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Aufgabe 1A

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Gegeben ist die Funktion $f$ mit
$f(x)= -x^4+5\cdot x^3-6\cdot x^2+x+4,$ $x\in \mathbb{R}.$
$ f(x)= … $
Im Folgenden wird ein Übertragungsvorgang einer Datenmenge aus dem Internet betrachtet. In den ersten drei Sekunden wird die Übertragungsrate modellhaft mithilfe der Funktion $f$ beschrieben.
Dabei ist $x$ die Zeit in Sekunden seit Beginn dr Übertragung und $f(x)$ die Übertragungsrate in Megabit pro Sekunde $\left(\frac{\text{Mbit}}{\text{s}}\right).$
Die Abbildung 1 des Materials zeigt den Graphen von $f$ für $0\leq x\leq 3.$
a)
Markiere in der Abbildung 1 auf der Zeitachse die Zeitpunkte, zu denen die Übertragungsrate nach der Modellfunktion $f$ etwa $3,5\,\frac{\text{Mbit}}{\text{s}}$ beträgt.
Bestimme den Zeitpunkt mit der größten Übertragungsrate.
Begründe, dass zum Zeitpunkt $2\,\text{s}$ die Zunahme der Übertragungsrate am größten ist.
(12 BE)
b)
Berechne die Datenmenge $D,$ die insgesamt im betrachteten Zeitraum übertragen wird.
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem eine Datenmenge von $10\,\text{Mbit}$ übertragen wurde.
$F$ bezeichne eine Stammfunktion zur Funktion $f.$
Erläutere die Bedeutung der Lösungen folgender Gleichung im Sachzusammenhang:
$\dfrac{F(3)-F(0)}{3-0} = f(x).$
(11 BE)
#stammfunktion
c)
Unabhängig vom Sachzusammenhang wird die Funktion $f$ nun für alle $x\in \mathbb{R}$ betrachtet.
Der Graph von $f$ hat die Wendepunkte $W_1(0,5\mid f(0,5))$ und $W_2(2\mid f(2)).$
Die Gerade $g$ durch die Wendepunkte schließt mit dem Graphen von $f$ drei Flächen ein.
Abbildung 2 der Anlage veranschaulicht die Situation.
Vergleiche die Inhalte der beiden äußeren Flächen.
Betrachtet wird nun der Graph zu $k\cdot f(x),$ $k> 0,$ und die Gerade durch die Wendepunkte des Graphen zu $k\cdot f(x).$ Beide schließen wiederum drei Flächen ein.
Untersuche den Einfluss des Faktors $k$ auf das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden äußeren Flächen.
(13 BE)
d)
Betrachtet wird nun die Funktionenschar $s_c$ mit $s_c(x) = -x^4+c\cdot x^2,$ $x\in \mathbb{R},$ $c> 0.$
Zeige, dass jeder Graph der Schar $s_c$ die Wendestelle $x= \sqrt{\frac{c}{6}}$ hat.
Die Wendepunkte der Graphen von $s_c$ liegen auf dem Graphen der Funktion $w$ mit $w(x)= 5\cdot x^4,$ $x\in \mathbb{R}.$
Die Abbildung 3 der Anlage zeigt einen Ausschnitt aus dem Graphen der Ableitungsfunktion $w'$ sowie aus dem Grpahen der Ableitungsfunktion $s_c'$ für einen beliebigen Wert von $c.$
Begründe mithilfe von Abbildung 3 die Gültigkeit folgender Aussage:
Jeder Graph der Schar $s_c$ hat mit dem Graphen von $w$ drei gemeinsame Punkte und nur für einen dieser Punkte gilt, dass die Tangenten an den Graphen von $s_c$ und an den Graphen von $w$ identisch sind.
(10 BE)
#funktionenschar#tangente#wendepunkt
Material
Graph zu den Teilaufgaben a) und b)
Übertragungsrate
Abb. 1: Graph von $f$ für $0\leq x\leq 3$
Übertragungsrate
Abb. 1: Graph von $f$ für $0\leq x\leq 3$
Graphen zu Teilaufgabe c)
Gerade
Abb. 2: Graph von $f$ und Gerade $g$ durch die Wendepunkte
Gerade
Abb. 2: Graph von $f$ und Gerade $g$ durch die Wendepunkte
Graphen zu Teilaufgabe d)
Ableitungen
Abb. 3: Ausschnitte aus dem Graphen von $w'$ und aus dem Graphen von $s_c'$ für einen beliebigen Wert von $c.$
Ableitungen
Abb. 3: Ausschnitte aus dem Graphen von $w'$ und aus dem Graphen von $s_c'$ für einen beliebigen Wert von $c.$
Bildnachweise [nach oben]
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