Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
NI, Integrierte Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA (GTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (GTR)
Abitur gA (CAS)
Hauptschulabschluss 10 E-...
Hauptschulabschluss 10 G-...
Hauptschulabschluss 9 E-K...
Hauptschulabschluss 9 G-K...
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur eA (GTR...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (GTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (GTR)
Abitur gA (CAS)
Hauptschulabschluss 10 E-Kurs
Hauptschulabschluss 10 G-Kurs
Hauptschulabschluss 9 E-Kurs
Hauptschulabschluss 9 G-Kurs
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Mach dich schlau mit SchulLV!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Aufgabe 1B

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord
Ein Holzfass ist $h=0,80\,\text{m}$ hoch, hat in der Mitte einen Radius von $R=0,35\,\text{m}$ und an Boden und Deckel den Radius $r=0,27\,\text{m}$. Das Fass wird entsprechend der Abbildung im Koordinatensystem symmetrisch zur $y$–Achse liegend betrachtet.
a) Die Mantellinie kann näherungsweise mithilfe einer Parabel beschrieben werden. Bestimmen Sie für die Mantellinie des Fasses mit den oben genannten Maßen eine Gleichung der Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+b$, $a\in\mathbb{R}$, $b\in\mathbb{R}$.
Berechnen Sie damit das Rotationsvolumen des Fasses.
Johannes Kepler entwickelte die folgende Formel zur Berechnung des Volumens eines Fasses:
$V=\dfrac{\pi}{15}\cdot h\cdot\left(8\cdot R^{2}+4\cdot R\cdot r+3\cdot r^{2}\right)$.
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis für das Rotationsvolumen des Fasses mit dem Ergebnis, das Sie mithilfe der Keplerschen Fassformel erhalten.
(11P)
Die Mantellinie des Fasses wird in einer anderen Modellierung für $0\leq x\leq0,4$ beschrieben durch Funktionsgraphen der Schar $f_k$ mit $f_k(x)=2,5\cdot x^{3}-1,5\cdot x^{2}+k\cdot x+0,35$, $k\in\mathbb{R}$, $x\in\mathbb{R}$.
b) Begründen Sie, dass die Mantellinie für $-0,4\leq x\leq0$ beschrieben wird durch die Funktionsgraphen der Schar $g_k$ mit $g_{k}(x)=-2,5\cdot x^{3}-1,5\cdot x^{2}-k\cdot x+0,35$, $k\in\mathbb{R}$, $x\in\mathbb{R}$.
Die Graphen der Modellierungsfunktionen der Scharen $f_k$ und $g_k$ sollen die Wölbung des Fasses an der Stelle $x=0$ jeweils sprung–, knick– und krümmungsruckfrei beschreiben.
Zeigen Sie, dass diese Forderungen erfüllt werden, wenn gilt: $k=0$.
(13P)
Unabhängig vom Sachzusammenhang werden die Funktionen der Schar $f_k$ nun für alle $x\in\mathbb{R}$ betrachtet. In der Anlage sind beispielhaft zwei Graphen der Schar $f_k$ dargestellt.
Betrachtet werden im Folgenden auch die Tangenten $t_k$ an die Graphen der Schar $f_k$ an der Stelle $x=0$.
c) Bestimmen Sie die Gleichung dieser Tangenten $t_k$.
(Zur Kontrolle: $t_{k}(x)=k\cdot x+0,35$)
Entscheiden Sie mithilfe des Verhaltens der Funktionsgraphen an der Stelle $x=0$, welcher der Graphen in der Anlage zu einer Funktion mit positivem Parameter $k$ gehört.
(9P)
d) Die Graphen der Funktionenschar $f_k$ haben mit den jeweils zugehörigen Tangenten $t_k$ die Punkte $B_{k}\left(0\mid f_{k}(0)\right)$ und $S_{k}\left(0,6\mid f_{k}(0,6)\right)$ gemeinsam.
Bestimmen Sie den Parameter $k$ so, dass die Punkte $B_k$ und $S_k$ den kleinsten Abstand voneinander haben.
