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Aufgabe 1A

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit
$f(x)= -x^4+5\cdot x^3-6\cdot x^2+x+4,$ $x\in \mathbb{R}.$
$ f(x)= … $
Im Folgenden wird ein Übertragungsvorgang einer Datenmenge aus dem Internet betrachtet. In den ersten drei Sekunden wird die Übertragungsrate modellhaft mithilfe der Funktion $f$ beschrieben.
Dabei ist $x$ die Zeit in Sekunden seit Beginn dr Übertragung und $f(x)$ die Übertragungsrate in Megabit pro Sekunde $\left(\frac{\text{Mbit}}{\text{s}}\right).$
Die Abbildung 1 des Materials zeigt den Graphen von $f$ für $0\leq x\leq 3.$
a)
Markiere in der Abbildung 1 auf der Zeitachse die Zeitpunkte, zu denen die Übertragungsrate nach der Modellfunktion $f$ etwa $3,5\,\frac{\text{Mbit}}{\text{s}}$ beträgt.
Bestimme den Zeitpunkt mit der größten Übertragungsrate.
Begründe, dass zum Zeitpunkt $2\,\text{s}$ die Zunahme der Übertragungsrate am größten ist.
(12 BE)
b)
Berechne die Datenmenge $D,$ die insgesamt im betrachteten Zeitraum übertragen wird.
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem eine Datenmenge von $10\,\text{Mbit}$ übertragen wurde.
$F$ bezeichne eine Stammfunktion zur Funktion $f.$
Erläutere die Bedeutung der Lösungen folgender Gleichung im Sachzusammenhang:
$\dfrac{F(3)-F(0)}{3-0} = f(x).$
(11 BE)
#stammfunktion
c)
Unabhängig vom Sachzusammenhang wird die Funktion $f$ nun für alle $x\in \mathbb{R}$ betrachtet.
Der Graph von $f$ hat die Wendepunkte $W_1(0,5\mid f(0,5))$ und $W_2(2\mid f(2)).$
Die Gerade $g$ durch die Wendepunkte schließt mit dem Graphen von $f$ drei Flächen ein.
Abbildung 2 der Anlage veranschaulicht die Situation.
Vergleiche die Inhalte der beiden äußeren Flächen.
Betrachtet wird nun der Graph zu $k\cdot f(x),$ $k> 0,$ und die Gerade durch die Wendepunkte des Graphen zu $k\cdot f(x).$ Beide schließen wiederum drei Flächen ein.
Untersuche den Einfluss des Faktors $k$ auf das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden äußeren Flächen.
(13 BE)
d)
Betrachtet wird nun die Funktionenschar $s_c$ mit $s_c(x) = -x^4+c\cdot x^2,$ $x\in \mathbb{R},$ $c> 0.$
Zeige, dass jeder Graph der Schar $s_c$ die Wendestelle $x= \sqrt{\frac{c}{6}}$ hat.
Die Wendepunkte der Graphen von $s_c$ liegen auf dem Graphen der Funktion $w$ mit $w(x)= 5\cdot x^4,$ $x\in \mathbb{R}.$
Die Abbildung 3 der Anlage zeigt einen Ausschnitt aus dem Graphen der Ableitungsfunktion $w'$ sowie aus dem Grpahen der Ableitungsfunktion $s_c'$ für einen beliebigen Wert von $c.$
Begründe mithilfe von Abbildung 3 die Gültigkeit folgender Aussage:
Jeder Graph der Schar $s_c$ hat mit dem Graphen von $w$ drei gemeinsame Punkte und nur für einen dieser Punkte gilt, dass die Tangenten an den Graphen von $s_c$ und an den Graphen von $w$ identisch sind.
