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In der Zeitung „DIE ZEIT“ vom 21.03.2013 war zum Intelligenzquotienten (IQ) Folgendes zu lesen:
„Der IQ gibt an, wie intelligent eine Testperson im Vergleich zu anderen Gleichaltrigen aus derselben Bevölkerung ist. Intelligenzvergleiche zwischen sehr unterschiedlichen Gruppen, etwa Völkern, verbieten sich, weil Intelligenztests kulturell geprägt sind. Mit einem IQ von 100 verfügt man über durchschnittliche Intelligenz […]. Zwei Drittel der Bevölkerung haben einen IQ zwischen 85 und 115. Rund 17 Prozent können mit einem IQ von mehr als 115 als überdurchschnittlich intelligent gelten, und 2 Prozent mit einem IQ von mehr als 130 als hochbegabt.“
Die Zufallsgröße $X$, die jeder zufällig ausgewählten Person ihren IQ zuordnet, wird als normalverteilt angenommen.
a) Erläutern Sie, dass unter diesen Voraussetzungen der Erwartungswert $\mu =100$ und die Standardabweichung $\sigma=15$ der Zufallsgröße $X$ mit den Aussagen des obigen Textes näherungsweise ermittelt werden können.
Berechnen Sie mithilfe der Zufallsgröße $X$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person einen IQ hat, der größer als 115 ist.
Berechnen Sie mithilfe der Zufallsgröße $X$ den Anteil der Bevölkerung mit einem IQ, der größer als 95 und kleiner als 105 ist.
(9P)
b) Eine zufällig ausgewählte Person ist mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 2,3 % hochbegabt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter 120 zufällig ausgewählten Personen mindestens eine hochbegabte Person befindet.
Der Wahrscheinlichkeitswert von 2,3 % für das Vorhandensein einer Hochbegabung wird angezweifelt. Es wird deshalb eine Stichprobe von 450 zufällig ausgewählten Personen untersucht. Die Untersuchung ergibt, dass sich in der Stichprobe 16 hochbegabte Personen befinden.
Entscheiden Sie mithilfe eines Vertrauensintervalls, ob man bei einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von $\gamma=95\,\%$ davon ausgehen kann, dass die Zweifel berechtigt sind.
(8P)
c) Für die obige normalverteilte Zufallsgröße $X$ ist $\varphi$ mit $\varphi(t)=\dfrac{1}{15\cdot\sqrt{2}\cdot\pi}\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{t-100}{15}\right)^2}$ die Dichtefunktion.
Bestimmen Sie in den beiden Gleichungen $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-\infty}^{a}\varphi(t)\mathrm{dt}=0,2$ und $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-\infty}^{b}\varphi(t)\mathrm{dt}=0,8$ die Werte für $a$ und $b$.
Es soll gelten: $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-\infty}^{c}\varphi(t)\mathrm{dt}+\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-\infty}^{d}\varphi(t)\mathrm{dt}=1.$
Begründen Sie, dass daraus $\frac{c+d}{2}=100$ folgt.
(7P)

(24P)
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