Aufgabe 1A
In einem Krankenhaus muss das Operationsbesteck sterilisiert werden. Es wird nach klassischer Definition als steril bezeichnet, wenn sich keine lebenden Erreger mehr darauf befinden. Die Sterilisation mit heißem Wasserdampf kann näherungsweise durch die Funktion 
mit 
modelliert werden. Hierbei bezeichnet 
die Anzahl der noch lebenden Erreger, 
die Anzahl der zu Beginn lebenden Erreger, 
die Zeit in Minuten 
nach Beginn des Sterilisationsprozesses und 
eine positive Konstante in 
modelliert werden. Dabei bezeichnet 
die Zeit in Stunden 
nach Beobachtungsbeginn und 
die Anzahl der Erreger in Millionen.
mit
betrachtet.
mit modelliert werden. Hierbei bezeichnet die Anzahl der noch lebenden Erreger, die Anzahl der zu Beginn lebenden Erreger, die Zeit in Minuten nach Beginn des Sterilisationsprozesses und eine positive Konstante in
a)
Auf einem Operationsbesteck befinden sich 
lebende Erreger, die durch eine Dampfsterilisation mit 
abgetötet werden sollen.
Bestimme die Anzahl der
Minuten nach dem Beginn der Dampfsterilisation noch lebenden Erreger.
Berechne auf Minuten genau den frühesten Zeitpunkt, zu dem sich auf dem Operationsbesteck weniger als
lebende Erreger befinden.
Beurteile die Eignung des Modells im Hinblick auf die klassische Definition von „steril“.
lebende Erreger, die durch eine Dampfsterilisation mit abgetötet werden sollen.
Bestimme die Anzahl der
Minuten nach dem Beginn der Dampfsterilisation noch lebenden Erreger.
Berechne auf Minuten genau den frühesten Zeitpunkt, zu dem sich auf dem Operationsbesteck weniger als
lebende Erreger befinden.
Beurteile die Eignung des Modells im Hinblick auf die klassische Definition von „steril“.
(9 BE)
b)
Beschreibe die Bedeutung der Gleichung 
im Sachzusammenhang.
Untersuche, wie sich eine Verdoppelung von
auf die Änderungsrate von 
auswirkt.
Als Maß für die Widerstandsfähigkeit der Erreger wird der sogenannte D-Wert verwendet. Er gibt die Zeit an, wie lange ein Sterilisationsprozess auf die Erreger einwirken muss, um eine Reduzierung auf ein Zehntel ihrer aktuellen Anzahl zu erreichen.
Zeige, dass für den D-Wert gilt:
Im Folgenden soll die Vermehrung von Erregern betrachtet werden. Die Anzahl der Erreger kann für verschiedene Erregertypen näherungsweise durch die Funktionen
im Sachzusammenhang.
Untersuche, wie sich eine Verdoppelung von
auf die Änderungsrate von auswirkt.
Als Maß für die Widerstandsfähigkeit der Erreger wird der sogenannte D-Wert verwendet. Er gibt die Zeit an, wie lange ein Sterilisationsprozess auf die Erreger einwirken muss, um eine Reduzierung auf ein Zehntel ihrer aktuellen Anzahl zu erreichen.
Zeige, dass für den D-Wert gilt:
(11 BE)
modelliert werden. Dabei bezeichnet die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn und die Anzahl der Erreger in Millionen.
c)
Vergleiche die Bedeutung von 
und 
im Sachzusammenhang.
Betrachtet werden zwei Erregertypen:
Unabhängig vom Sachzusammenhang wird im Folgenden die Funktionenschar und im Sachzusammenhang.
Betrachtet werden zwei Erregertypen:
- Typ 1 mit
- Typ 2 mit
(11 BE)
mit
betrachtet.
d)
Für jedes 
bezeichnet 
die Tangente an den Graphen von 
im Wendepunkt 
Die Tangente hat die Nullstelle 
Für
schließen der Graph von 
und die Tangente 
mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein. Diese soll um die -Achse rotieren. Berechne das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers.
Zu jeder Tangente existiert eine zu senkrechte Gerade 
die ebenfalls durch 
verläuft und die ihre Nullstelle bei 
hat.
