Analysis

Aufgabe 1A

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb R$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \dfrac{1}{a^3} x^3 - \dfrac{1}{a} x^2 + x$ und $a \in \mathbb{R}^+$ .

Skizziere den Graphen von $f_4$ in Abbildung 1.

Gib die Extrempunkte von $f_4$ an.

niedersachsen ga cas abi koordinatensystem

Abbildung 1

(5 BE)

Ermittle die Koordinaten der beiden gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_1$ und $f_4.$

Die Graphen von $f_1$ und $f_3$ haben die beiden gemeinsamen Punkte $S_1(0 \mid 0)$ und $S_2\left(s_x \mid s_y\right)$ mit $s_x \approx 0,69$ und $s_y \approx 0,54.$

Weise nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt.

(5 BE)

Die Gleichung $f_a(x) = 0$ hat in Abhängigkeit von $a$ die Lösungen $\dfrac{a^2 - \sqrt{a^3 \cdot (a - 4)}}{2}$ und $0$ sowie $\dfrac{a^2 + \sqrt{a^3 \cdot (a - 4)}}{2}.$

Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ an und begründe deine Angabe anhand der obigen Terme.

(6 BE)

Der Graph jeder Funktion $f_a$ hat genau einen Wendepunkt $\left(\frac{a^2}{3} \; \bigg \vert\, y_a\right).$

Bestimme den Wert von $a$ zu dem Wendepunkt mit der größten $y$ -Koordinate.

(5 BE)

Für ein Umweltschutzprojekt nehmen zwei Unterwasserdrohnen $U_1$ und $U_2$ in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vor. Sie bewegen sich nur in vertikaler Richtung, d.h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeiten werden für $0 \leq t \leq 30$ durch die in $\mathbb R$ definierten Funktionen $v$ bzw. $w$ beschrieben, wobei gilt:

$v(t) = -\dfrac{6}{25} t \cdot (4t - 25) \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{5}t} \quad$ und $\quad w(t) = \dfrac{1}{216} t^3 - \dfrac{1}{6} t^2 + t$

Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten. $v(t)$ ist die Geschwindigkeit von $U_1$ in Meter pro Minute und $w(t)$ ist die Geschwindigkeit von $U_2$ in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.

Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ und interpretiere die Werte im Sachkontext.

(4 BE)

Mit $\( v$ wird die erste Ableitungsfunktion von $v$ bezeichnet. Innerhalb eines bestimmten Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt $t$ die folgende Aussage: $v(t) \lt 0$ und $\( v$

Interpretiere dies in Bezug auf die Bewegung von $U_1$ in diesem Zeitraum.

(3 BE)

Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U_1$ zur Wasseroberfläche des Sees 10 Meter.

Ermittle den Abstand von $U_1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn.

(6 BE)

$U_2$ ist zu Beobachtungsbeginn 5 Meter tiefer als $U_1$ und steigt langsamer als $U_1$ . Der Graph in Abbildung 2 zeigt für die ersten Minuten des Beobachtungszeitraums die zeitliche Entwicklung des vertikalen Abstands der beiden Unterwasserdrohnen zueinander. Im dargestellten Bereich hat der Graph nur einen Hochpunkt $H(t_H \mid y_H).$

Erläutere, wie man $t_H$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln kann, und gib einen Term zur Berechnung von $y_H$ an.

Abbildung 2

(6 BE)

Aufgabe 1B

Die zeitliche Entwicklung der Blutalkoholkonzentration (BAK) kann für eine bestimmte Person nach dem Verzehr von zwei Gläsern Wein durch die auf $\mathbb R$ definierte Funktion $f$ mit $f(t) = 1,081 \cdot (1 - \mathrm{e}^{-t}) - 0,15 \cdot t$ beschrieben werden. Dabei gibt $t$ die Zeit nach dem Trinken in Stunden an und $f(t)$ die BAK in Gramm pro Kilogramm $\left(\frac{\text{g}}{\text{kg}}\right).$ Es soll vereinfacht davon ausgegangen werden, dass die gesamte Menge Wein auf einmal konsumiert wird.

Gib die Nullstellen von $f$ an.

Begründe, dass das Intervall $[0;7,2]$ eine angemessene Einschränkung des Definitionsbereichs der Funktion $f$ für den Sachzusammenhang ist.

(3 BE)

Berechne die maximale BAK der betrachteten Person.

