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Aufgabe 2A

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In der Abbildung 1 der Anlage sind Ausschnitte sogenannter Perzentilkurven für Mädchen im Alter von 0 bis 2 Jahren dargestellt. Diese stellen die Entwicklung des Körpergewichts in Abhängigkeit von der Körpergröße dar. Betrachtet man z. B. Mädchen mit einer Körpergröße von $90\,\text{cm},$ so haben 50 % dieser Mädchen näherungsweise ein Körpergewicht von höchstens $12,5\,\text{kg}.$ Außerdem haben $95\,\%$ aller Mädchen dieser Größe näherungsweise ein Körpergewicht von höchstens $14,5\,\text{kg}.$ Zur Kontrolle des Wachstums von Kleinkindern werden deren Körpergröße und Gewicht in regelmäßigen Abständen gemessen. Die Daten werden dann in die Abbildung der Anlage eingetragen, um sie mit den bei einer gesunden Entwicklung zu erwartenden Daten zu vergleichen.
a)
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt das Körpergewicht von $90\,\text{cm}$ großen Mädchen in $\text{kg}.$ Sie kann als normalverteilt angenommen werden mit einem Erwartungswert von $μ_X = 12,5\,\text{kg}$ und einer Standardabweichung von $σ_X= 1,1\,\text{kg}.$ Ein Mädchen hat bei einer Körpergröße von $90\,\text{cm}$ ein Gewicht von $14,0\,\text{kg}.$
Trage die Daten des Mädchens in die Abbildung 1 der Anlage ein. Erläutere mit Hilfe der Abbildung 1 die Richtigkeit der folgenden Aussage:
Mehr als $85\,\%$ aller Mädchen mit dieser Körpergröße haben ein geringeres Körpergewicht als dieses Mädchen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein $90\,\text{cm}$ großes Mädchen ein Gewicht
  • von mindestens $11,5\,\text{kg},$
  • von mindestens $11,0\,\text{kg}$ und höchstens $13,0\,\text{kg}$ besitzt.
(7 BE)
#normalverteilung
b)
Die Zufallsgröße $Y$ beschreibt das Körpergewicht von $82\,\text{cm}$ großen Mädchen in $\text{kg}$ und kann als normalverteilt angenommen werden.
Ermittle unter Verwendung der Abbildung 1 der Anlage Näherungswerte für den Erwartungswert und die Standardabweichung des Körpergewichts für Mädchen mit dieser Größe. Begründe anhand der in der Abbildung 1 der Anlage dargestellten Perzentilkurven für eine Körpergröße von $100\,\text{cm},$ dass die Körpergewichte für diese Körpergröße nicht exakt normalverteilt sind.
(10 BE)
#normalverteilung
c)
Unabhängig vom Sachzusammenhang sei $Z$ eine normalverteilte Zufallsgröße mit dem Erwartungswert $\mu = 0$ und der Standardabweichung $\sigma$. In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph einer Funktion $W$ zu sehen, die für jeden Wert der Standardabweichung $\sigma$ die Wahrscheinlichkeit $P( - a \leq Z \leq a)$ angibt. Erläutere mit Hilfe der Abbildung 2 der Anlage, dass $a$ näherungsweise den Wert $4$ hat. Begründe, warum der Graph der Funktion $W$ für kleine Werte von $\sigma$ Funktionswerte nahe $1$ hat, die mit größer werdendem $\sigma$ gegen $0$ streben.
(7 BE)
#normalverteilung
Material
Graphen zu den Teilaufgaben a) und b)
Abb. 1: Ausschnitt der Perzentilkurven für Mädchen im Alter von 0 bis 2 Jahren für $5\,\%,$ $15\,\%,$ $50\,\%,$ $85\,\%$ und $95\,\%$
Abb. 1: Ausschnitt der Perzentilkurven für Mädchen im Alter von 0 bis 2 Jahren für $5\,\%,$ $15\,\%,$ $50\,\%,$ $85\,\%$ und $95\,\%$
Graph zu Teilaufgabe c)
Abb. 2: Wahrscheinlichkeit $W(\sigma)$ in Abhängigkeit von der Standardabweichung für einen Wert von $a$
Abb. 2: Wahrscheinlichkeit $W(\sigma)$ in Abhängigkeit von der Standardabweichung für einen Wert von $a$
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