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Aufgabe 2A

Aufgaben
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In der Abbildung 1 der Anlage sind Ausschnitte sogenannter Perzentilkurven für Mädchen im Alter von 0 bis 2 Jahren dargestellt. Diese stellen die Entwicklung des Körpergewichts in Abhängigkeit von der Körpergröße dar. Betrachtet man z. B. Mädchen mit einer Körpergröße von $90\,\text{cm},$ so haben 50 % dieser Mädchen näherungsweise ein Körpergewicht von höchstens $12,5\,\text{kg}.$ Außerdem haben $95\,\%$ aller Mädchen dieser Größe näherungsweise ein Körpergewicht von höchstens $14,5\,\text{kg}.$ Zur Kontrolle des Wachstums von Kleinkindern werden deren Körpergröße und Gewicht in regelmäßigen Abständen gemessen. Die Daten werden dann in die Abbildung der Anlage eingetragen, um sie mit den bei einer gesunden Entwicklung zu erwartenden Daten zu vergleichen.
a)
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt das Körpergewicht von $90\,\text{cm}$ großen Mädchen in $\text{kg}.$ Sie kann als normalverteilt angenommen werden mit einem Erwartungswert von $μ_X = 12,5\,\text{kg}$ und einer Standardabweichung von $σ_X= 1,1\,\text{kg}.$ Ein Mädchen hat bei einer Körpergröße von $90\,\text{cm}$ ein Gewicht von $14,0\,\text{kg}.$
Trage die Daten des Mädchens in die Abbildung 1 der Anlage ein. Erläutere mit Hilfe der Abbildung 1 die Richtigkeit der folgenden Aussage:
Mehr als $85\,\%$ aller Mädchen mit dieser Körpergröße haben ein geringeres Körpergewicht als dieses Mädchen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein $90\,\text{cm}$ großes Mädchen ein Gewicht
  • von mindestens $11,5\,\text{kg},$
  • von mindestens $11,0\,\text{kg}$ und höchstens $13,0\,\text{kg}$ besitzt.
(7 BE)
#normalverteilung
b)
Die Zufallsgröße $Y$ beschreibt das Körpergewicht von $82\,\text{cm}$ großen Mädchen in $\text{kg}$ und kann als normalverteilt angenommen werden.
Ermittle unter Verwendung der Abbildung 1 der Anlage Näherungswerte für den Erwartungswert und die Standardabweichung des Körpergewichts für Mädchen mit dieser Größe. Begründe anhand der in der Abbildung 1 der Anlage dargestellten Perzentilkurven für eine Körpergröße von $100\,\text{cm},$ dass die Körpergewichte für diese Körpergröße nicht exakt normalverteilt sind.
(10 BE)
#normalverteilung
c)
Unabhängig vom Sachzusammenhang sei $Z$ eine normalverteilte Zufallsgröße mit dem Erwartungswert $\mu = 0$ und der Standardabweichung $\sigma$. In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph einer Funktion $W$ zu sehen, die für jeden Wert der Standardabweichung $\sigma$ die Wahrscheinlichkeit $P( - a \leq Z \leq a)$ angibt. Erläutere mit Hilfe der Abbildung 2 der Anlage, dass $a$ näherungsweise den Wert $4$ hat. Begründe, warum der Graph der Funktion $W$ für kleine Werte von $\sigma$ Funktionswerte nahe $1$ hat, die mit größer werdendem $\sigma$ gegen $0$ streben.
(7 BE)
#normalverteilung
Material
Graphen zu den Teilaufgaben a) und b)
Aufgabe 2A
Abb. 1: Ausschnitt der Perzentilkurven für Mädchen im Alter von 0 bis 2 Jahren für $5\,\%,$ $15\,\%,$ $50\,\%,$ $85\,\%$ und $95\,\%$
Aufgabe 2A
Abb. 1: Ausschnitt der Perzentilkurven für Mädchen im Alter von 0 bis 2 Jahren für $5\,\%,$ $15\,\%,$ $50\,\%,$ $85\,\%$ und $95\,\%$
Graph zu Teilaufgabe c)
Aufgabe 2A
Abb. 2: Wahrscheinlichkeit $W(\sigma)$ in Abhängigkeit von der Standardabweichung für einen Wert von $a$
Aufgabe 2A
Abb. 2: Wahrscheinlichkeit $W(\sigma)$ in Abhängigkeit von der Standardabweichung für einen Wert von $a$
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a)
$\blacktriangleright$  Daten eintragen
Aufgabe 2A
Abb. 1: Eintragen der Daten
Aufgabe 2A
Abb. 1: Eintragen der Daten
$\blacktriangleright$  Aussage erläutern
In Abbildung 1 ist zu erkennen, dass der Punkt, der die Daten des Mädchens darstellt oberhalb der $85\,\%$ Kurve liegt. Diese Kurve gibt an, dass $85\,\%$ aller Mädchen mit einer Körpergröße von $90\,\text{kg}$ ein Körpergewicht von höchstens ca. $13,7\,\text{kg}$ haben.