Untersuchen Sie, ob der Inhalt der Fläche, die von jedem Graphen und der zugehörigen Tangente $t_k$ eingeschlossen wird, vom Parameter $k$ abhängig ist.
(13P)

(46P)

Material

Anlage: Graphen zu Teilaufgabe c)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
a) $\blacktriangleright$ Gleichung der Funktion bestimmen
Die Aufgabenstellung liefert dir folgende Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen:
$P_1 (0 \mid 0,35)$ und $P_2 (0,4 \mid 0,27)$
Setze $P_1$ in $p$ ein und berechne $b$.
Setze $b$ und $P_2$ in $p$ ein.
$\blacktriangleright$ Berechne das Rotationsvolumen
Das Rotationsvolumen berechnest du mit folgender Formel:
$\boldsymbol{V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\rm{dx}}$
Die Grenzen des Integrals sind gegeben durch $x_1=-0,4$ und $x_2=0,4$.
$\blacktriangleright$ Keplersche Fassformel
Die Keplersche Fassformel lautet:
$V=\dfrac{\pi}{15}\cdot h\cdot\left(8\cdot R^{2}+4\cdot R\cdot r+3\cdot r^{2}\right)$.
Du sollst damit das Volumen des Fasses berechnen, setze dafür die in der Aufgabenstellung genannten Radien ein.
b) $\blacktriangleright$ Funktionenschar für Mantellinie
Die Mantellinie ist symmetrisch zur $y$–Achse, also muss $f_k(-x) = g_k(x)$ gelten, damit diese Funktionen die Mantellinie beschreiben. Überprüfe diese Bedingung.
$\blacktriangleright$ Übergang der beiden Funktionen
Damit der Übergang an der Stelle $x=0$ jeweils sprung–, knick– und krümmungsruckfrei ist, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • $f_k(0) = g_k(0)$
  • $f_k'(0) = g_k'(0)$
  • $f_k''(0) = g_k''(0)$
Überprüfe die Bedingungen.
c) $\blacktriangleright$ Bestimme die Gleichung der Tangenten $\boldsymbol{t_k}$
Die Ableitung der Funktionenschar hast du im Aufgabenteil b) berechnet, damit kannst du die Steigung der Tangente berechnen.
Der $y$–Achsenabschnitt ist gegeben durch $f_k(0)=0,35$.
$\blacktriangleright$ Funktion mit positivem Parameter $\boldsymbol{k}$
Der Parameter $k$ entspricht der Steigung der Tangente an der Stelle $x=0$. Die Funktion mit positivem Parameter $k$ ist also die Funktion, deren Graph eine positive Steigung an der Stelle $x=0$ hat.
d) $\blacktriangleright$ Kleinster Abstand zwischen $\boldsymbol{B_k}$ und $\boldsymbol{S_k}$
Berechne zuerst die $y$–Koordinaten der Punkte.
Die kürzeste Entfernung haben die beiden Punkte, wenn sie durch eine waagrechte Tangente verbunden sind. Berechne das $k$, für welches das der Fall ist.
Alternativ
Du kannst den Parameter mit dem kleinsten Abstand auch durch Minimieren der folgenden Formel bestimmen:
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_S - x_B)^2 + (y_S - y_B)^2}}$
$\blacktriangleright$ Abhängigkeit des Flächeninhalts vom Parameter $\boldsymbol{k}$ untersuchen
Untersuche, ob der Inhalt der Fläche, die von jedem Graphen und der zugehörigen Tangente $t_k$ eingeschlossen wird, vom Parameter $k$ abhängig ist. Die Schnittstellen der Tangenten und der Graphen der Funktionenschar sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 0,6$. Schreibe das Integral auf und betrachte die Integralgrenzen, sowie den Integrand.
Alternativ
Du kannst das auch feststellen, indem du das Integral berechnest.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF
a) $\blacktriangleright$ Gleichung der Funktion bestimmen
Bestimme für die Mantellinie des Fasses mit den Maßen aus der Aufgabenstellung eine Gleichung der Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+b$, $a\in\mathbb{R}$, $b\in\mathbb{R}$.