Bei einer BAK von $0,5 \,\dfrac{\text{g}}{\text{kg}}$ oder mehr darf die Person in Deutschland kein Auto mehr fahren.

Bestimme den Zeitraum, in dem die Person nicht Auto fahren darf.

(6 BE)

Mit Hilfe einer linearen Funktion können Näherungswerte für die BAK berechnet werden.

Für jede Person ergibt sich je nach individuellen Eigenschaften und konsumierter Alkoholmenge eine andere lineare Funktion. Der $y$ -Achsenabschnitt des Graphen der linearen Funktion wird als theoretische maximale BAK bezeichnet.

Für die betrachtete Person wird die auf $\mathbb R$ definierte Funktion $h$ mit $h(t)=1,081-0,15\cdot t$ verwendet.

Dabei beschreibt $t$ die Zeit nach dem Trinken in Stunden und $h(t)$ Näherungswerte der BAK in $\dfrac{\text{g}}{\text{kg}}.$

Zeige, dass die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person $1,081\,\dfrac{\text{g}}{\text{kg}}$ beträgt.

Zur Bestimmung der linearen Funktion für eine zweite Person werden zwei Messungen durchgeführt: 4 Stunden nach dem Verzehr beträgt die BAK $0,48 \,\dfrac{\text{g}}{\text{kg}}$ und weitere 30 Minuten später $0,39 \,\dfrac{\text{g}}{\text{kg}}.$

Berechne damit die theoretische maximale BAK der zweiten Person.

(5 BE)

Begründe mit Hilfe des Terms von $f ,$ dass die Werte der BAK der ersten betrachteten Person zu jedem Zeitpunkt kleiner sind als ihre theoretische maximale BAK.

(3 BE)

Im Folgenden wird wieder die zeitliche Entwicklung der BAK anhand der Funktion $f$ betrachtet. Gegeben ist die Differenzialgleichung:

$\(f$

Zeige, dass $f$ eine Lösung der Differenzialgleichung mit $k=1,$ $G=1,081$ und $m=0,15$ ist.

(6 BE)

Die zeitliche Entwicklung der BAK setzt sich aus verschiedenen Wachstumsprozessen zusammen.

Begründe anhand der Differenzialgleichung, dass die zeitliche Entwicklung der BAK auf lange Sicht näherungsweise einen linearen Abnahmeprozess darstellt.

(5 BE)

Unabhängig vom Sachkontext wird für $a\gt 0$ die auf $\mathbb R$ definierte Funktionenschar $p_a$ betrachtet mit $p_a(x)=2\cdot(1-\mathrm e^{- x})-\dfrac{1}{5}\cdot a \cdot x.$

Es gilt: $\(p_a$

Zeige, dass jede Funktion der Schar ein lokales Maximum an der Stelle $x = -\ln \left( \dfrac{1}{10}a\right)$ hat.

Begründe, dass die $x$ -Koordinaten der Hochpunkte mit wachsenden Werten von $a$ kleiner werden.

(7 BE)

Der Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von $p_{0,5}$ und $p_3$ auf dem Intervall $[0;1]$ soll an der Stelle $u$ durch eine Parallele zur $y$ -Achse halbiert werden.

Bestimme $u .$

(5 BE)

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Lösung 1A

Graph skizzieren

Mathematisches Diagramm mit einer Kurve im Koordinatensystem, zeigt den Verlauf von y in Abhängigkeit von x.

Abbildung 1

Extrempunkte angeben

Die Extrempunkte können aus dem Graphen abgelesen werden und besitzen die Koordinaten $T(8 \mid 0)$ sowie etwa $H(2,7 \mid 1,2).$

Koordinaten ermitteln

Aus $f_1(x)= f_4(x)$ folgen mit dem GTR die Lösungen $x_1=0$ und $x_2\approx 0,76.$

$y$ -Koordinaten bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} f_1(0)&=& 0^3- 0^2+0 & \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f_1(0,76)&=& 0,76^3- 0,76^2+0,76 & \\[5pt] &\approx& 0,62 \end{array}$

Die gemeinsamen Punkte von $f_1$ und $f_4$ besitzen somit die Koordinaten $P_1(0 \mid 0)$ und $P_2(0,76 \mid 0,62).$

Gemeinsamen Punkt nachweisen

Da $f_a(0)=0$ unabhängig von $a$ gilt, liegt der Punkt $(0 \mid 0)$ auf allen Graphen der Schar.

