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Aufgabe 1B

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Ein Holzfass ist $h=0,80\,\text{m}$ hoch, hat in der Mitte einen Radius von $R=0,35\,\text{m}$ und an Boden und Deckel den Radius $r=0,27\,\text{m}$. Das Fass wird entsprechend der Abbildung im Koordinatensystem symmetrisch zur $y$–Achse liegend betrachtet.
a) Die Mantellinie kann näherungsweise mithilfe einer Parabel beschrieben werden. Bestimmen Sie für die Mantellinie des Fasses mit den oben genannten Maßen eine Gleichung der Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+b$, $a\in\mathbb{R}$, $b\in\mathbb{R}$.
Berechnen Sie damit das Rotationsvolumen des Fasses.
Johannes Kepler entwickelte die folgende Formel zur Berechnung des Volumens eines Fasses:
$V=\dfrac{\pi}{15}\cdot h\cdot\left(8\cdot R^{2}+4\cdot R\cdot r+3\cdot r^{2}\right)$.
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis für das Rotationsvolumen des Fasses mit dem Ergebnis, das Sie mithilfe der Keplerschen Fassformel erhalten.
(11P)
Die Mantellinie des Fasses wird in einer anderen Modellierung für $0\leq x\leq0,4$ beschrieben durch Funktionsgraphen der Schar $f_k$ mit $f_k(x)=2,5\cdot x^{3}-1,5\cdot x^{2}+k\cdot x+0,35$, $k\in\mathbb{R}$, $x\in\mathbb{R}$.
b) Begründen Sie, dass die Mantellinie für $-0,4\leq x\leq0$ beschrieben wird durch die Funktionsgraphen der Schar $g_k$ mit $g_{k}(x)=-2,5\cdot x^{3}-1,5\cdot x^{2}-k\cdot x+0,35$, $k\in\mathbb{R}$, $x\in\mathbb{R}$.
Die Graphen der Modellierungsfunktionen der Scharen $f_k$ und $g_k$ sollen die Wölbung des Fasses an der Stelle $x=0$ jeweils sprung–, knick– und krümmungsruckfrei beschreiben.
Zeigen Sie, dass diese Forderungen erfüllt werden, wenn gilt: $k=0$.
(13P)
Unabhängig vom Sachzusammenhang werden die Funktionen der Schar $f_k$ nun für alle $x\in\mathbb{R}$ betrachtet. In der Anlage sind beispielhaft zwei Graphen der Schar $f_k$ dargestellt.
Betrachtet werden im Folgenden auch die Tangenten $t_k$ an die Graphen der Schar $f_k$ an der Stelle $x=0$.
c) Bestimmen Sie die Gleichung dieser Tangenten $t_k$.
(Zur Kontrolle: $t_{k}(x)=k\cdot x+0,35$)
Entscheiden Sie mithilfe des Verhaltens der Funktionsgraphen an der Stelle $x=0$, welcher der Graphen in der Anlage zu einer Funktion mit positivem Parameter $k$ gehört.
(9P)
d) Die Graphen der Funktionenschar $f_k$ haben mit den jeweils zugehörigen Tangenten $t_k$ die Punkte $B_{k}\left(0\mid f_{k}(0)\right)$ und $S_{k}\left(0,6\mid f_{k}(0,6)\right)$ gemeinsam.
Bestimmen Sie den Parameter $k$ so, dass die Punkte $B_k$ und $S_k$ den kleinsten Abstand voneinander haben.
Untersuchen Sie, ob der Inhalt der Fläche, die von jedem Graphen und der zugehörigen Tangente $t_k$ eingeschlossen wird, vom Parameter $k$ abhängig ist.
(13P)

(46P)

Material

Anlage: Graphen zu Teilaufgabe c)
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