Die Aufgabenstellung liefert dir folgende Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen:
$P_1 (0 \mid 0,35)$ und $P_2 (0,4 \mid 0,27)$
Setze $P_1$ in $p$ ein:
$\begin{array}{rcll} 0,35&=&p(0)&\\ 0,35&=&a\cdot 0^2 + b& \\ b&=&0,35& \end{array}$
Es gilt $\boldsymbol{b=0,35}$. Setze $b$ und $P_2$ in $p$ ein:
$\begin{array}{rcll} 0,27&=&p(0,4)& \\ 0,27&=&a\cdot 0,4^2 + 0,35& \\ 0,27&=&a\cdot 0,16 + 0,35&\scriptsize{\mid\; -0,35}\\ -0,08&=&a\cdot 0,16 &\scriptsize{\mid\; :0,16}\\ a&=&-0,5& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 0,27&=&p(0,4)& \\ 0,27&=&a\cdot 0,4^2 + 0,35& \\ 0,27&=&a\cdot 0,16 + 0,35&\\ -0,08&=&a\cdot 0,16 &\\ a&=&-0,5& \end{array}$
Es gilt $\boldsymbol{a=-0,5}$. Die Gleichung von $p$ ist somit gegeben durch $\boldsymbol{p(x) = -0,5 \cdot x^{2}+ 0,35}$.
$\blacktriangleright$ Berechne das Rotationsvolumen
Das Rotationsvolumen berechnest du mit folgender Formel:
$\boldsymbol{V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\rm{dx}}$
Die Grenzen des Integrals sind gegeben durch $x_1=-0,4$ und $x_2=0,4$.
$V=\pi \cdot \displaystyle\int_{-0,4}^{0,4}(-0,5 \cdot x^{2}+ 0,35)^2\mathrm dx$
Das Integral kannst du mit dem Taschenrechner berechnen, indem du dir den Graphen von $p(x)^2$ zeichnen lässt und folgendermaßen vorgehst:
2nd $\rightarrow$ TRACE (CALC) $\rightarrow$ 7: $\int f(x) \rm{dx}$
Der Wert des Integrals ist $\boldsymbol{0,084}$. Für das Volumen ergibt sich also:
$V=\pi \cdot 0,084 = 0,264$
Das Volumen des Fasses beträgt $\boldsymbol{0,264\;\textbf{m}^3}$.
$\blacktriangleright$ Keplersche Fassformel
Die Keplersche Fassformel lautet:
$V=\dfrac{\pi}{15}\cdot h\cdot\left(8\cdot R^{2}+4\cdot R\cdot r+3\cdot r^{2}\right)$.
Du sollst damit das Volumen des Fasses berechnen:
$\begin{array}{rcll} V&=&\frac{\pi}{15} \cdot 0,8 \cdot \left( 8\cdot 0,35^2 + 4\cdot 0,35 \cdot 0,27 + 3\cdot 0,27^2 \right)&\\ &=&\frac{\pi}{15} \cdot 0,8 \cdot 1,5767&\\ &=&0,264& \end{array}$
Das Volumen des Fasses beträgt $\boldsymbol{0,264\;\textbf{m}^3}$.
Die Berechnungen liefern die gleichen Volumina.
b) $\blacktriangleright$ Funktionenschar für Mantellinie
Begründe, dass die Mantellinie für $-0,4\leq x\leq0$ beschrieben wird durch die Funktionsgraphen der Schar $g_k$ mit $g_{k}(x)=-2,5\cdot x^{3}-1,5\cdot x^{2}-k\cdot x+0,35$, $k\in\mathbb{R}$, $x\in\mathbb{R}$. Die Mantellinie ist symmetrisch zur $y$–Achse, also muss $f_k(-x) = g_k(x)$ gelten, damit diese Funktionen die Mantellinie beschreiben.
$\begin{array}{rcll} f_k(-x)&=&2,5\cdot (-x)^3 - 1,5 \cdot (-x)^2 + k\cdot x +0,35&\\ &=&- 2,5\cdot x^3 - 1,5 \cdot x^2 + k\cdot x +0,35&\\ &=&g_k(x)& \end{array}$
Die Bedingung ist erfüllt, also wird die Mantellinie für $\boldsymbol{-0,4\leq x\leq0}$ beschrieben durch die Funktionsgraphen der Schar $\boldsymbol{g_k}$.