Vergleichen der gemeinsamen Punkte von $f_1$ und $f_3$ bzw. $f_4$ liefert allerdings $x_2 \neq s_x.$

Da diese jeweils neben dem Ursprung die einzigen gemeinsamen Punkte sind, liegt nur der Ursprung und somit genau ein Punkt auf allen Graphen der Schar.

Die Anzahl der Nullstellen hängt von dem Radikanden, also dem Term unter der Wurzel, ab:

$a^3(a-4)\lt 0 \quad \rightarrow$ eine Nullstelle $(x_1=0)$
$a^3(a-4) = 0 \quad \rightarrow$ zwei Nullstellen $\left(x_1=0,\; x_2=\dfrac{a^2}{2}\right)$
$a^3(a-4)\gt 0 \quad \rightarrow$ drei Nullstellen

Die Graphen von $f_a$ besitzen somit für $a \lt 4$ eine Nullstelle, für $a=4$ zwei Nullstellen und für $a\gt 4$ drei Nullstellen.

1. Schritt: Funktion aufstellen

Für die $y$ -Werte an der Stelle $x=\dfrac{a^2}{3}$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$f_a\left(\dfrac{a^2}{3}\right) = -\dfrac{2}{27} a^3+\dfrac{1}{3} a^2$

2. Schritt: Ableitung bestimmen

Ableiten nach $a$ ergibt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

3. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

Mit dem GTR folgt $a_1=0$ und $a_2=3.$

Da $a \in \mathbb{R}^+,$ ist $a=3$ die einzige mögliche Extremstelle.

Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass eine größte $y$ -Koordinate und somit genau ein Maximum existiert. Dieses muss sich also bei $a=3$ befinden.

Der Wendepunkt hat somit für $a=3$ die größte $y$ -Koordinate.

Koordinaten bestimmen

Dem Graphen kann der Tiefpunkt mit den Koordinaten $T\left(14 \mid -6,3\right)$ entnommen werden.

Werte interpretieren

Die Unterwasserdrohne $U1$ hat etwa 14 Minuten nach Beobachtungsbeginn die größte Sinkgeschwindigkeit von etwa $6,3 \dfrac{\text{m}}{\text{min}}.$

Wegen $v(t)\lt0$ sinkt $U1.$ Wegen $\(v$ ist die momentane Änderungsrate ihrer Geschwindigkeit positiv.

Die Unterwasserdrohne $U1$ sinkt in diesem Zeitraum somit immer langsamer.

1. Schritt: Nullstellen berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=& 0 & \\[5pt] -\dfrac{6}{25} t \cdot(4 t-25) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5} t}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm{e}^{-\frac{1}{5} t} \\[5pt] -\dfrac{6}{25} t \cdot(4 t-25) &=& 0 & \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt direkt $t_1=0$ sowie:

$\begin{array}[t]{rll} 4 t-25 &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +25 \\[5pt] 4 t &=& 25 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] t_2 &=& 6,25 \end{array}$

2. Schritt: Abstand bestimmen

Aus dem Graphen von $v$ ergibt sich, dass $v(t)\gt 0$ für $0\lt t \lt 6,25$ und $v(t)\lt 0$ für $6,25\lt t\lt 30$ gilt.

$U1$ hat somit 6,25 Minuten nach Beobachtungsbeginn den kleinsten Abstand von 10 Metern zur Wasseroberfläche.

Für die Strecke, die $U1$ seit Beobachtungsbeginn bis zum Zeitpunkt $t=6,25$ zurückgelegt hat, folgt mit dem GTR:

$\displaystyle\int_{0}^{6,25}v(t)\;\mathrm dt \approx 21,7$

Der Abstand von $U1$ zur Wasseroberfläche beträgt zu Beobachtungsbeginn somit ca. $10+21,7=31,7$ Meter.

Bei der $t$ -Koordinate $t_S$ des einzigen Schnittpunkts der Graphen von $v$ und $w$ innerhalb der ersten Minuten wechselt $w(t)\lt v(t)$ zu $v(t)\lt w(t)$ .

Somit nimmt der vertikale Abstand von $U1$ und $U2$ bis zum Zeitpunkt $t_S$ zu und danach wieder ab.

