl berechnen:

2nd CALC (TRACE) 7:

Grafik eines Integrals mit blauem Flächeninhalt im Intervall von 0 bis 1. Mathematikberechnung auf einem Taschenrechner.

Grafische Darstellung eines Integrals mit blauer Fläche unter der Kurve und Berechnung des Wertes.

Du erhältst für $V_1$ den Wert $4,5613$ und das gesamte Volumen beträgt $V_{ges}=6,35432$ .

2. Schritt: Prozentsatz $\boldsymbol{p}$ berechnen

Nun kannst du die Werte in die Prozentformel einsetzen.

$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{W}{G}\cdot100 \\[5pt] &=&\dfrac{V_1}{V_{ges}}\cdot100 \\[5pt] &=&\dfrac{4,5613}{6,35432}\cdot100 \\[5pt] &=&71,8\,\% \end{array}$

Der Patient atmet in der ersten Sekunde nur ca. $71,8\,\%$ der in seiner Lunge enthaltenen Luft aus. Da gesunde Menschen mindestens $75\,\%$ ausatmen, gilt der Patient nicht als gesund.

$\blacktriangleright$ Gesuchten Zeitpunkt $\boldsymbol{t_4}$ bestimmen

Hier ist der Zeitpunkt $t_4$ gesucht, an dem der Patient $3,2 \text{ l}$ Luft ausgeatmet hat. Es gilt also:

$\displaystyle\int_{0}^{t_4} f(t)\;\mathrm dt =3,2$ .

Die Funktionsgleichung von $f$ ist in der Aufgabenstellung gegeben. Bilde also eine Stammfunktion von $f$ . Mit Hilfe deines GTR kannst du damit den gesuchten Schnittpunkt $t_4$ der Stammfunktion mit der Gerade $y=3,2$ ermitteln. Nutze die partielle Integration zum Bestimmen einer Stammfunktion von $f(t)=u(t) \cdot v‘(t)$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}u(t) \cdot v‘(t) \;\mathrm dt = \left[u(t)\cdot v(t)\right]_{a}^{b} - \displaystyle\int_{a}^{b} u‘(t) \cdot v(t) \;\mathrm dt$

Wähle

$\begin{array}[t]{rlrl} u(t)=& 40t, & u‘(t)=&40, \\[5pt] v‘(t)=&\mathrm e^{-\frac{5}{2}t},&v(t)=&-\frac{2}{5} \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}t}. \end{array}$

Damit ergibt sich eine Stammfunktion von $f$ in Abhängigkeit der oberen Grenze $b$ :

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_0^b f(t)\;\mathrm dt=& \displaystyle\int_0^{b} 40t\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\;\mathrm dt & \scriptsize \text{Partielle Integration} \\[5pt] =&\left[40t\cdot \left(-\frac{2}{5} \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\right)\right]_0^{b} - \displaystyle\int_0^{b} 40 \cdot \left(-\frac{2}{5} \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\right)\;\mathrm dt \\[5pt] =& \left[-16t \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\right]_0^{b}+ 16 \cdot \displaystyle\int_0^{b} \mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\;\mathrm dt \\[5pt] =& \left[-16t \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\right]_0^{b}+ \left[16 \cdot \left(-\frac{2}{5} \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\right)\right]_0^{b} \\[5pt] =& \left[-16t \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}t}-\frac{32}{5} \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\right]_0^{b} \\[5pt] =& -16b \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}b}-\frac{32}{5} \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}b} +16\cdot 0 \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2} \cdot 0}+\frac{32}{5} \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot 0}\\[5pt] =& -16b \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}b}-\frac{32}{5} \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}b} +\frac{32}{5}\\[5pt] =:& F(b) \end{array}$

Wechsle nun mit deinem GTR in das Y= -Menü und speichere dort die Funktionsterme von $F$ und $y=3,2$ . Hast du diese dort gespeichert, dann lass dir die zugehörigen Graphen über GRAPH anzeigen. Den Schnittpunkt erhältst du mit dem Befehl

2nd CALC (TRACE) 5: intersect

Beachte dabei, dass die gesuchte Schnittstelle $t_4 \gt 0$ sein soll:

Grafische Darstellung einer Funktion mit Schnittpunkt, angezeigt auf einem Taschenrechner.

