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Aufgabe 2A

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Eine Firma stellt Bolzen und Buchsen her.
Dabei sollen die Bolzen in die Buchsen passen.
Die Zufallsgröße $X$ gibt den Außendurchmesser der Bolzen in Millimetern, die Zufallsgröße $Y$ den Innendurchmesser der Buchsen in Millimetern an. Beide Zufallsgrößen sollen als normalverteilt angesehen werden.
Nach bisherigen Erfahrungen geht man bei den Bolzen von einem Erwartungswert $\mu_X=9,82\,\text{mm}$ und einer Standardabweichung $\sigma_X=0,09\,\text{mm}$ aus. Bei den Buchsen geht man von einem Erwartungswert $\mu_Y=10,12\,\text{mm}$ und einer Standardabweichung $\sigma_Y=0,11\,\text{mm}$ aus.
a)  Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens höchstens $9,70\,\text{mm}$ beträgt.
Bestimme die untere Grenze $u$ so, dass für $75\,\%$ aller Außendurchmesser $d$ der Bolzen gilt: $u\leq d\leq 9,90$.
Durch eine neue Vorgabe sollen $90\,\%$ der Außendurchmesser der Bolzen nur $1\,\%$ vom Erwartungswert $\mu_X=9,82\,\text{mm}$ nach unten oder nach oben abweichen.
Bestimme die dafür benötigte Standardabweichung auf zwei Nachkommastellen gerundet.
(10P)
b)  Es werden der laufenden Produktion $100$ Buchsen zufällig entnommen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei mindestens $90$ aller entnommenen Buchsen ein Bolzen mit einem Außendurchmesser von $10,00\,\text{mm}$ hineinpasst.
(6P)
c)  Die Zufallsgröße $W$ mit $W=Y-X$ ist normalverteilt. Für den Erwartungswert $\mu_W$ gilt $\mu_W= \mu_Y - \mu_X$.
In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte $\varphi$ dargestellt. Zusätzlich ist der Wert von $\displaystyle\int_{\mu_W - 1,96\cdot \sigma_W}^{\mu_W + 1,96\cdot \sigma_W}\varphi(w) \;\mathrm dw$ in der zugehörigen schraffierten Fläche in Prozent angegeben.
Zeige mithilfe der Grafik, dass $\sigma_W> \sigma_X$ gilt.
Untersuche mithilfe der Grafik die Gültigkeit folgender Aussage:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bolzen in eine zufällig ausgewählte Buchse passt, ist größer als $97,5\,\%$.
(8P)
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