Folglich ist $t_H=t_S.$

Ein Term zur Berechnung von $y_h$ ist somit:

$y_H=5+\displaystyle\int_{0}^{t_s}v(t)-w(t)\;\mathrm dt$

Lösung 1B

Nullstellen angeben

Die Nullstellen können aus dem Graphen der Funktion $f$ abgelesen werden. Es ergeben sich:

$t_1=0$ und $t_2 \approx 7,20$

Intervall begründen

Da die Blutalkoholkonzentration nur positive Werte annehmen kann, sollte der Definitionsbereich auf das Intervall zwischen den Nullstellen eingeschränkt werden, in welchem der Graph oberhalb der $x$ -Achse verläuft.

Dies ist genau das Intervall $[0; 7,2].$

Maximale BAK berechnen

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=& 0 & \\[5pt] 1,081 \cdot\left(1-\mathrm{e}^{-t}\right)-0,15 \cdot t&=& 0 &\\[5pt] \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des GTRs ergibt sich $t \approx 1,975.$

Funktionswert berechnen:

$f(1,975) \approx 0,63$

Die maximale BAK beträgt somit etwa $0,63 \dfrac{\text{g}}{\text{kg}}.$

Zeitraum bestimmen

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; GTR\\[5pt] t_1&=& 0,88 &\\[5pt] t_2 &=& 3,69 \end{array}$

Im Zeitraum von etwa 0,88 Stunden bis 3,69 Stunden nach dem Trinken darf die Person somit kein Auto fahren.

Maximale BAK nachweisen

Laut der Aufgabenstellung entspricht die maximale BAK dem $y$ -Achsenabschnitt des Graphen von $h.$

Für diesen gilt:

$\begin{array}[t]{rll} h(0) &=& 1,081-0,15 \cdot 0& \\[5pt] &=& 1,081 \; \left[\dfrac{\text{g}}{\text{kg}}\right] \end{array}$

Theoretische maximale BAK berechnen

Die Steigung des Graphen der entsprechenden linearen Funktion beträgt $\dfrac{0,39-0,48}{0,5}=-0,18.$

Der $y$ -Achsenabschnitt ergibt sich damit zu:

$0,48+0,18 \cdot 4=1,2$

Die theoretische maximale BAK ist somit $1,2 \; \dfrac{\text{g}}{\text{kg}}.$

Für $t \geq 0$ gilt $1-\mathrm{e}^{-t} \lt 1.$

Damit folgt $1,081 \cdot\left(1-\mathrm{e}^{-t}\right)-0,15 \cdot t\lt 1,081.$

Somit sind die Werte der BAK der ersten betrachteten Person zu jedem Zeitpunkt $t\geq 0$ kleiner als die theoretisch maximale BAK von $1,081 \; \dfrac{\text{g}}{\text{kg}}.$

Ableitung von $f$ bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Einsetzen der gegebenen Parameter in die Differenzialgleichung liefert:

$\( f$

Rechenweg anzeigen

Da die Terme somit übereinstimmen, ist $f$ eine Lösung der Differenzialgleichung mit den gegebenen Werten für $k,G$ und $m.$

Der Teil $k\cdot \left(G-(f(t)+m \cdot t)\right)$ der Differenzialgleichung reduziert sich nach Einsetzen des Terms von $f$ zu $1,081\cdot \mathrm{e}^{-t}.$

Für $t \rightarrow \infty$ gilt $1,081\cdot \mathrm{e}^{-t} \rightarrow 0,$ sodass die Differenzialgleichung für große Werte von $t$ näherungsweise durch $\(f$ beschrieben werden kann.

Auf lange Sicht stellt die zeitliche Entwicklung somit einen nahezu linearen Abnahmeprozess dar.

Maximum nachweisen

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} p_a$

Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden:

Für die zweite Ableitung gilt: $\(\; p_a$

Somit gilt auch insbesondere $\(p_a$

An der Stelle $x = -\ln\left(\dfrac{1}{10} a\right)$ besitzt somit jede Funktion ein lokales Maximum.

Begründung

Für wachsende Werte von $a$ wächst auch der Term $\dfrac{1}{10}a .$

Da die Logarithmusfunktion monoton steigt, folgt ebenso, dass $\ln \left(\dfrac{1}{10} a\right)$ mit zunehmendem Wert von $a$ wächst, sodass $-\ln \left(\dfrac{1}{10} a\right)$ immer kleiner wird.

Darstellen der Graphen mit dem GTR liefert, dass für alle $0\leq x \leq 1$ gilt:

$p_{0,5}(x)\gt p_3(x)$

Es soll nun also gelten:

Gleichung anzeigen

Der GTR liefert:

$u \approx 0,71$

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