Der $x$ -Wert des Schnittpunkts entspricht gerade dem gesuchten Zeitpunkt $t_4$ . Nach ca. $0,67 \text{ s}$ hat der Patient $3,2$ Liter Luft ausgeatmet.

c) $\blacktriangleright$ Gleichbleiben der Zeitpunkte $\boldsymbol{t_1}$ und $\boldsymbol{t_2}$ begründen

Die Funktionsgleichungen von $f$ und $g$ unterscheiden sich nur in einem konstanten Faktor. Da der Faktor in $g(x)$ kleiner ist, erhält man den Graphen zu $g$ durch Stauchen des Graphen von $f$ parallel zur $y$ -Achse. Folgende Skizze kann dir bei der Vorstellung helfen:

Grafik mit zwei Kurven f und g in einem Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen.

Somit ändert sich die Lage des Maximums des Graphen von $f$ sowie die Lage des Maximums des Graphen von $f‘$ (entspricht der Wendestelle des Graphen von $f$ ) nicht und die Zeitpunkte $t_1$ und $t_2$ bleiben gleich.

$\blacktriangleright$ Zeitintervall ohne Messwerte und Schwellenwert $\boldsymbol{S}$ bestimmen

Gesucht ist das Intervall $I=[t_5; t_6]$ , in dem $0,25$ Sekunden keine Messwerte aufgezeichnet wurden, da die Messwerte in diesem Bereich oberhalb eines Schwellenwertes $S$ liegen. Mit diesen Angaben kannst du einen Zusammenhang zwischen $t_5$ und $t_6$ herstellen und nach $t_5$ auflösen. Der Funktionswert von $g$ an den Intervallgrenzen liefert den Schwellenwert $S$ .

Es gilt:

$t_6=t_5 + 0,25$

$g(t_5)=g(t_6)$ .

Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite liefert:

$g(t_5)=g(t_6)=g(t_5+0,25)$ .

Setze $t_5$ und $t_5+0,25$ in den Term der Funktion $g$ ein und berechne so weit wie möglich:

$\begin{array}[t]{rll} g(t_5)=& 35 t_5 \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot t_5} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} g(t_5+0,25)=& 35 (t_5+0,25) \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot (t_5+0,25)}\\[5pt] =& \left(35 t_5+ \frac{35}{4}\right) \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot t_5-\frac{5}{8}}\\[5pt] \end{array}$

Gleichsetzen und Auflösen nach $t_5$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 35 t_5 \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot t_5}=& \left(35 t_5+ \frac{35}{4}\right) \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot t_5-\frac{5}{8}}& \scriptsize \mid \; \cdot \mathrm e^{\frac{5}{2}\cdot t_5} \\[5pt] 35 t_5=&\left(35 t_5+ \frac{35}{4}\right) \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{8}} & \scriptsize \mid \; -35 t_5 \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{8}}\\[5pt] t_5 \cdot 35 \cdot \left( 1-\mathrm e^{-\frac{5}{8}} \right)=& \frac{35}{4} \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{8}}& \scriptsize \mid \; :\left(35 \cdot \left(1-\mathrm e^{-\frac{5}{8}}\right)\right)\\[5pt] t_5=&\dfrac{\frac{35}{4} \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{8}}}{35\cdot \left(1-\mathrm e^{-\frac{5}{8}}\right)}\\[5pt] \approx& 0,2879 \end{array}$

Einsetzen des ermittelten $t_5$ in die Gleichung der Funktion von $g$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} g(t_5)=&g(0,2879)\\[5pt] =&35 \cdot 0,2879 \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot 0,2879}\\[5pt] =&10,0765\cdot \mathrm e^{-\frac{2.879}{4.000}}\\[5pt] \approx& 4,9060 \end{array}$

Zudem gilt $t_6=t_5+0,25=0,2879+0,25=0,5379$ .

Damit liegt der Schwellenwert bei ca. $4,91$ Liter pro Sekunde. $I=[0,288;0,538]$ , also zeichnet das Messgerät im Zeitintervall von ca. $2,9$ Sekunden bis ungefähr $5,4$ Sekunden keine Werte auf.

d) $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung der $\boldsymbol{1.}$ Ableitung von $\boldsymbol{h}$ nachweisen

Leite den Funktionsterm

$h(x)=x^2 \cdot \mathrm e^{x^2}$

mit der Produkt- und Kettenregel ab und forme um, um die gesuchte Form von $h‘$ zu erhalten.

$\begin{array}[t]{rll} h‘(x)=&2\cdot x \cdot \mathrm e^{x^2} + x^2 \cdot 2\cdot x \cdot \mathrm e^{x^2}\quad \scriptsize \text{ Ausklammern}\\[5pt] =& 2 \cdot x \left(\mathrm e^{x^2} + x^2 \cdot \mathrm e^{x^2}\right) \end{array}$

Definiere nun $m(x):= \left(\mathrm e^{x^2} + x^2 \cdot \mathrm e^{x^2}\right)$ und erhalte somit die gesuchte Form für $h‘$ :

$h‘(x)=2 \cdot x \cdot m(x)$ .