(10 BE)
#funktionenschar#tangente#wendepunkt
Material
Graph zu den Teilaufgaben a) und b)
Übertragungsrate
Abb. 1: Graph von $f$ für $0\leq x\leq 3$
Übertragungsrate
Abb. 1: Graph von $f$ für $0\leq x\leq 3$
Graphen zu Teilaufgabe c)
Gerade
Abb. 2: Graph von $f$ und Gerade $g$ durch die Wendepunkte
Gerade
Abb. 2: Graph von $f$ und Gerade $g$ durch die Wendepunkte
Graphen zu Teilaufgabe d)
Ableitungen
Abb. 3: Ausschnitte aus dem Graphen von $w'$ und aus dem Graphen von $s_c'$ für einen beliebigen Wert von $c.$
Ableitungen
Abb. 3: Ausschnitte aus dem Graphen von $w'$ und aus dem Graphen von $s_c'$ für einen beliebigen Wert von $c.$
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkte markieren
Markierungen
Abb. 1: Markierungen
Markierungen
Abb. 1: Markierungen
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit der größten Übertragungsrate bestimmen
Mit deinem GTR kannst du die Hochpunkte des Graphen von $f$ im betrachteten Bereich $0\leq x\leq 3$ bestimmen, indem du dir zunächst den Graphen von $f$ im Graphik-Menü anzeigen lässt.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
Du erhältst: $H_1(0,09\mid 4,05)$ und $H_2(2,66\mid 8,25)$
Überprüfe noch die Intervallränder auf Randextrema:
$f(0)=4$ und $f(3)=7$
Der Zeitpunkt mit der größten Übertragungsrate ist also $2,66\,\text{s}.$
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit der größten Zunahme der Übertragungsrate begründen
Die Zunahme ist zu dem Zeitpunkt am größten, zu dem die erste Ableitungsfunktion von $f$ ihr Maximum annimmt. Es ist:
$f'(x)= -4x^3+15x^2-12x+1$
$f'(x)= -4x^3+15x^2-12x+1$
Bestimme wie oben die Hochpunkte des Graphen von $f'$ mit deinem GTR:
$H(2,00\mid 5,00)$
Für die Intervallränder gilt hier:
$f'(0)=1$ und $f'(3)= -8 <0$
Zu Beginn beträgt die Zunahme der Datenübertragungsrate also nur $1,$ am Ende des Zeitraums nimmt die Datenübertragungsmenge ab. Der Zeitpunkt mit der größten Zunahme der Datenübertragungsmenge ist also zum Zeitpunkt $2\,\text{s}.$
b)
$\blacktriangleright$  Datenmenge berechnen
Die übertragene Datenmenge kann mit einem Integral über $f$ bestimmt werden. Verwende dazu deinen GTR, indem du dir wieder den Graphen von $f$ anzeigen lässt.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
$\displaystyle\int_{0}^{3}f(x)\;\mathrm dx\approx 15,15$
Im gesamten Zeitraum wird eine Datenmenge von ca. $15,15\,\text{Mbit}$ übertragen.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt bestimmen
Die Datenmenge, die bis zum Zeitpunkt $z$ übertragen wurde, kann ebenfalls durch ein Integral dargestellt werden. Mithilfe der Integrationsregeln ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{z}f(x)\;\mathrm dx&=& 10 \\[5pt] \displaystyle\int_{0}^{z}\left(-x^4+5\cdot x^3-6\cdot x^2+x+4 \right)\;\mathrm dx&=& 10 \\[5pt] \left[-\frac{1}{5}x^5+\frac{5}{4}x^4-2x^3+\frac{1}{2}x^2+4x \right]_0^z&=& 10\\[5pt] \underbrace{-\frac{1}{5}z^5+\frac{5}{4}z^4-2z^3+\frac{1}{2}z^2+4z}_{:=h} - 0&=& 10 \end{array}$
$ -\frac{1}{5}z^5+… = 10 $
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
Bestimme den $x$-Wert zum $y$-Wert $-27,0$ mit dem X-CAL-Befehl.
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
Als einzige Lösung, die im betrachteten Bereich liegt erhältst du $z\approx 2,4.$ Nach ca. $2,4\,\text{s}$ werden $10\,\text{Mbit}$ übertragen.
$\blacktriangleright$  Lösung im Sachsusammenhang erläutern
Mit dem Term $F(3)-F(0)$ wird die insgesamt in den ersten drei Sekunden übertragene Datenmenge berechnet. Der Bruch $\dfrac{F(3)-F(0)}{3-0}$ entspricht also der mittleren Übertragungsrate im gesamten betrachteten Zeitraum.
Die Lösungen der Gleichung entsprechen also den Zeitpunkten, zu denen die momentane Übertragungsrate mit der mittleren Übertragungsrate übereinstimmt.