Für jedes schließen die Tangente 
die Gerade 
und die -Achse ein Dreieck ein. Untersuche, ob der Flächeninhalt dieses Dreiecks minimal werden kann.
bezeichnet die Tangente an den Graphen von im Wendepunkt Die Tangente hat die Nullstelle
Für
schließen der Graph von und die Tangente mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein. Diese soll um die -Achse rotieren. Berechne das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers.
Zu jeder Tangente
existiert eine zu senkrechte Gerade die ebenfalls durch verläuft und die ihre Nullstelle bei hat.
Für jedes
schließen die Tangente die Gerade und die -Achse ein Dreieck ein. Untersuche, ob der Flächeninhalt dieses Dreiecks minimal werden kann.
(15 BE)
a)
Anzahl der noch lebenden Erreger berechnen
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich:
und 
Die Anzahl der nach Minuten seit Beobachtungsbeginn noch lebenden Bakterien wird daher durch folgende Funktion beschrieben:
Gesucht ist also 
Vollständige Lösung anzeigen
![\( \begin{array}[t]{rll}
N(30)&=& 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot 30} \\[5pt]
&\approx& 553
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/700804ef9a47fa401a876aea4ab2c7463183668ddf5c165a97f71199115a7c0a_light.svg)
Minuten nach Beginn der Sterilisation leben noch ca. 
Erreger.
Zeitpunkt berechnen
Es ist das kleinste gesucht mit 
Mit dem Graphik-Menü des GTRs ergibt sich:
![\( \begin{array}[t]{rll}
N(x)&=&100\\[5pt]
x &\approx& 36,8
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/894429ee1d10ac1e4a69a30f93a9e5bb99d25bc919d7fda8c88e7029fb9e8d7d_light.svg)
trace (calc) 
Minuten nach Beginn der Sterilisation der erste Zeitpunkt auf Minuten gerundet, zu dem weniger als Erreger übrig sind.
Eignung des Modells beurteilen
Bei handelt es sich um eine Exponentialfunktion der Form 
Diese kann für 
keine Nullstelle besitzen. Es gibt also keinen Wert für 
für den 
oder 
gilt. Es kann nach diesem Modell also streng genommen keinen Zeitpunkt geben, zu dem keine lebenden Erreger mehr existieren.
Nach der klassischen Definition ist der Zustand „steril“ erst erreicht, wenn keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Dieser kann nach dem Modell nicht erreicht werden.
Da Erreger aber nur in ganzzahliger Anzahl vorkommen können, kann man zum Beispiel davon ausgehen, dass ab dem ersten Zeitpunkt
mit 
oder einer noch niedrigeren Schranke für einen Sicherheitsabschlag, keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Streng genommen wäre das Modell so aber nicht geeignet, da sich kein sicherer Zeitpunkt bestimmen lässt, zudem definitiv kein lebender Erreger mehr übrig ist.
b)
Gleichung im Sachzusammenhang deuten
Die erste Ableitung 
beschreibt die momentane Änderungsrate der Anzahl der noch lebenden Erreger.
Dadurch, dass
positiv ist und 
vorgegeben ist, ist 
durchgehend negativ. Die Anzahl der Erreger nimmt also ab. Da 
eine Konstante ist, ist die Geschwindigkeit, mit der die Anzahl der lebenden Erreger abnimmt proportional zum momentanen Erregerbestand mit der Proportionalitätskonstante 
Auswirkung der Verdopplung untersuchen
Für die Änderungsrate ergibt sich folgende Funktionsgleichung:
Bei verdoppeltem Anfangsbestand 
![\( \begin{array}[t]{rll}
N‘(x)&=& N_0\cdot (-c)\cdot \mathrm e^{-c\cdot x} \\[5pt]
&=&-c\cdot N_0\cdot \mathrm e^{-c\cdot x}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/28e5cdb1cf60a82e47eb0152959775c8944128e03e8b3e99604abcf0fb0b44c1_light.svg)
ergibt sich:
Bei Verdopplung des Anfangsbestands verdoppelt sich also auch die Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt 
![\( \begin{array}[t]{rll}
N‘(x)&=& -c\cdot 2\cdot N_0 \cdot \mathrm e^{-c\cdot x} \\[5pt]
&=& 2\cdot (-c)\cdot N_0 \cdot \mathrm e^{-c\cdot x} \\[5pt]
&=& 2\cdot N‘(x)
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/aa8c19c8777489ac609a7128c7679ab54d46b95fd46cf59e8b1ae4ef2473f4dc_light.svg)
Formel für den D-Wert zeigen
Der D-Wert ist der Wert 
für den zum ersten mal 
ist. Gleichsetzen liefert:
![\( \begin{array}[t]{rll}
N(D)&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 \\[5pt]
...