Da das Mädchen ein Körpergewicht von $14,0\,\text{kg}$ hat, haben mehr als $85\,\%$ Mädchen mit der entsprechenden Körpergröße ein geringeres Körpergewicht als das Mädchen.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Aufgabe 2A
Abb. 2: 2nd $\to$ vars(distr) $\to$ 2: normalcdf
Aufgabe 2A
Abb. 2: 2nd $\to$ vars(distr) $\to$ 2: normalcdf
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $81,83\,\%$ besitzt ein Mädchen mit der Körpergröße $90\,\text{cm}$ ein Gewicht von mindestens $11,5\,\text{kg}.$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $58,89\,\%$ besitzt ein Mädchen mit dieser Körpergröße ein Gewicht von mindestens $11,0\,\text{kg}$ und höchstens $13,0\,\text{kg}.$
b)
$\blacktriangleright$  Näherungswert für den Erwartungswert ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y$ aus der Aufgabenstellung, die als normalverteilt angenommen wird. Für den Erwartungswert $\mu$ gilt also:
$P(X\leq \mu ) = 50\,\%$
Der Erwartungswert entspricht also dem Wert der Perzentilkurve für $50\,\%$ für die entsprechende Körpergröße. Aus Abbildung 1 ergibt sich für eine Körpergröße von $82\,\text{cm}$:
$P(Y \leq 10,5)\approx 50\,\% ,$ also ist $\mu\approx 10,5\,\text{kg}.$
$\blacktriangleright$  Näherungswert für die Standardabweichung ermitteln
Aus Abbildung 1 lässt sich in etwa ablesen: $P(Y \leq 11,5) \approx 0,85.$ Mithilfe der Standardnormalverteilung und der zugehörigen Verteilungsfunktion $\Phi$ ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \Phi\left(\dfrac{11,5-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)&\approx& 0,85 &\quad \scriptsize \mid\; \mu\approx 10,5 \\[5pt] \Phi\left(\dfrac{11,5-10,5}{\sigma_Y}\right)&\approx& 0,85 &\quad \scriptsize \mid\; \Phi^{-1}\,\text{ mit dem } GTR \\[5pt] \dfrac{1}{\sigma_Y}&\approx& 1,0364 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sigma_Y \\[5pt] 1,0&\approx& 1,0364\cdot \sigma_Y &\quad \scriptsize \mid\;:1,0364 \\[5pt] 0,96&\approx& \sigma_Y \end{array}$
$ 0,96\approx \sigma_Y $
Mithilfe von Abbildung 1, der Standardnormalverteilung und dem GTR ergibt sich in etwa $\sigma_Y\approx 0,96.$
$\blacktriangleright$  Begründen, dass die Körpergewichte nicht exakt normalverteilt sind
Eine exakte Normalverteilung verläuft symmetrisch zum Erwartungswert. Der zugehörige Funktionsgraph der Dichtefunktion ist achsensymmetrisch zur Geraden, die parallel zur Hochachse durch den Erwartungswert verläuft. Die Perzentilkurven für $5\,\%$ und $95\,\%$ müssten daher den gleichen Abstand zu der Perzentilkurve für $50\,\%$ haben.
In Abbildung 1 ist aber zu erkennen, dass die Kurve für $5\,\%$ näher an der für $50\,\%$ liegt, als die Kurve für $95\,\%.$ Es handelt sich also nicht um eine exakte Normalverteilung.