#integral
c)
$\blacktriangleright$  Inhalte der äußeren Flächen vergleichen
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
$\begin{array}[t]{rll} f(0,5)&=& -0,5^4+5\cdot 0,5^3-6\cdot 0,5^2+0,5+4 \\[5pt] &=& 3,5625 \\[10pt] f(2)&=& -2^4+5\cdot 2^3-6\cdot 2^2+2+4 \\[5pt] &=& 6 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(0,5)&=& 3,5625 \\[10pt] f(2)&=& 6 \end{array}$
Für die Steigung der Geraden $g$ mit $g(x)=m\cdot x +b$ ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} m &=& \dfrac{f(2)-f(0,5)}{2-0,5} \\[5pt] &=& \dfrac{ 6 - 3,5625}{2-0,5} \\[5pt] &=& 1,625 \end{array}$
$ m = 1,625 $
Mithilfe einer Punktprobe ergibt sich jetzt $b:$
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& m\cdot x + b &\quad \scriptsize \mid\;m =1,625 \\[5pt] g(x) &=& 1,625 \cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; W_2(2\mid 6) \\[5pt] 6 &=& 1,625 \cdot 2 + b \\[5pt] 6 &=& 3,25 +b &\quad \scriptsize \mid\; -3,25 \\[5pt] 2,75 &=& b \end{array}$
$ b = 2,75 $
Die Gerade durch die beiden Wendepunkte $W_1$ und $W_2$ kann also durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$g(x)= 1,625 \cdot x + 2,75$
2. Schritt: Flächengrößen berechnen
Die Flächeninhalte können wie oben mithilfe eines Integrals berechnet werden. Bestimme dazu zunächst die Schnittstellen der Geraden $g$ mit dem Graphen der Funktion $f.$ Dies sind die Integrationsgrenzen. Lass dir dazu beide Graphen in deinem GTR anzeigen und verwende den intersect-Befehl.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F5: INTSECT
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F5: INTSECT
Du erhältst dann folgende Schnittstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& g(x) &\quad \scriptsize \mid\; GTR\\[5pt] x_1&\approx& -0,43 \\[5pt] x_2&=& 0,5 \\[5pt] x_3&=& 2 \\[5pt] x_4&\approx& 2,93 \end{array}$
Wie oben kannst du die entsprechenden Integrale mit deinem GTR bestimmen, indem du dir den Graphen der Differenzenfunktion $d(x)= f(x)-g(x)$ anzeigen lässt.
$\begin{array}[t]{rll} A_l&=& \displaystyle\int_{-0,43}^{0,5}\left(f(x)-g(x)\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-0,43}^{0,5}\left( -x^4+5\cdot x^3-6\cdot x^2+x+4-1,625\cdot x -2,75\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-0,43}^{0,5}\left( -x^4+5\cdot x^3-6\cdot x^2-0,625x+1,25\right)\;\mathrm dx&\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &\approx& 0,76 \\[5pt] A_r&=& \displaystyle\int_{2}^{2,93}\left(f(x)-g(x)\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{2}^{2,93}\left( -x^4+5\cdot x^3-6\cdot x^2-0,625x+1,25\right)\;\mathrm dx&\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &\approx& 0,76 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_l&\approx& 0,76 \\[5pt] A_r&\approx& 0,76 \\[5pt] \end{array}$
Beide Flächeninhalte sind also in etwa gleich groß.
$\blacktriangleright$  Einfluss des Faktors untersuchen
Durch den Parameter $k> 0$ wird der Graph von $f$ entlang der $y$-Achse gestreckt. Alle Funktionswerte von $f$ werden mit $k$ multipliziert.
Die Wendestellen verändern sich dadurch nicht. Lediglich die Funktionswerte an den Wendestellen werden mit dem Faktor $k$ multipliziert.
Für die Gerade durch die Wendepunkte von $f_k$ gilt daher ebenfalls $g_k(x)= k\cdot g(x).$ Für die Schnittstellen von $f_k$ und $g_k$ gilt daher:
$\begin{array}[t]{rll} f_k(x)&=& g_k(x) \\[5pt] k\cdot f(x)&=& k\cdot g(x) &\quad \scriptsize \mid\;:k>0 \\[5pt] f(x)&=& g(x) \end{array}$
Die Schnittstellen der Geraden $g_k$ mit dem Graphen von $f_k$ sind also mit denen von $g$ und $f$ identisch.
Die Integrationsgrenzen sind also identisch.
$\begin{array}[t]{rll} A_{l_k}&=& \displaystyle\int_{-0,43}^{0,5}\left(f_k(x)-g_k(x) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-0,43}^{0,5}\left(f_k(x)-g_k(x) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-0,43}^{0,5}\left(k\cdot f(x)-k\cdot g(x) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-0,43}^{0,5}k\cdot \left( f(x)- g(x) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& k\cdot \displaystyle\int_{-0,43}^{0,5} \left( f(x)- g(x) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& k\cdot A_l \end{array}$
$ A_{l_k} = k\cdot A_l $
Eine analoge Rechnung lässt sich auch für $A_r$ durchführen, sodass gilt $A_{r_k} = k\cdot A_r.$ Es ist also weiterhin $A_{l_k} = k\cdot A_l \approx k\cdot A_r = A_{r_k}.$
Das Verhältnis der Flächeninhalte bleibt bei der Streckung mit dem Faktor $k$ erhalten.