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8d866d2733bbb320973ff3feb08adfcbcfea013795edfb867de588fd87a3b701_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rll}
N(D)&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 \\[5pt]
N_0\cdot \mathrm e^{-c\cdot D}&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 &\quad \scriptsize \mid\;:N_0 \\[5pt]
\mathrm e^{-c\cdot D}&=& \frac{1}{10} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt]
-c\cdot D &=& \ln \left(\frac{1}{10}\right)&\quad \scriptsize \mid\;: (-c) \\[5pt]
D&=& -\frac{1}{c}\cdot \ln \left(\frac{1}{10}\right)
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c13497d9ae6ebb56a446945902c4d24e9af3ee14786c5b45b6b20a8c1d69fee7_light.svg)
c)
Bedeutung der Werte im Sachzusammenhang vergleichen
Da die Anzahl der Erreger beschreibt, beschreibt der Wert die Anzahl der Erreger drei Stunden nach Beobachtungsbeginn.
Der Wert 
beschreibt dagegen den Zuwachs des Bestandes in den ersten drei Stunden, also wie viele Erreger in den ersten drei Stunden zum ursprünglichen Bestand hinzukommen.
Die beiden Werte unterscheiden sich also um den Anfangsbestand der Erreger.
Zeitpunkte berechnen
Gesucht sind die Werte für die 
ist.
Mithilfe des Graphik-Menüs des GTRs können die beiden zugehörigen Graphen von
und 
angezeigt und die Schnittstellen bestimmt werden.
Es folgt für
für die ist.
Mithilfe des Graphik-Menüs des GTRs können die beiden zugehörigen Graphen von
und angezeigt und die Schnittstellen bestimmt werden.
Es folgt für
![\( \begin{array}[t]{rll}
x_1&\approx&4,00 \\[5pt]
x_2&\approx&6,69 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/de05f4a14fa332f86dc967f785d90cc200a5a142ac02d31bc91c68ebdd043393_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f‘_{k_2}(x) &=& 2\cdot f‘_{k_1}(x) &\quad \scriptsize \mid\; GTR\\[5pt]
x_1&\approx&4,00 \\[5pt]
x_2&\approx&6,69 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/73933a9b8255a2aa9e84c97c4fb459127d3135091c1b4aae0df5b33b0bb81371_light.svg)
Stunden und ca. 
Stunden nach Beobachtungsbeginn, ist die Wachstumsgeschwindigkeit des Erregertyps 2 doppelt so groß wie die des Typs 1.
d)
Volumen berechnen
Für 
gilt:
und die Nullstelle der Tangente 
ist 
Der Rotationskörper entspricht dem Körper, der durch Rotation des Graphen von 
um die -Achse entsteht, aus dem der Körper herausgelöst wird, der durch Rotation des Graphen von um die -Achse entsteht. Es muss also die Differenz der beiden Rotationsvolumina berechnet werden.