$\blacktriangleright$ Übergang der beiden Funktionen
Damit der Übergang an der Stelle $x=0$ jeweils sprung–, knick– und krümmungsruckfrei ist, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • $f_k(0) = g_k(0)$
  • $f_k'(0) = g_k'(0)$
  • $f_k''(0) = g_k''(0)$
Die Ableitungen sind gegeben durch:
$\begin{array}{rcll} f_k'(x)&=&7,5\cdot x^2 - 3\cdot x +k&\\ f_k''(x)&=&15\cdot x - 3&\\ g_k'(x)&=&-7,5\cdot x^2 - 3\cdot x -k&\\ g_k''(x)&=&-15\cdot x - 3& \end{array}$
Überprüfe die Bedingungen:
  • $f_k(0) = 0,35 = g_k(0)$
  • $f_k'(0) = k$ und $g_k'(0) = -k$
  • Also muss gelten: $k = -k \Rightarrow k=0$
  • $f_k''(0) = -3 = g_k''(0)$
Die Bedingungen sind alle für $k=0$ erfüllt.
Für $\boldsymbol{k=0}$ ist der Übergang sprung–, knick– und krümmungsruckfrei.
c) $\blacktriangleright$ Bestimme die Gleichung der Tangenten $\boldsymbol{t_k}$
Die Ableitung der Funktionenschar hast du im Aufgabenteil b) berechnet:
$f_k'(x)=7,5\cdot x^2 - 3\cdot x +k$
Du kannst dann die Steigung der Tangente berechnen:
$f_k'(0)=7,5\cdot 0^2 - 3\cdot 0 +k = k$
Der $y$–Achsenabschnitt ist gegeben durch $f_k(0)=0,35$. Die Gleichung der Tangente ist dann gegeben durch:
$\boldsymbol{t_k = k\cdot x + 0,35}$
$\blacktriangleright$ Funktion mit positivem Parameter $\boldsymbol{k}$
Der Parameter $k$ entspricht der Steigung der Tangente an der Stelle $x=0$. Die Funktion mit positivem Parameter $k$ ist also die Funktion, deren Graph eine positive Steigung an der Stelle $x=0$ hat. Das ist Graph I.
d) $\blacktriangleright$ Kleinster Abstand zwischen $\boldsymbol{B_k}$ und $\boldsymbol{S_k}$
Die Graphen der Funktionenschar $f_k$ haben mit den jeweils zugehörigen Tangenten $t_k$ die Punkte $B_{k}\left(0\mid f_{k}(0)\right)$ und $S_{k}\left(0,6\mid f_{k}(0,6)\right)$ gemeinsam. Du sollst $k$ so bestimmen, dass die Punkte $B_k$ und $S_k$ den kleinsten Abstand voneinander haben. Berechne zuerst die $y$–Koordinaten der Punkte:
$B_{k}\left(0\mid f_{k}(0)\right) = B_{k}\left(0\mid 0,35\right)$ und $S_{k}\left(0,6\mid f_{k}(0,6)\right) = S_{k}\left(0,6\mid 0,6\cdot k + 0,35\right)$
Die kürzeste Entfernung haben die beiden Punkte, wenn sie durch eine waagrechte Tangente verbunden sind. Das ist der Fall, wenn die $y$–Koordinaten der Punkte übereinstimmen:
$\begin{array}{rcll} 0,35&=&0,6 \cdot k + 0,35&\scriptsize{\mid\; -0,35}\\ 0&=&0,6\cdot k&\\ k&=&0& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 0,35&=&0,6 \cdot k + 0,35&\\ 0&=&0,6\cdot k&\\ k&=&0& \end{array}$
Alternativ
Du kannst den Parameter mit dem kleinsten Abstand auch durch Minimieren der folgenden Formel bestimmen:
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_S - x_B)^2 + (y_S - y_B)^2}}$
Durch Einsetzen der Koordinaten erhältst du:
$d = \sqrt{0,6^2 + (0,6\cdot k)^2}$
Minimiere diese Funktion mithilfe deines Taschenrechners.