#standardnormalverteilung
c)
$\blacktriangleright$  Wert erläutern
Mit den Sigmaregeln gilt für die normalverteilte Zufallsgröße $Z$ beispielsweise:
$P(\mu_Z -\sigma\leq Z \leq \mu_Z +\sigma )\approx 0,68$
$P(\mu_Z -\sigma\leq Z \leq \mu_Z +\sigma )\approx 0,68$
Für $\mu_Z=0$ ergibt sich entsprechend:
$P(-\sigma\leq Z \leq \sigma )\approx 0,68$
Wenn also $a$ $\sigma_Z$ entspricht ist $P(-a\leq Z\leq 4)\approx 0,68.$
Abbildung 2 kann entnommen werden, dass gilt $P(-4\leq Z \leq 4) \approx 0,68.$ Es ist also $a\approx 4.$
$\blacktriangleright$  Verlauf des Graphen begründen
Für jedes $\sigma$ gibt es einen Faktor $k,$ für den sich die im Graphen dargestellte Wahrscheinlichkeit wie folgt umschreiben lässt:
$\begin{array}[t]{rll} P(-a\leq Z \leq a)&=& P(\mu-k\cdot \sigma \leq Z \leq \mu +k\cdot \sigma)&\quad \scriptsize \mid\; \mu =0\\[5pt] &=& P(-k\cdot \sigma \leq Z \leq k\cdot \sigma)\\[5pt] \end{array}$
$ P(-a\leq Z \leq a) = … $
Da $a= 4$ ist, ist insbesondere $4 = k\cdot \sigma.$ Für $\sigma < 1$ ist $k$ größer als $4,$ die entsprechende Sigma-Umgebung ist also extrem klein, wodurch hohe Abweichungen vom Erwartungswert eine Wahrscheinlichkeit haben, die gegen null geht, die Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls $[-4;4]$ zu liegen ist daher extrem hoch.
Mit größer werdendem $\sigma$ und dementsprechend kleiner werdendem $k$ wird die Streuung immer größer. Der Graph der zugehörigen Dichtefunktion erscheint breiter und die Wahrscheinlichkeit für hohe Abweichungen vom Erwartungswert steigen. Dementsprechend werden die Wahrscheinlichkeiten für eine geringe Abweichung vom Erwartungswert geringer und streben gegen null.
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a)
$\blacktriangleright$  Daten eintragen
Aufgabe 2A
Abb. 1: Eintragen der Daten
Aufgabe 2A
Abb. 1: Eintragen der Daten
$\blacktriangleright$  Aussage erläutern
In Abbildung 1 ist zu erkennen, dass der Punkt, der die Daten des Mädchens darstellt oberhalb der $85\,\%$ Kurve liegt. Diese Kurve gibt an, dass $85\,\%$ aller Mädchen mit einer Körpergröße von $90\,\text{kg}$ ein Körpergewicht von höchstens ca. $13,7\,\text{kg}$ haben.
Da das Mädchen ein Körpergewicht von $14,0\,\text{kg}$ hat, haben mehr als $85\,\%$ Mädchen mit der entsprechenden Körpergröße ein geringeres Körpergewicht als das Mädchen.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Aufgabe 2A
Abb. 2: F5: DIST $\to$ F1: NORM $\to$ F2: Ncd
Aufgabe 2A
Abb. 2: F5: DIST $\to$ F1: NORM $\to$ F2: Ncd
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $81,83\,\%$ besitzt ein Mädchen mit der Körpergröße $90\,\text{cm}$ ein Gewicht von mindestens $11,5\,\text{kg}.$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $58,89\,\%$ besitzt ein Mädchen mit dieser Körpergröße ein Gewicht von mindestens $11,0\,\text{kg}$ und höchstens $13,0\,\text{kg}.$
b)
$\blacktriangleright$  Näherungswert für den Erwartungswert ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y$ aus der Aufgabenstellung, die als normalverteilt angenommen wird. Für den Erwartungswert $\mu$ gilt also:
$P(X\leq \mu ) = 50\,\%$
Der Erwartungswert entspricht also dem Wert der Perzentilkurve für $50\,\%$ für die entsprechende Körpergröße. Aus Abbildung 1 ergibt sich für eine Körpergröße von $82\,\text{cm}$:
$P(Y \leq 10,5)\approx 50\,\% ,$ also ist $\mu\approx 10,5\,\text{kg}.$
$\blacktriangleright$  Näherungswert für die Standardabweichung ermitteln
Aus Abbildung 1 lässt sich in etwa ablesen: $P(Y \leq 11,5) \approx 0,85.$ Mithilfe der Standardnormalverteilung und der zugehörigen Verteilungsfunktion $\Phi$ ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \Phi\left(\dfrac{11,5-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)&\approx& 0,85 &\quad \scriptsize \mid\; \mu\approx 10,5 \\[5pt] \Phi\left(\dfrac{11,5-10,5}{\sigma_Y}\right)&\approx& 0,85 &\quad \scriptsize \mid\; \Phi^{-1}\,\text{ mit dem } GTR \\[5pt] \dfrac{1}{\sigma_Y}&\approx& 1,0364 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sigma_Y \\[5pt] 1,0&\approx& 1,0364\cdot \sigma_Y &\quad \scriptsize \mid\;:1,0364 \\[5pt] 0,96&\approx& \sigma_Y \end{array}$
$ 0,96\approx \sigma_Y $
Mithilfe von Abbildung 1, der Standardnormalverteilung und dem GTR ergibt sich in etwa $\sigma_Y\approx 0,96.$
$\blacktriangleright$  Begründen, dass die Körpergewichte nicht exakt normalverteilt sind
Eine exakte Normalverteilung verläuft symmetrisch zum Erwartungswert. Der zugehörige Funktionsgraph der Dichtefunktion ist achsensymmetrisch zur Geraden, die parallel zur Hochachse durch den Erwartungswert verläuft. Die Perzentilkurven für $5\,\%$ und $95\,\%$ müssten daher den gleichen Abstand zu der Perzentilkurve für $50\,\%$ haben.
In Abbildung 1 ist aber zu erkennen, dass die Kurve für $5\,\%$ näher an der für $50\,\%$ liegt, als die Kurve für $95\,\%.$ Es handelt sich also nicht um eine exakte Normalverteilung.
#standardnormalverteilung
c)
$\blacktriangleright$  Wert erläutern
Mit den Sigmaregeln gilt für die normalverteilte Zufallsgröße $Z$ beispielsweise:
$P(\mu_Z -\sigma\leq Z \leq \mu_Z +\sigma )\approx 0,68$
$P(\mu_Z -\sigma\leq Z \leq \mu_Z +\sigma )\approx 0,68$
Für $\mu_Z=0$ ergibt sich entsprechend:
$P(-\sigma\leq Z \leq \sigma )\approx 0,68$
Wenn also $a$ $\sigma_Z$ entspricht ist $P(-a\leq Z\leq 4)\approx 0,68.$
Abbildung 2 kann entnommen werden, dass gilt $P(-4\leq Z \leq 4) \approx 0,68.$ Es ist also $a\approx 4.$
$\blacktriangleright$  Verlauf des Graphen begründen
Für jedes $\sigma$ gibt es einen Faktor $k,$ für den sich die im Graphen dargestellte Wahrscheinlichkeit wie folgt umschreiben lässt:
$\begin{array}[t]{rll} P(-a\leq Z \leq a)&=& P(\mu-k\cdot \sigma \leq Z \leq \mu +k\cdot \sigma)&\quad \scriptsize \mid\; \mu =0\\[5pt] &=& P(-k\cdot \sigma \leq Z \leq k\cdot \sigma)\\[5pt] \end{array}$
$ P(-a\leq Z \leq a) = … $
Da $a= 4$ ist, ist insbesondere $4 = k\cdot \sigma.$ Für $\sigma < 1$ ist $k$ größer als $4,$ die entsprechende Sigma-Umgebung ist also extrem klein, wodurch hohe Abweichungen vom Erwartungswert eine Wahrscheinlichkeit haben, die gegen null geht, die Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls $[-4;4]$ zu liegen ist daher extrem hoch.
Mit größer werdendem $\sigma$ und dementsprechend kleiner werdendem $k$ wird die Streuung immer größer. Der Graph der zugehörigen Dichtefunktion erscheint breiter und die Wahrscheinlichkeit für hohe Abweichungen vom Erwartungswert steigen. Dementsprechend werden die Wahrscheinlichkeiten für eine geringe Abweichung vom Erwartungswert geringer und streben gegen null.
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