Abb. 3: Skizze
und 
Für die Tangentensteigung ergibt sich mit dem Differenzenquotienten:
Einsetzen der Steigung und der Nullstelle in die allgemeine Geradengleichung liefert:
Eine Gleichung der Tangente lautet also 
![\( \begin{array}[t]{rll}
m_{t_1} &=&\dfrac{5- 0}{\dfrac{\ln(3)}{5}-\dfrac{\ln(3)-1}{5}} \\[5pt]
&=& \dfrac{5}{\dfrac{1}{5}}\\[5pt]
&=&25
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/aba65d209ef6d5dae28516cb5a257e61ac3150d7e22ef20071291ba5471d51f4_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rll}
0&=& 25\cdot \dfrac{\ln(3)-1}{5} + b \\[5pt]
0&=& 5\cdot\ln(3) - 5 +b &\quad \scriptsize \mid\;-\left(5\cdot\ln(3) - 5 \right) \\[5pt]
-5\cdot\ln(3) + 5&=& b\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8a6ac5b01fddd096fdcebbb38bec64252bf58e572534f7c77e96feb389d87b4c_light.svg)
2. Schritt: Rotationsvolumen von 
berechnen
Mit der Formel für das Rotationsvolumen und dem Graphik-Menü des GTRs ergibt sich:
3. Schritt: Rotationsvolumen von 
![\( \begin{array}[t]{rll}
V_{f_1}&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{\frac{\ln(3)}{5}}\left(f_1(x)\right)^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\;GTR \\[5pt]
&\approx& 1,8773\cdot \pi \\[5pt]
&\approx& 5,8977 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/794721414a0402c6fd48aff4a19a10ef7b683d794ad7907d31287c314eeee685_light.svg)
berechnen
Wie oben ergibt sich für den Hohlraum:
4. Schritt: Differenz berechnen
![\( \begin{array}[t]{rll}
V_{t_1}&=&\pi\cdot \displaystyle\int_{\frac{\ln(3)-1}{5}}^{\frac{\ln(3)}{5}}\left(t_1(x)\right)^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\;GTR\\[5pt]
&\approx& 1,6667 \cdot \pi \\[5pt]
&\approx& 5,2360
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bcf8e38d7808d4d9fea1257bc49060f946e8e8e33e9dcd8348a90d593a11bbaa_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rll}
&V_{f_1}- V_{t_1}\\[5pt]
\approx& 5,8977-5,2360 \\[5pt]
=&0,6617
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4c10dcad151c5ae29aa775aa8f49227d416791e8a5936eeea8368fb814f70636_light.svg)
![\( 0,6617\,\text{[VE]}.\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/93b360635df3262732e38b4bcf2bca5b2aebf02226317535c6fa7cecd6156662_light.svg)
Minimalen Flächeninhalt untersuchen
1. Schritt: Funktion für den Flächeninhalt aufstellen
Die drei Eckpunkte des Dreiecks ergeben sich aus den Nullstellen von 
und 
und dem Wendepunkt, durch den beide Geraden verlaufen.
Betrachtet man die Seite, die auf der
-Achse liegt als Grundseite, ergibt sich die Länge aus der Differenz der beiden Nullstellen von und 
Die zugehörige Höhe entspricht der 
![\( \begin{array}[t]{rll}
g&=& \left(125k +\dfrac{\ln(3)}{5k}\right) -\dfrac{\ln(3)-1}{5k} \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{5k}+125k
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9a8e52027eee4af1e0fc3484f03d008a9dd55ed9af4363ac72da60a04793fd1d_light.svg)
-Koordinate des Wendepunkts:
Der Flächeninhalt kann dann mit der entsprechenden Formel berechnet werden:
2. Schritt: Funktion auf ein Minimum untersuchen
![\( \begin{array}[t]{rll}
A(k)&=&\frac{1}{2}\cdot g\cdot h_g \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{5k}+125k \right)\cdot 5 \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2k}+\dfrac{625k}{2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/28be2cf154c1916d929902ba39b164025db5f35f568c7ede8341519aa60a18e6_light.svg)
Mit dem Graphik-Menü des GTRs ergibt sich folgender Tiefpunkt:
Für 
ist der Flächeninhalt des Dreiecks also minimal mit einem Flächeninhalt von ![\( 25\,\text{[FE]}.\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e23a99ae59073cc77e1701db625c64a9ec278eb7e312c7dce9c954060c238f02_light.svg)
Für ist der Flächeninhalt des Dreiecks also minimal mit einem Flächeninhalt von
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a)
Anzahl der noch lebenden Erreger berechnen
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich:
und
Die Anzahl der nach Minuten seit Beobachtungsbeginn noch lebenden Bakterien wird daher durch folgende Funktion beschrieben:
Gesucht ist also
Minuten nach Beginn der Sterilisation leben noch ca. Erreger.