2nd $\rightarrow$ TRACE (CALC) $\rightarrow$ 3: minimum
Für $\boldsymbol{k=0}$ ist der Abstand zwischen $\boldsymbol{B_k}$ und $\boldsymbol{S_k}$ am kleinsten.
$\blacktriangleright$ Abhängigkeit des Flächeninhalts vom Parameter $\boldsymbol{k}$ untersuchen
Untersuche, ob der Inhalt der Fläche, die von jedem Graphen und der zugehörigen Tangente $t_k$ eingeschlossen wird, vom Parameter $k$ abhängig ist. Die Schnittstellen der Tangenten und der Graphen der Funktionenschar sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 0,6$. Du hast also folgendes Integral:
$\displaystyle\int_{0}^{0,6} t_k - f_k(x) \mathrm dx = \displaystyle\int_{0}^{0,6} k x +0,35 - (2,5 x^3 - 1,5 x^2 + k x +0,35) \mathrm dx = \displaystyle\int_{0}^{0,6} - 2,5 x^3 +1,5 x^2 \mathrm dx$
Sowohl die Integralgrenzen, als auch der Integrand sind von $k$ unabhängig, somit ist auch der Inhalt der Fläche unabhängig vom Parameter $k$.
Alternativ
Du kannst das auch feststellen, indem du das Integral berechnest.
$\begin{array}{rcll} \displaystyle\int_{0}^{0,6} t_k - f_k(x) \mathrm dx&=&\displaystyle\int_{0}^{0,6} - 2,5\cdot x^3 +1,5\cdot x^2 \mathrm dx&\\ &=&\left[-\frac{5}{8}x^4 + 0,5 \cdot x^3\right]_0^{0,6}&\\ &=&0,027& \end{array}$
Das Ergebnis enthält kein $k$, der Inhalt der Fläche ist also unabhängig vom Parameter $k$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF
a) $\blacktriangleright$ Gleichung der Funktion bestimmen
Bestimme für die Mantellinie des Fasses mit den Maßen aus der Aufgabenstellung eine Gleichung der Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+b$, $a\in\mathbb{R}$, $b\in\mathbb{R}$.
Die Aufgabenstellung liefert dir folgende Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen:
$P_1 (0 \mid 0,35)$ und $P_2 (0,4 \mid 0,27)$
Setze $P_1$ in $p$ ein:
$\begin{array}{rcll} 0,35&=&p(0)&\\ 0,35&=&a\cdot 0^2 + b& \\ b&=&0,35& \end{array}$
Es gilt $\boldsymbol{b=0,35}$. Setze $b$ und $P_2$ in $p$ ein:
$\begin{array}{rcll} 0,27&=&p(0,4)& \\ 0,27&=&a\cdot 0,4^2 + 0,35& \\ 0,27&=&a\cdot 0,16 + 0,35&\scriptsize{\mid\; -0,35}\\ -0,08&=&a\cdot 0,16 &\scriptsize{\mid\; :0,16}\\ a&=&-0,5& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 0,27&=&p(0,4)& \\ 0,27&=&a\cdot 0,4^2 + 0,35& \\ 0,27&=&a\cdot 0,16 + 0,35&\\ -0,08&=&a\cdot 0,16 &\\ a&=&-0,5& \end{array}$
Es gilt $\boldsymbol{a=-0,5}$. Die Gleichung von $p$ ist somit gegeben durch $\boldsymbol{p(x) = -0,5 \cdot x^{2}+ 0,35}$.
$\blacktriangleright$ Berechne das Rotationsvolumen
Das Rotationsvolumen berechnest du mit folgender Formel:
$\boldsymbol{V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\rm{dx}}$
Die Grenzen des Integrals sind gegeben durch $x_1=-0,4$ und $x_2=0,4$.