$\blacktriangleright$ Waagerechte Tangente bei $\boldsymbol{x=0}$ begründen

Nutze die Funktionsgleichung aus der vorigen Teilaufgabe für $h‘$ sowie die allgemeine Form einer Tangente für den Graph von $h$ an der Stelle $x_1$ :

$y=mx+c=h‘(x_1)x+c$

Die Steigung der Tangenten im Punkt $x_1$ wird durch $m=h‘(x_1)$ beschrieben, die der Steigung des Graphen von $h$ an dieser Stelle entsprechen muss. Einsetzen von $x_1=0$ ergibt:

$y(x)=h‘(0) \cdot x+c=c$ .

Damit besitzt der Graph von $h$ an der Stelle $x_1=0$ eine waagerechte Tangente.

$\blacktriangleright$ Waagerechte Tangente an allen Extremstellen von $\boldsymbol{p}$ überprüfen

In dieser Teilaufgabe sollst du beurteilen, ob der Graph von $k$ an allen Extremstellen von $p$ eine waagerechte Tangente hat. Nach der notwendigen Bedingung für eine Extremstelle gilt für jede Extremstellen $x_E$ von $p$ :

$p‘(x_E)=0$ .

Leite $k$ also mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel ab und forme ähnlich zur vorigen Teilaufgabe so um, dass du eine Aussage über die Funktionswerte von $k‘$ an jeder Extremstellen $x_E$ von $p$ treffen kannst.

$\begin{array}[t]{rll} k‘(x)=&p‘(x)\cdot \mathrm e^{p(x)} + p(x) \cdot p‘(x) \cdot \mathrm e^{p(x)}& \scriptsize \text{ Ausklammern}\\[5pt] =& p‘(x) \left(\mathrm e^{p(x)} + p(x) \cdot \mathrm e^{p(x)}\right) \end{array}$

Stelle die Tangentengleichung des Graphen von $k$ an den Extremstellen $x_E$ von $p$ auf:

$\begin{array}[t]{rll} y(x)=&k‘(x_E)x + c \\[5pt] =&p‘(x_E) \left(\mathrm e^{p(x_E)} + p(x_E) \cdot \mathrm e^{p(x_E)}\right)x+c& \scriptsize \mid\; p‘(x_E)=0\\[5pt] =&c \end{array}$

Damit hat der Graph von $k$ an allen Extremstellen von $p$ eine waagerechte Tangente.

a) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt $\boldsymbol{t_1}$ mit dem maximalen Atemfluss bestimmen

Du hast eine Funktion

$f(t)=40t\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}$

gegeben, die den Atemfluss während der ersten drei Sekunden des Ausatmens beschreibt.

Um den Zeitpunkt $t_1$ mit dem maximalen Atemfluss zu bestimmen, berechnest du das Maximum der Funktion $f$ . Für ein Maximum der Funktion $f$ müssen folgende Bedingungen gelten:

Notwendige Bedingung: $f‘(x_E)=0$

Hinreichende Bedingung: $f‘‘(x_E)\lt 0$

Du kannst so vorgehen:

Bilde die erste und zweite Ableitung

Prüfe die notwendige Bedingung

Prüfe die hinreichende Bedingung

1. Schritt: Ableitungen bilden

Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel erhältst du (die dritte Ableitung wird in der nächsten Teilaufgabe benötigt):

2. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen

$\begin{array}[t]{rlll} f‘(t)=&0\\[5pt] (-100t+40)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}=&0 \end{array}$

Hier liefert der Satz vom Nullprodukt , dass du nur noch den Term $-100t+40$ betrachten musst, da $\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} \gt 0$ . Damit gilt:

$\begin{array}[t]{rlll} (-100t+40)=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -40\\[5pt] 100t=&-40&\quad \scriptsize \mid\; :(-100)\\[5pt] t=&0,4 \end{array}$

Die Funktion $f$ hat an der Stelle $t_1=-8$ eine potentielle Extremstelle, die im betrachteten Intervall $[0;3]$ liegt.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen

Setze nun die potentielle Extremstellen in den Term der zweiten Ableitung $f‘‘$ ein.

Die Funktion $f$ hat an der Stelle $t_1=0,4$ ein Maximum. Somit ist der Atemfluss zum Zeitpunkt $t_1=0,4$ maximal.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt $\boldsymbol{t_2}$ mit der stärksten Abnahme bestimmen

Nun sollst du den Zeitpunkt $t_2$ bestimmen, zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt.

