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Aufgabe 3A

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Stehende Gewässer weisen eine Schichtung des Wassers auf. Modellhaft werden drei Schichten unterschieden: die kalte Tiefenschicht, die warme Oberflächenschicht und die dazwischenliegende Sprungschicht, in der die Temperatur mit der Tiefe sinkt.
von
OST
O0,90,10
nachS0,10,850,1
T00,050,9
von
OST
O0,90,10
nachS0,10,850,1
T00,050,9
Durch unterschiedliche Vorgänge kommt es zu einem gewissen Austausch zwischen den Schichten, sodass sich die Schichtdicken verändern. Die nebenstehende Tabelle beschreibt die Übergänge zwischen den Schichten pro Zeiteinheit. Für diese Modellierung wird vorausgesetzt, dass sich diese Entwicklung in der beschriebenen Weise fortsetzen wird.
a) Stellen Sie die Daten aus der Übergangstabelle in einem Übergangsgraphen dar.
Erläutern Sie die Werte der mittleren Zeile der Tabelle im Sachzusammenhang.
Bestimmen Sie die Schichtdicken nach fünf Zeiteinheiten auf Zentimeter genau, wenn zu Beginn jede der Schichten 3 m dick ist.
(10P)
b) Nach diesem Modell werden die Oberflächen– und die Sprungschicht mit der Zeit gleich dick.
Erstellen Sie begründet eine veränderte Übergangsmatrix so, dass die Sprungschicht auf lange Sicht dicker ist als die Oberflächenschicht.
(6P)
c) Für eine andere Modellierung eines 9 m tiefen Gewässers wird die Übergangsmatrix
$N=\begin{pmatrix}a&b&0\\1-a&1-2\cdot b&c\\0&b&1-c\end{pmatrix}$ angegeben.
Geben Sie an, welche Werte $b$ annehmen darf.
Bestimmen Sie eine Matrix $N$ so, dass sich eine stabile Verteilung mit einer 1 m dicken Oberflächen–, einer 3 m dicken Sprung– und einer 5 m dicken Tiefenschicht ergibt.
(8P)

(24P)
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