$V=\pi \cdot \displaystyle\int_{-0,4}^{0,4}(-0,5 \cdot x^{2}+ 0,35)^2\mathrm dx$
Das Integral kannst du mit dem Taschenrechner berechnen, indem du dir den Graphen von $p(x)^2$ zeichnen lässt und folgendermaßen vorgehst:
F5: G–Solv $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ F3
Der Wert des Integrals ist $\boldsymbol{0,084}$. Für das Volumen ergibt sich also:
$V=\pi \cdot 0,084 = 0,264$
Das Volumen des Fasses beträgt $\boldsymbol{0,264\;\textbf{m}^3}$.
$\blacktriangleright$ Keplersche Fassformel
Die Keplersche Fassformel lautet:
$V=\dfrac{\pi}{15}\cdot h\cdot\left(8\cdot R^{2}+4\cdot R\cdot r+3\cdot r^{2}\right)$.
Du sollst damit das Volumen des Fasses berechnen:
$\begin{array}{rcll} V&=&\frac{\pi}{15} \cdot 0,8 \cdot \left( 8\cdot 0,35^2 + 4\cdot 0,35 \cdot 0,27 + 3\cdot 0,27^2 \right)&\\ &=&\frac{\pi}{15} \cdot 0,8 \cdot 1,5767&\\ &=&0,264& \end{array}$
Das Volumen des Fasses beträgt $\boldsymbol{0,264\;\textbf{m}^3}$.
Die Berechnungen liefern die gleichen Volumina.
b) $\blacktriangleright$ Funktionenschar für Mantellinie
Begründe, dass die Mantellinie für $-0,4\leq x\leq0$ beschrieben wird durch die Funktionsgraphen der Schar $g_k$ mit $g_{k}(x)=-2,5\cdot x^{3}-1,5\cdot x^{2}-k\cdot x+0,35$, $k\in\mathbb{R}$, $x\in\mathbb{R}$. Die Mantellinie ist symmetrisch zur $y$–Achse, also muss $f_k(-x) = g_k(x)$ gelten, damit diese Funktionen die Mantellinie beschreiben.
$\begin{array}{rcll} f_k(-x)&=&2,5\cdot (-x)^3 - 1,5 \cdot (-x)^2 + k\cdot x +0,35&\\ &=&- 2,5\cdot x^3 - 1,5 \cdot x^2 + k\cdot x +0,35&\\ &=&g_k(x)& \end{array}$
Die Bedingung ist erfüllt, also wird die Mantellinie für $\boldsymbol{-0,4\leq x\leq0}$ beschrieben durch die Funktionsgraphen der Schar $\boldsymbol{g_k}$.
$\blacktriangleright$ Übergang der beiden Funktionen
Damit der Übergang an der Stelle $x=0$ jeweils sprung–, knick– und krümmungsruckfrei ist, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • $f_k(0) = g_k(0)$
  • $f_k'(0) = g_k'(0)$
  • $f_k''(0) = g_k''(0)$
Die Ableitungen sind gegeben durch:
$\begin{array}{rcll} f_k'(x)&=&7,5\cdot x^2 - 3\cdot x +k&\\ f_k''(x)&=&15\cdot x - 3&\\ g_k'(x)&=&-7,5\cdot x^2 - 3\cdot x -k&\\ g_k''(x)&=&-15\cdot x - 3& \end{array}$
Überprüfe die Bedingungen:
  • $f_k(0) = 0,35 = g_k(0)$
  • $f_k'(0) = k$ und $g_k'(0) = -k$
  • Also muss gelten: $k = -k \Rightarrow k=0$
  • $f_k''(0) = -3 = g_k''(0)$
Die Bedingungen sind alle für $k=0$ erfüllt.
Für $\boldsymbol{k=0}$ ist der Übergang sprung–, knick– und krümmungsruckfrei.
c) $\blacktriangleright$ Bestimme die Gleichung der Tangenten $\boldsymbol{t_k}$
Die Ableitung der Funktionenschar hast du im Aufgabenteil b) berechnet:
$f_k'(x)=7,5\cdot x^2 - 3\cdot x +k$
Du kannst dann die Steigung der Tangente berechnen:
$f_k'(0)=7,5\cdot 0^2 - 3\cdot 0 +k = k$
Der $y$–Achsenabschnitt ist gegeben durch $f_k(0)=0,35$. Die Gleichung der Tangente ist dann gegeben durch:
$\boldsymbol{t_k = k\cdot x + 0,35}$
$\blacktriangleright$ Funktion mit positivem Parameter $\boldsymbol{k}$
Der Parameter $k$ entspricht der Steigung der Tangente an der Stelle $x=0$. Die Funktion mit positivem Parameter $k$ ist also die Funktion, deren Graph eine positive Steigung an der Stelle $x=0$ hat. Das ist Graph I.
