Aufgabe 1A

Gegeben ist die Funktion $f$ mit

$f(x)= ...$

Im Folgenden wird ein Übertragungsvorgang einer Datenmenge aus dem Internet betrachtet. In den ersten drei Sekunden wird die Übertragungsrate modellhaft mithilfe der Funktion $f$ beschrieben.
Dabei ist $x$ die Zeit in Sekunden seit Beginn dr Übertragung und $f(x)$ die Übertragungsrate in Megabit pro Sekunde $\left(\frac{\text{Mbit}}{\text{s}}\right).$
Die Abbildung 1 des Materials zeigt den Graphen von $f$ für $0\leq x\leq 3.$

Markiere in der Abbildung 1 auf der Zeitachse die Zeitpunkte, zu denen die Übertragungsrate nach der Modellfunktion $f$ etwa $3,5\,\frac{\text{Mbit}}{\text{s}}$ beträgt.
Bestimme den Zeitpunkt mit der größten Übertragungsrate.
Begründe, dass zum Zeitpunkt $2\,\text{s}$ die Zunahme der Übertragungsrate am größten ist.

(12 BE)

Berechne die Datenmenge $D,$ die insgesamt im betrachteten Zeitraum übertragen wird.
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem eine Datenmenge von $10\,\text{Mbit}$ übertragen wurde.
$F$ bezeichne eine Stammfunktion zur Funktion $f.$
Erläutere die Bedeutung der Lösungen folgender Gleichung im Sachzusammenhang:

$\dfrac{F(3)-F(0)}{3-0} = f(x).$

(11 BE)

Unabhängig vom Sachzusammenhang wird die Funktion $f$ nun für alle $x\in \mathbb{R}$ betrachtet.
Der Graph von $f$ hat die Wendepunkte $W_1(0,5\mid f(0,5))$ und $W_2(2\mid f(2)).$
Die Gerade $g$ durch die Wendepunkte schließt mit dem Graphen von $f$ drei Flächen ein.
Abbildung 2 der Anlage veranschaulicht die Situation.
Vergleiche die Inhalte der beiden äußeren Flächen.
Betrachtet wird nun der Graph zu $k\cdot f(x),$ $k\gt 0,$ und die Gerade durch die Wendepunkte des Graphen zu $k\cdot f(x).$ Beide schließen wiederum drei Flächen ein.
Untersuche den Einfluss des Faktors $k$ auf das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden äußeren Flächen.

(13 BE)

Betrachtet wird nun die Funktionenschar $s_c$ mit $s_c(x) = -x^4+c\cdot x^2,$ $x\in \mathbb{R},$ $c\gt 0.$
Zeige, dass jeder Graph der Schar $s_c$ die Wendestelle $x= \sqrt{\frac{c}{6}}$ hat.
Die Wendepunkte der Graphen von $s_c$ liegen auf dem Graphen der Funktion $w$ mit $w(x)= 5\cdot x^4,$ $x\in \mathbb{R}.$
Die Abbildung 3 der Anlage zeigt einen Ausschnitt aus dem Graphen der Ableitungsfunktion $w‘$ sowie aus dem Grpahen der Ableitungsfunktion $s_c‘$ für einen beliebigen Wert von $c.$
Begründe mithilfe von Abbildung 3 die Gültigkeit folgender Aussage:

Jeder Graph der Schar $s_c$ hat mit dem Graphen von $w$ drei gemeinsame Punkte und nur für einen dieser Punkte gilt, dass die Tangenten an den Graphen von $s_c$ und an den Graphen von $w$ identisch sind.

(10 BE)

Material

Graph zu den Teilaufgaben a) und b)

Abb. 1: Graph von $f$ für $0\leq x\leq 3$

Graphen zu Teilaufgabe c)

Abb. 2: Graph von $f$ und Gerade $g$ durch die Wendepunkte

Graphen zu Teilaufgabe d)

Abb. 3: Ausschnitte aus dem Graphen von $w‘$ und aus dem Graphen von $s_c‘$ für einen beliebigen Wert von $c.$

Bildnachweise [nach oben]

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$\blacktriangleright$ Zeitpunkte markieren

Abb. 1: Markierungen

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt mit der größten Übertragungsrate bestimmen

Mit deinem GTR kannst du die Hochpunkte des Graphen von $f$ im betrachteten Bereich $0\leq x\leq 3$ bestimmen, indem du dir zunächst den Graphen von $f$ im Graphik-Menü anzeigen lässt.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

Du erhältst: $H_1(0,09\mid 4,05)$ und $H_2(2,66\mid 8,25)$

Überprüfe noch die Intervallränder auf Randextrema:

$f(0)=4$ und $f(3)=7$

Der Zeitpunkt mit der größten Übertragungsrate ist also $2,66\,\text{s}.$

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt mit der größten Zunahme der Übertragungsrate begründen

Die Zunahme ist zu dem Zeitpunkt am größten, zu dem die erste Ableitungsfunktion von $f$ ihr Maximum annimmt. Es ist:

$f‘(x)= -4x^3+15x^2-12x+1$

Bestimme wie oben die Hochpunkte des Graphen von $f‘$ mit deinem GTR:

$H(2,00\mid 5,00)$

Für die Intervallränder gilt hier:

$f‘(0)=1$ und $f‘(3)= -8 \lt 0$

Zu Beginn beträgt die Zunahme der Datenübertragungsrate also nur $1,$ am Ende des Zeitraums nimmt die Datenübertragungsmenge ab. Der Zeitpunkt mit der größten Zunahme der Datenübertragungsmenge ist also zum Zeitpunkt $2\,\text{s}.$

$\blacktriangleright$ Datenmenge berechnen

Die übertragene Datenmenge kann mit einem Integral über $f$ bestimmt werden. Verwende dazu deinen GTR, indem du dir wieder den Graphen von $f$ anzeigen lässt.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

$\displaystyle\int_{0}^{3}f(x)\;\mathrm dx\approx 15,15$

Im gesamten Zeitraum wird eine Datenmenge von ca. $15,15\,\text{Mbit}$ übertragen.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen

Die Datenmenge, die bis zum Zeitpunkt $z$ übertragen wurde, kann ebenfalls durch ein Integral dargestellt werden. Mithilfe der Integrationsregeln ergibt sich folgende Gleichung:

$-\frac{1}{5}z^5+... = 10$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von $h$ mit der Gerade zu $y = 10.$

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Bestimme den $x$ -Wert zum $y$ -Wert $-27,0$ mit dem X-CAL-Befehl.

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Als einzige Lösung, die im betrachteten Bereich liegt erhältst du $z\approx 2,4.$ Nach ca. $2,4\,\text{s}$ werden $10\,\text{Mbit}$ übertragen.

$\blacktriangleright$ Lösung im Sachsusammenhang erläutern

Mit dem Term $F(3)-F(0)$ wird die insgesamt in den ersten drei Sekunden übertragene Datenmenge berechnet. Der Bruch $\dfrac{F(3)-F(0)}{3-0}$ entspricht also der mittleren Übertragungsrate im gesamten betrachteten Zeitraum.
Die Lösungen der Gleichung entsprechen also den Zeitpunkten, zu denen die momentane Übertragungsrate mit der mittleren Übertragungsrate übereinstimmt.

$\blacktriangleright$ Inhalte der äußeren Flächen vergleichen

1. Schritt: Geradengleichung aufstellen

$\begin{array}[t]{rll} f(0,5)&=& 3,5625 \\[10pt] f(2)&=& 6 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für die Steigung der Geraden $g$ mit $g(x)=m\cdot x +b$ ergibt sich dann:

$m = 1,625$

Vollständige Lösung anzeigen

Mithilfe einer Punktprobe ergibt sich jetzt $b:$

$b = 2,75$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Gerade durch die beiden Wendepunkte $W_1$ und $W_2$ kann also durch folgende Gleichung beschrieben werden:

$g(x)= 1,625 \cdot x + 2,75$

2. Schritt: Flächengrößen berechnen

Die Flächeninhalte können wie oben mithilfe eines Integrals berechnet werden. Bestimme dazu zunächst die Schnittstellen der Geraden $g$ mit dem Graphen der Funktion $f.$ Dies sind die Integrationsgrenzen. Lass dir dazu beide Graphen in deinem GTR anzeigen und verwende den intersect-Befehl.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F5: INTSECT

Du erhältst dann folgende Schnittstellen:

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& g(x) &\quad \scriptsize \mid\; GTR\\[5pt] x_1&\approx& -0,43 \\[5pt] x_2&=& 0,5 \\[5pt] x_3&=& 2 \\[5pt] x_4&\approx& 2,93 \end{array}$

Wie oben kannst du die entsprechenden Integrale mit deinem GTR bestimmen, indem du dir den Graphen der Differenzenfunktion $d(x)= f(x)-g(x)$ anzeigen lässt.

$\begin{array}[t]{rll} A_l&\approx& 0,76 \\[5pt] A_r&\approx& 0,76 \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Beide Flächeninhalte sind also in etwa gleich groß.

$\blacktriangleright$ Einfluss des Faktors untersuchen

Durch den Parameter $k\gt 0$ wird der Graph von $f$ entlang der $y$ -Achse gestreckt. Alle Funktionswerte von $f$ werden mit $k$ multipliziert.
Die Wendestellen verändern sich dadurch nicht. Lediglich die Funktionswerte an den Wendestellen werden mit dem Faktor $k$ multipliziert.
Für die Gerade durch die Wendepunkte von $f_k$ gilt daher ebenfalls $g_k(x)= k\cdot g(x).$ Für die Schnittstellen von $f_k$ und $g_k$ gilt daher:

$\begin{array}[t]{rll} f_k(x)&=& g_k(x) \\[5pt] k\cdot f(x)&=& k\cdot g(x) &\quad \scriptsize \mid\;:k\gt 0 \\[5pt] f(x)&=& g(x) \end{array}$

Die Schnittstellen der Geraden $g_k$ mit dem Graphen von $f_k$ sind also mit denen von $g$ und $f$ identisch.