Zeitpunkt berechnen
Es ist das kleinste gesucht mit Mit dem Graphik-Menü des GTRs ergibt sich:
Minuten nach Beginn der Sterilisation der erste Zeitpunkt auf Minuten gerundet, zu dem weniger als Erreger übrig sind.
Eignung des Modells beurteilen
Bei handelt es sich um eine Exponentialfunktion der Form Diese kann für keine Nullstelle besitzen. Es gibt also keinen Wert für für den oder gilt. Es kann nach diesem Modell also streng genommen keinen Zeitpunkt geben, zu dem keine lebenden Erreger mehr existieren.
Nach der klassischen Definition ist der Zustand „steril“ erst erreicht, wenn keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Dieser kann nach dem Modell nicht erreicht werden.
Da Erreger aber nur in ganzzahliger Anzahl vorkommen können, kann man zum Beispiel davon ausgehen, dass ab dem ersten Zeitpunkt
mit oder einer noch niedrigeren Schranke für einen Sicherheitsabschlag, keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Streng genommen wäre das Modell so aber nicht geeignet, da sich kein sicherer Zeitpunkt bestimmen lässt, zudem definitiv kein lebender Erreger mehr übrig ist.
b)
Gleichung im Sachzusammenhang deuten
Die erste Ableitung beschreibt die momentane Änderungsrate der Anzahl der noch lebenden Erreger.
Dadurch, dass
positiv ist und vorgegeben ist, ist durchgehend negativ. Die Anzahl der Erreger nimmt also ab. Da eine Konstante ist, ist die Geschwindigkeit, mit der die Anzahl der lebenden Erreger abnimmt proportional zum momentanen Erregerbestand mit der Proportionalitätskonstante
Auswirkung der Verdopplung untersuchen
Für die Änderungsrate ergibt sich folgende Funktionsgleichung:
Bei verdoppeltem Anfangsbestand ergibt sich:
Bei Verdopplung des Anfangsbestands verdoppelt sich also auch die Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt
Formel für den D-Wert zeigen
Der D-Wert ist der Wert für den zum ersten mal ist. Gleichsetzen liefert:
c)
Bedeutung der Werte im Sachzusammenhang vergleichen
Da die Anzahl der Erreger beschreibt, beschreibt der Wert die Anzahl der Erreger drei Stunden nach Beobachtungsbeginn.
Der Wert beschreibt dagegen den Zuwachs des Bestandes in den ersten drei Stunden, also wie viele Erreger in den ersten drei Stunden zum ursprünglichen Bestand hinzukommen.
Die beiden Werte unterscheiden sich also um den Anfangsbestand der Erreger.
Zeitpunkte berechnen
Gesucht sind die Werte für die ist.
Mithilfe des Graphik-Menüs des GTRs können die beiden zugehörigen Graphen von und angezeigt und die Schnittstellen bestimmt werden.
Es folgt für
für die ist.
Mithilfe des Graphik-Menüs des GTRs können die beiden zugehörigen Graphen von
und angezeigt und die Schnittstellen bestimmt werden.
Es folgt für
Stunden und ca. Stunden nach Beobachtungsbeginn, ist die Wachstumsgeschwindigkeit des Erregertyps 2 doppelt so groß wie die des Typs 1.
d)
Volumen berechnen
Für 
gilt:
und die Nullstelle der Tangente ist 
Der Rotationskörper entspricht dem Körper, der durch Rotation des Graphen von um die -Achse entsteht, aus dem der Körper herausgelöst wird, der durch Rotation des Graphen von um die -Achse entsteht. Es muss also die Differenz der beiden Rotationsvolumina berechnet werden.