d) $\blacktriangleright$ Kleinster Abstand zwischen $\boldsymbol{B_k}$ und $\boldsymbol{S_k}$
Die Graphen der Funktionenschar $f_k$ haben mit den jeweils zugehörigen Tangenten $t_k$ die Punkte $B_{k}\left(0\mid f_{k}(0)\right)$ und $S_{k}\left(0,6\mid f_{k}(0,6)\right)$ gemeinsam. Du sollst $k$ so bestimmen, dass die Punkte $B_k$ und $S_k$ den kleinsten Abstand voneinander haben. Berechne zuerst die $y$–Koordinaten der Punkte:
$B_{k}\left(0\mid f_{k}(0)\right) = B_{k}\left(0\mid 0,35\right)$ und $S_{k}\left(0,6\mid f_{k}(0,6)\right) = S_{k}\left(0,6\mid 0,6\cdot k + 0,35\right)$
Die kürzeste Entfernung haben die beiden Punkte, wenn sie durch eine waagrechte Tangente verbunden sind. Das ist der Fall, wenn die $y$–Koordinaten der Punkte übereinstimmen:
$\begin{array}{rcll} 0,35&=&0,6 \cdot k + 0,35&\scriptsize{\mid\; -0,35}\\ 0&=&0,6\cdot k&\\ k&=&0& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 0,35&=&0,6 \cdot k + 0,35&\\ 0&=&0,6\cdot k&\\ k&=&0& \end{array}$
Alternativ
Du kannst den Parameter mit dem kleinsten Abstand auch durch Minimieren der folgenden Formel bestimmen:
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_S - x_B)^2 + (y_S - y_B)^2}}$
Durch Einsetzen der Koordinaten erhältst du:
$d = \sqrt{0,6^2 + (0,6\cdot k)^2}$
Minimiere diese Funktion mithilfe deines Taschenrechners.
F5: G–Solv $\rightarrow$ F3: MIN
Für $\boldsymbol{k=0}$ ist der Abstand zwischen $\boldsymbol{B_k}$ und $\boldsymbol{S_k}$ am kleinsten.
$\blacktriangleright$ Abhängigkeit des Flächeninhalts vom Parameter $\boldsymbol{k}$ untersuchen
Untersuche, ob der Inhalt der Fläche, die von jedem Graphen und der zugehörigen Tangente $t_k$ eingeschlossen wird, vom Parameter $k$ abhängig ist. Die Schnittstellen der Tangenten und der Graphen der Funktionenschar sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 0,6$. Du hast also folgendes Integral:
$\displaystyle\int_{0}^{0,6} t_k - f_k(x) \mathrm dx = \displaystyle\int_{0}^{0,6} k x +0,35 - (2,5 x^3 - 1,5 x^2 + k x +0,35) \mathrm dx = \displaystyle\int_{0}^{0,6} - 2,5 x^3 +1,5 x^2 \mathrm dx$
Sowohl die Integralgrenzen, als auch der Integrand sind von $k$ unabhängig, somit ist auch der Inhalt der Fläche unabhängig vom Parameter $k$.
Alternativ
Du kannst das auch feststellen, indem du das Integral berechnest.
$\begin{array}{rcll} \displaystyle\int_{0}^{0,6} t_k - f_k(x) \mathrm dx&=&\displaystyle\int_{0}^{0,6} - 2,5\cdot x^3 +1,5\cdot x^2 \mathrm dx&\\ &=&\left[-\frac{5}{8}x^4 + 0,5 \cdot x^3\right]_0^{0,6}&\\ &=&0,027& \end{array}$
Das Ergebnis enthält kein $k$, der Inhalt der Fläche ist also unabhängig vom Parameter $k$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App