Die Integrationsgrenzen sind also identisch.

$A_{l_k} = k\cdot A_l$

Vollständige Lösung anzeigen

Eine analoge Rechnung lässt sich auch für $A_r$ durchführen, sodass gilt $A_{r_k} = k\cdot A_r.$ Es ist also weiterhin $A_{l_k} = k\cdot A_l \approx k\cdot A_r = A_{r_k}.$

Das Verhältnis der Flächeninhalte bleibt bei der Streckung mit dem Faktor $k$ erhalten.

$\blacktriangleright$ Wendestelle nachweisen

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} s_c(x) &=& -x^4+c\cdot x^2 \\[5pt] s_c‘(x) &=& -4x^3 +2c\cdot x \\[5pt] s_c‘‘(x) &=& -12x^2 +2c \\[5pt] s_c‘‘‘(x) &=& -24x \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium überprüfen

$s_c‘‘\left(\sqrt{\frac{c}{6}}\right) = 0$

Vollständige Lösung anzeigen

Das notwendige Kriterium für Extremstellen ist also für alle $c\gt 0$ an der Stelle $x= \sqrt{\frac{c}{6}}$ erfüllt.

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$s_c‘‘‘\left(\sqrt{\frac{c}{6}}\right) = -24\cdot \sqrt{\frac{c}{6}} \lt 0$ für $c\gt 0$

Das hinreichende Kriterium für Wendestellen ist also ebenfalls erfüllt. Bei $x= \sqrt{\frac{c}{6}}$ handelt es sich für jedes $c\gt 0$ um eine Wendestelle.

$\blacktriangleright$ Aussage begründen

Der Funktionsterm von $s_c$ enthält die Funktionsvariable $x$ nur in geraden Exponenten. Der Graph von $s_c$ ist also für jedes $c\gt 0$ symmetrisch zur $y$ -Achse.
Der Graph von $s_c$ besitzt also mindestens einen zweiten Wendepunkt an der Stelle $x = -\sqrt{\frac{c}{6}}.$ Einen dritten Wendepunkt kann es nicht geben, da eine ganzrationale Funktion vierten Grades maximal zwei Wendestellen besitzen kann.
Für jeden Wert von $c$ hat der Graph von $s_c$ also zwei Wendepunkte, die laut Aufgabenstellung auf dem Graphen von $w$ liegen. Dies sind bereits zwei gemeinsame Punkte.
Zudem gilt $s_c(0)=0$ und $w(0)=0.$ Der Graph jeder Funktion aus $s_c$ hat also mit dem Graphen von $w$ drei gemeinsame Punkte.

Damit die Tangenten der beiden Graphen in einem Punkt $P(x_P\mid y_P)$ übereinstimmen, muss dort sowohl die Steigung als auch der Funktionswert übereinstimmen. Es muss also sowohl $s_c(x_P)= w(x_P)$ und $s_c‘(x_P) = w_p‘(x_P)$ gelten.
In Abbildung 3 lassen sich zwei gemeinsame Punkte des Graphen von $w‘$ und $s_c‘$ erkennen, einer davon ist $(0\mid0),$ der zweite befindet sich im ersten Quadranten.
Im Punkt $(0\mid0)$ stimmen also die Steigungen aller Graphen $s_c$ überein. Außerdem wurde oben schon genannt, dass der Punkt $(0\mid 0)$ auf jedem der Graphen $s_c$ und auf dem Graphen von $w$ liegt.
Im Punkt $(0\mid 0)$ stimmen also sowohl Funktionswerte als auch Steigungswerte von $s_c$ und $w$ für jeden Wert von $c$ überein.

In diesem Punkt besitzen der Graph von $w$ und $s_c$ also für jeden Wert von $c$ eine identische Tangente.

Der zweite Schnittpunkt $P$ des Graphen von $s_c‘$ und $w‘$ im ersten Quadranten ist ein weiterer Punkt, in dem die Steigungen von $s_c$ und $w$ übereinstimmen, in dem die Graphen von $s_c$ und $w$ also parallele Tangenten aufweisen. Damit die Tangenten aber auch identisch sind, müssen die Funktionswerte an diesen Stellen auch übereinstimmen.
Da die Graphen von $w$ und $s_c$ aber nur die Wendepunkte von $s_c$ und den Koordinatenursprung gemeinsam haben, müsste dieser Schnittpunkt $P$ ein Wendepunkt des Graphen von $s_c$ sein. Dann müsste er allerdings ein Extrempunkt des Graphen von $s_c‘$ sein. In der Abbildung ist aber zu sehen, dass dies nicht der Fall ist.
$P$ ist also kein Extrempunkt von $s_c‘$ und damit kein Wendepunkt von $s_c$ und damit besitzen die Graphen von $w$ und $s_c$ an dieser Stelle keinen gemeinsamen Punkt.
Insgesamt folgt daher, dass es genau einen Punkt gibt, an dem die Tangenten an den Graphen von $s_c$ und von $w$ identisch sind.

Bildnachweise [nach oben]

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