Abb. 3: Skizze
und 
Für die Tangentensteigung ergibt sich mit dem Differenzenquotienten:
Einsetzen der Steigung und der Nullstelle in die allgemeine Geradengleichung liefert:
Eine Gleichung der Tangente lautet also 
![\(\begin{array}[t]{rll}
m_{t_1} &=&\dfrac{5- 0}{\dfrac{\ln(3)}{5}-\dfrac{\ln(3)-1}{5}} \\[5pt]
&=& \dfrac{5}{\dfrac{1}{5}}\\[5pt]
&=&25
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/44bde0d07a111c66d3ff2dbeb138a3c69791f2e9d0a070422d20f86b5180f0a0_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
0&=& 25\cdot \dfrac{\ln(3)-1}{5} + b \\[5pt]
0&=& 5\cdot\ln(3) - 5 +b &\quad \scriptsize \mid\;-\left(5\cdot\ln(3) - 5 \right) \\[5pt]
-5\cdot\ln(3) + 5&=& b\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/57d8a5a7a57d3cdec67ebe4b68af990014e25e3a36f23d23259e869e070bb8fd_light.svg)
2. Schritt: Rotationsvolumen von 
berechnen
Mit der Formel für das Rotationsvolumen und dem Graphik-Menü des GTRs ergibt sich:
3. Schritt: Rotationsvolumen von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_{f_1}&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{\frac{\ln(3)}{5}}\left(f_1(x)\right)^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\;GTR \\[5pt]
&\approx& 1,8773\cdot \pi \\[5pt]
&\approx& 5,8977 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4a6c6b4259283d312ba6563d7caf769c208df0d7038b8461324a46a7623b971e_light.svg)
berechnen
Wie oben ergibt sich für den Hohlraum:
4. Schritt: Differenz berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_{t_1}&=&\pi\cdot \displaystyle\int_{\frac{\ln(3)-1}{5}}^{\frac{\ln(3)}{5}}\left(t_1(x)\right)^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\;GTR\\[5pt]
&\approx& 1,6667 \cdot \pi \\[5pt]
&\approx& 5,2360
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1fc774eebb07e10c3f401ea3f11a0291efac4c384e1ff3c53bf30fc8d8f0e63e_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
&V_{f_1}- V_{t_1}\\[5pt]
\approx& 5,8977-5,2360 \\[5pt]
=&0,6617
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/965ccd9fc6b5b903bc994da9b1dd951e7d6985cc7b1a97bf5bc1347679167b66_light.svg)
![\(0,6617\,\text{[VE]}.\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8347528399aaae9903ab95b9d84d6260cf7c712ee82edf7a86538828e6521485_light.svg)
Minimalen Flächeninhalt untersuchen
1. Schritt: Funktion für den Flächeninhalt aufstellen
Die drei Eckpunkte des Dreiecks ergeben sich aus den Nullstellen von und und dem Wendepunkt, durch den beide Geraden verlaufen.
Betrachtet man die Seite, die auf der
-Achse liegt als Grundseite, ergibt sich die Länge aus der Differenz der beiden Nullstellen von und 
Die zugehörige Höhe entspricht der 
![\(\begin{array}[t]{rll}
g&=& \left(125k +\dfrac{\ln(3)}{5k}\right) -\dfrac{\ln(3)-1}{5k} \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{5k}+125k
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d69982e95c082b5f2e2bb198510ffae61bff3ad123c7fa392716ee6c27aae209_light.svg)
-Koordinate des Wendepunkts:
Der Flächeninhalt kann dann mit der entsprechenden Formel berechnet werden:
2. Schritt: Funktion auf ein Minimum untersuchen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A(k)&=&\frac{1}{2}\cdot g\cdot h_g \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{5k}+125k \right)\cdot 5 \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2k}+\dfrac{625k}{2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6fd483b2034d87f30702b606b3976fad59879f2e4236e13ef91848a19478ae73_light.svg)
Mit dem Graphik-Menü des GTRs ergibt sich folgender Tiefpunkt:
Für 
ist der Flächeninhalt des Dreiecks also minimal mit einem Flächeninhalt von ![\(25\,\text{[FE]}.\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/dfbf0e9643dc2d5fb87cc6c8ab39846cdfa1f541af93b436ae0b86290729feee_light.svg)
Für ist der Flächeninhalt des Dreiecks also minimal mit einem Flächeninhalt von
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