Da du alle benötigten Ableitungen in der vorigen Teilaufgabe bereits berechnet hast, kannst du so vorgehen:

Prüfe die notwendige Bedingung

Prüfe die hinreichende Bedingung

1. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen

$\begin{array}[t]{rlll} f‘‘(t)=&0\\[5pt] (250t-200)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}=&0 \end{array}$

Hier liefert der Satz vom Nullprodukt , dass du nur noch den Term $250t-200$ betrachten musst, da $\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} \gt 0$ . Damit gilt:

$\begin{array}[t]{rlll} (250t-200)=&0&\quad \scriptsize \mid\; +200\\[5pt] 250t=&200&\quad \scriptsize \mid\; :(250)\\[5pt] t=&0,8 \end{array}$

Die Funktion $f‘$ hat an der Stelle $t_2=0,8$ eine potentielle Extremstelle, die im betrachteten Intervall $[0;3]$ liegt.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen

Setze nun die potentielle Extremstellen in den Term der dritten Ableitung $f‘‘‘$ ein.

Die Funktion $f‘$ hat an der Stelle $t_2=0,8$ ein Minimum. Somit ist die stärkste Abnahme des Atemflusses zum Zeitpunkt $t_2=0,8$ .

$\blacktriangleright$ Dauer des Messvorgangs berechnen

Die Funktionen haben zwei Schnittpunkte. Uns interessiert nur der Schnittpunkt, der nach dem Zeitpunkt $t_1$ liegt.

Wechsle dazu mit deinem GTR in das Graph -Menü und speichere dort die Funktionsterme von $f$ und $g$ ab. Hast du diese dort gespeichert, dann lass dir die zugehörigen Graphen über F6:Draw anzeigen. Den Schnittpunkt erhältst du mit dem Befehl

F5: G-Solv F5: INTSECT

Damit ergibt sich:

Graph einer mathematischen Funktion mit Koordinaten und Schnittpunkten.

Die Graphen von $f$ und $g$ schneiden sich an der Stelle $t=2,81$ . Der Messvorgang dauert also $2,81$ Sekunden.

b) $\blacktriangleright$ Prozentsatz der ausgeatmeten Luft bestimmen

$V_1=\displaystyle\int_{0}^{1} f(t)\;\mathrm dt$ (Volumen der ausgeatmeten Luft nach einer Sekunde)

$V_{ges}=\displaystyle\int_{0}^{2,81} f(t)\;\mathrm dt$ (gesamtes Volumen)

Der Prozentsatz wird mit der Prozentformel berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{W}{G}\cdot 100 \end{array}$

Gehe folgendermaßen vor:

Berechne $V_1$ und $V_{ges}$

Berechne den Prozentsatz $p$

1. Schritt: Volumina berechnen

Das Integral kannst du jeweils im Graph -Modus des GTR unter folgendem Befehl berechnen:

F5: G-Solv F6 F3: F1:

Mathematische Grafik mit Achsen und einem blauen Funktionsgraphen, zeigt ein Integral zwischen 0 und 1.

Grafik einer Funktion mit Integrationsbereich und Achsenbeschriftungen.

Du erhältst für $V_1$ den Wert $4,5613$ und das gesamte Volumen beträgt $V_{ges}=6,35432$ .

2. Schritt: Prozentsatz $\boldsymbol{p}$ berechnen

Nun kannst du die Werte in die Prozentformel einsetzen.

$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{W}{G}\cdot100 \\[5pt] &=&\dfrac{V_1}{V_{ges}}\cdot100 \\[5pt] &=&\dfrac{4,5613}{6,35432}\cdot100 \\[5pt] &=&71,8\,\% \end{array}$

Der Patient atmet in der ersten Sekunde nur ca. $71,8\,\%$ der in seiner Lunge enthaltenen Luft aus. Da gesunde Menschen mindestens $75\,\%$ ausatmen, gilt der Patient nicht als gesund.

$\blacktriangleright$ Gesuchten Zeitpunkt $\boldsymbol{t_4}$ bestimmen

Hier ist der Zeitpunkt $t_4$ gesucht, an dem der Patient $3,2 \text{ l}$ Luft ausgeatmet hat. Es gilt also:

$\displaystyle\int_{0}^{t_4} f(t)\;\mathrm dt =3,2$ .

