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Aufgabe 2B

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Eine Fluggesellschaft setzt auf einer bestimmten Flugstrecke immer Flugzeuge des gleichen Typs mit $320$ Sitzplätzen ein. Kunden der Fluggesellschaft, die einen Flug für diese Strecke gebucht haben, treten diesen erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von $5\,\%$ nicht an. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Passagiere, die den Flug nicht antreten.
a)
Für ein Flugzeug dieses Typs sind für einen zufällig ausgewählten Flug auf dieser Strecke $320$ Tickets verkauft worden. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in diesem Flugzeug
  • mindestens $12$ Plätze frei bleiben,
  • mehr als $6$ aber weniger als $10$ Plätze frei bleiben,
  • mindestens $300$ aber höchstens $310$ Plätze genutzt werden.
Bestimme das kleinste um den Erwartungswert von $X$ symmetrische Intervall, in dem die Anzahl der den Flug nicht antretenden Passagiere mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\,\%$ liegt.
(14 BE)
#erwartungswert
b)
Um Flugzeuge besser auszulasten, ist die Fluggesellschaft auf der betrachteten Strecke dazu übergegangen, für ihre Flüge mehr Tickets zu verkaufen als Plätze vorhanden sind. Passagiere, die nicht mit dem gebuchten Flugzeug transportiert werden können, werden von der Fluggesellschaft entschädigt. Betrachtet werden zufällig ausgewählte Flüge, für die jeweils $368$ Tickets verkauft worden sind. Interpretiere den Term
$\binom{368}{30}\cdot 0,05^{30}\cdot 0,95^{338}$
auch im Hinblick auf die Anzahl der zu entschädigenden Personen.
(3 BE)
c)
Auf der betrachteten Strecke wollen $323$ Personen den Flug antreten. Die Passagiere werden von der Fluggesellschaft angesprochen, ob sie den Flug freiwillig später antreten würden. Passagiere entscheiden sich unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit $p$ für einen späteren Flug.
Berechne für $p = 0,15$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Mitarbeiter genau $10$ Passagiere ansprechen muss, um die drei Passagiere zu finden, die freiwillig später fliegen. Begründe die Richtigkeit der folgenden Aussage:
Der Term $1-(1-p)^k$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass höchstens $k$ Passagiere angesprochen werden müssen, um einen Passagier zu finden, der freiwillig später fliegt.
(7 BE)
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