#integral
d)
$\blacktriangleright$  Wendestelle nachweisen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} s_c(x) &=& -x^4+c\cdot x^2 \\[5pt] s_c'(x) &=& -4x^3 +2c\cdot x \\[5pt] s_c''(x) &=& -12x^2 +2c \\[5pt] s_c'''(x) &=& -24x \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} s_c''\left(\sqrt{\frac{c}{6}}\right)&=& -12\cdot \left(\sqrt{\frac{c}{6}}\right)^2 +2c \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ s_c''\left(\sqrt{\frac{c}{6}}\right) = 0 $
Das notwendige Kriterium für Extremstellen ist also für alle $c> 0$ an der Stelle $x= \sqrt{\frac{c}{6}}$ erfüllt.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$s_c'''\left(\sqrt{\frac{c}{6}}\right) = -24\cdot \sqrt{\frac{c}{6}} < 0$ für $c>0$
Das hinreichende Kriterium für Wendestellen ist also ebenfalls erfüllt. Bei $x= \sqrt{\frac{c}{6}}$ handelt es sich für jedes $c> 0$ um eine Wendestelle.
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Der Funktionsterm von $s_c$ enthält die Funktionsvariable $x$ nur in geraden Exponenten. Der Graph von $s_c$ ist also für jedes $c>0$ symmetrisch zur $y$-Achse.
Der Graph von $s_c$ besitzt also mindestens einen zweiten Wendepunkt an der Stelle $x = -\sqrt{\frac{c}{6}}.$ Einen dritten Wendepunkt kann es nicht geben, da eine ganzrationale Funktion vierten Grades maximal zwei Wendestellen besitzen kann.
Für jeden Wert von $c$ hat der Graph von $s_c$ also zwei Wendepunkte, die laut Aufgabenstellung auf dem Graphen von $w$ liegen. Dies sind bereits zwei gemeinsame Punkte.
Zudem gilt $s_c(0)=0$ und $w(0)=0.$ Der Graph jeder Funktion aus $s_c$ hat also mit dem Graphen von $w$ drei gemeinsame Punkte.
Damit die Tangenten der beiden Graphen in einem Punkt $P(x_P\mid y_P)$ übereinstimmen, muss dort sowohl die Steigung als auch der Funktionswert übereinstimmen. Es muss also sowohl $s_c(x_P)= w(x_P) $ und $s_c'(x_P) = w_p'(x_P)$ gelten.
In Abbildung 3 lassen sich zwei gemeinsame Punkte des Graphen von $w'$ und $s_c'$ erkennen, einer davon ist $(0\mid0),$ der zweite befindet sich im ersten Quadranten.
Im Punkt $(0\mid0)$ stimmen also die Steigungen aller Graphen $s_c$ überein. Außerdem wurde oben schon genannt, dass der Punkt $(0\mid 0)$ auf jedem der Graphen $s_c$ und auf dem Graphen von $w$ liegt.
Im Punkt $(0\mid 0)$ stimmen also sowohl Funktionswerte als auch Steigungswerte von $s_c$ und $w$ für jeden Wert von $c$ überein.
In diesem Punkt besitzen der Graph von $w$ und $s_c$ also für jeden Wert von $c$ eine identische Tangente.
Der zweite Schnittpunkt $P$ des Graphen von $s_c'$ und $w'$ im ersten Quadranten ist ein weiterer Punkt, in dem die Steigungen von $s_c$ und $w$ übereinstimmen, in dem die Graphen von $s_c$ und $w$ also parallele Tangenten aufweisen. Damit die Tangenten aber auch identisch sind, müssen die Funktionswerte an diesen Stellen auch übereinstimmen.
Da die Graphen von $w$ und $s_c$ aber nur die Wendepunkte von $s_c$ und den Koordinatenursprung gemeinsam haben, müsste dieser Schnittpunkt $P$ ein Wendepunkt des Graphen von $s_c$ sein. Dann müsste er allerdings ein Extrempunkt des Graphen von $s_c'$ sein. In der Abbildung ist aber zu sehen, dass dies nicht der Fall ist.
$P$ ist also kein Extrempunkt von $s_c'$ und damit kein Wendepunkt von $s_c$ und damit besitzen die Graphen von $w$ und $s_c$ an dieser Stelle keinen gemeinsamen Punkt.
Insgesamt folgt daher, dass es genau einen Punkt gibt, an dem die Tangenten an den Graphen von $s_c$ und von $w$ identisch sind.
Bildnachweise [nach oben]
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