$\displaystyle\int_{a}^{b}u(t) \cdot v‘(t) \;\mathrm dt = \left[u(t)\cdot v(t)\right]_{a}^{b} - \displaystyle\int_{a}^{b} u‘(t) \cdot v(t) \;\mathrm dt$

Wähle

$\begin{array}[t]{rlrl} u(t)=& 40t, & u‘(t)=&40, \\[5pt] v‘(t)=&\mathrm e^{-\frac{5}{2}t},&v(t)=&-\frac{2}{5} \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}t}. \end{array}$

Damit ergibt sich eine Stammfunktion von $f$ in Abhängigkeit der oberen Grenze $b$ :

Wechsle nun mit deinem GTR in das Graph -Menü und speichere dort die Funktionsterme von $F$ und $y=3,2$ . Hast du diese dort gespeichert, dann lass dir die zugehörigen Graphen über F6:Draw anzeigen. Den Schnittpunkt erhältst du mit dem Befehl

F5: G-Solv F5: INTSECT

Beachte dabei, dass die gesuchte Schnittstelle $t_4 \gt 0$ sein soll:

Grafische Darstellung von Funktionen mit Koordinaten und Schnittpunkten.

Der $x$ -Wert des Schnittpunkts entspricht gerade dem gesuchten Zeitpunkt $t_4$ . Nach ca. $0,67 \text{ s}$ hat der Patient $3,2$ Liter Luft ausgeatmet.

c) $\blacktriangleright$ Gleichbleiben der Zeitpunkte $\boldsymbol{t_1}$ und $\boldsymbol{t_2}$ begründen

$\blacktriangleright$ Zeitintervall ohne Messwerte und Schwellenwert $\boldsymbol{S}$ bestimmen

Es gilt:

$t_6=t_5 + 0,25$

$g(t_5)=g(t_6)$ .

Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite liefert:

$g(t_5)=g(t_6)=g(t_5+0,25)$ .

Setze $t_5$ und $t_5+0,25$ in den Term der Funktion $g$ ein und berechne so weit wie möglich:

$\begin{array}[t]{rll} g(t_5)=& 35 t_5 \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot t_5} \end{array}$

Gleichsetzen und Auflösen nach $t_5$ ergibt:

Einsetzen des ermittelten $t_5$ in die Gleichung der Funktion von $g$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} g(t_5)=&g(0,2879)\\[5pt] =&35 \cdot 0,2879 \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot 0,2879}\\[5pt] =&10,0765\cdot \mathrm e^{-\frac{2.879}{4.000}}\\[5pt] \approx& 4,9060 \end{array}$

Zudem gilt $t_6=t_5+0,25=0,2879+0,25=0,5379$ .

Damit liegt der Schwellenwert bei ca. $4,91$ Liter pro Sekunde. $I=[0,288;0,538]$ , also zeichnet das Messgerät im Zeitintervall von ca. $2,9$ Sekunden bis ungefähr $5,4$ Sekunden keine Werte auf.

d) $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung der $\boldsymbol{1.}$ Ableitung von $\boldsymbol{h}$ nachweisen

Leite den Funktionsterm

$h(x)=x^2 \cdot \mathrm e^{x^2}$

mit der Produkt- und Kettenregel ab und forme um, um die gesuchte Form von $h‘$ zu erhalten.

Definiere nun $m(x):= \left(\mathrm e^{x^2} + x^2 \cdot \mathrm e^{x^2}\right)$ und erhalte somit die gesuchte Form für $h‘$ :

$h‘(x)=2 \cdot x \cdot m(x)$ .

$\blacktriangleright$ Waagerechte Tangente bei $\boldsymbol{x=0}$ begründen

Nutze die Funktionsgleichung aus der vorigen Teilaufgabe für $h‘$ sowie die allgemeine Form einer Tangente für den Graph von $h$ an der Stelle $x_1$ :

$y=mx+c=h‘(x_1)x+c$

Die Steigung der Tangenten im Punkt $x_1$ wird durch $m=h‘(x_1)$ beschrieben, die der Steigung des Graphen von $h$ an dieser Stelle entsprechen muss. Einsetzen von $x_1=0$ ergibt:

$y(x)=h‘(0) \cdot x+c=c$ .

Damit besitzt der Graph von $h$ an der Stelle $x_1=0$ eine waagerechte Tangente.

$\blacktriangleright$ Waagerechte Tangente an allen Extremstellen von $\boldsymbol{p}$ überprüfen

$p‘(x_E)=0$ .

Stelle die Tangentengleichung des Graphen von $k$ an den Extremstellen $x_E$ von $p$ auf:

$\begin{array}[t]{rll} y(x)=&k‘(x_E)x + c \\[5pt] =&p‘(x_E) \left(\mathrm e^{p(x_E)} + p(x_E) \cdot \mathrm e^{p(x_E)}\right)x+c& \scriptsize \mid\; p‘(x_E)=0\\[5pt] =&c \end{array}$

Damit hat der Graph von $k$ an allen Extremstellen von $p$ eine waagerechte Tangente.