Pflichtaufgaben

Aufgabe P1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\tfrac{1}{4}x^3-3x.$

Es gilt $\(f$

Zeige, dass $2$ eine Extremstelle von $f$ ist.

(2 BE)

Einer der abgebildeten Graphen I und II ist der Graph einer Stammfunktion von $f.$

Gib diesen Graphen an und begründe deine Angabe.

(3 BE)

Aufgabe P2

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=3\cdot\mathrm{cos}(x).$

Gib den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{\pi}}f(x)\;\mathrm dx$ an.

(1 BE)

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ ist gegeben durch $g(x)=a\cdot f(x)+b\cdot x$ mit den reellen Zahlen $a$ und $b.$ Die Punkte $(0\mid-3)$ und $\left(\tfrac{\mathrm{\pi}}{2}\mid\tfrac{3}{4}\mathrm{\pi}\right)$ liegen auf dem Graphen von $g.$

Ermittle $a$ und $b.$

(4 BE)

Aufgabe P3

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße $X_1$ mit den Parametern $n_1$ und $p_1.$
Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X_1.$

Abbildung 1

Entscheide, ob die folgende Aussage richtig ist, und begründe deine Entscheidung:

$\displaystyle\sum_{k=16}^{20}P(X_1=k)\gt0,5$

(2 BE)

Betrachtet wird zudem die binomialverteilte Zufallsgröße $X_2$ mit den Parametern $n_2$ und $p_2.$
Abbildung 2 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X_2.$

Abbildung 2

Die Erwartungswerte von $X_1$ und $X_2$ sind ganzzahlig und es gilt $n_1=n_2.$

Weise unter Verwendung der Abbildungen 1 und 2 nach, dass $p_2=4\cdot p_1$ gilt.

(3 BE)

Aufgabe P4

Die Abbildung zeigt einen Würfel $ABCDEFGH$ der Kantenlänge $4$ in einem Koordinatensystem. Drei Seitenflächen dieses Würfels liegen in Koordinatenebenen.

Die Ebene $K$ enthält die Punkte $A(0\mid0\mid0),$ $B(4\mid0\mid0)$ und den Mittelpunkt der Kante $\overline{FG}.$

Grafik eines Quaders mit diagonaler Fläche und Achsenbeschriftung x, y, z.

Die Ebene $K$ teilt den Würfel in zwei Teilkörper.

Berechne das Volumen des kleineren Teilkörpers.

(2 BE)

Eine zweite Ebene $L$ enthält die Punkte $E$ und $F$ sowie den Mittelpunkt der Kante $\overline{BC}.$

Zeichne die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in die Abbildung ein und gib eine Gleichung der Schnittgerade der Ebenen $K$ und $L$ an.

(3 BE)

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Lösung P1

Für die erste Ableitung von $f$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

Einsetzen von $x=2$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

Somit ist die notwendige Bendingung für Extremstellen in $x=2$ erfüllt. Da die hinreichende Bedingung für Extremstellen bereits in der Aufgabenstellung gegeben ist, folgt somit, dass $2$ eine Extremstelle von $f$ ist.

Da $f$ bei $x=2$ eine Extremstelle besitzt, hat jede Stammfunktion von $f$ bei $x=2$ eine Wendestelle. Aus der Abbildung folgt somit, dass Graph II der Graph einer Stammfunktion von $f$ ist.

Lösung P2

Die Abbildung zeigt, dass der Graph von $f$ zwischen $0$ und $\pi$ gleichgroße Flächen unterhalb sowie oberhalb der $x$ -Achse mit dieser einschließt. Somit gilt:

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(x)\;\mathrm dx=0$

$\begin{array}[t]{rlll} g(0)&=&-3 \\[5pt] a\cdot f(0)+b\cdot0&=&-3 \\[5pt] 3a&=&-3 &\mid\;:3 \\[5pt] a&=&-1 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)&=&\dfrac{3}{4}\pi \\[5pt] -f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+b\cdot\dfrac{\pi}{2}&=&\dfrac{3}{4}\pi \\[5pt] \dfrac{\pi}{2}b&=&\dfrac{3}{4}\pi &\mid\;\cdot\frac{2}{\pi} \\[5pt] b&=&\dfrac{3}{2} \end{array}$

Lösung P3

Die Abbildung zeigt, dass alle fünf Werte, die aufsummiert werden, jeweils kleiner als $0,1$ sind. Damit kann die Summe nicht größer als $0,5$ sein und die Aussage ist somit falsch.

Aus den beiden Abbildungen lässt sich erkennen, dass der Erwartungswert von $X_1$ genau $14$ beträgt und $56$ der Erwartungswert von $X_2.$ Damit gilt also $14=n_1\cdot p_1$ und $56=n_2\cdot p_2.$ Es folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} 56&=&n_2\cdot p_2 \\[5pt] 4\cdot14&=&n_2\cdot p_2 \\[5pt] 4\cdot n_1\cdot p_1&=&n_2\cdot p_2 \end{array}$

Nach der Aufgabenstellung gilt $n_1=n_2.$ Dividieren durch diesen Wert auf beiden Seiten liefert somit $4\cdot p_1=p_2.$

Lösung P4

Da die Ebene $K$ die Kante $\overline{AB}$ und die zu dieser Kante parallelverlaufende Verbindungsstrecke zwischen den Mittelpunkten der Kanten $\overline{FG}$ und $\overline{EH}$ enthält (siehe Abbildung), halbiert sie eine Hälfte des Würfels $ABCDEFGH.$ Das Volumen des kleineren Teilkörpers macht somit insgesamt ein Viertel des Gesamtvolumens aus.

Aus den Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ lässt sich direkt ablesen, dass die Länge der Kanten des Würfels $4\;\text{LE}$ beträgt. Damit folgt für das gesuchte Volumen des kleineren Teilkörpers:

$\dfrac{1}{4}\cdot4^3=16\;\text{VE}$

Schnittfigur einzeichnen

Grafik eines Würfels mit diagonalen Linien und beschrifteten Punkten in einem 3D-Koordinatensystem.

Gleichung der Schnittgeraden angeben

Anhand der Schnittfigur der Ebene $L$ mit dem Würfel lässt sich erkennen, dass die Schnittgerade der beiden Ebenen parallel zur $x$ -Achse verläuft und auf halber Höhe des Würfels liegt, d.h. alle Punkte der Geraden besitzen $z$ -Koordinate $2.$ Anhand der Ähnlichkeit der beiden Ebenen folgt zudem, dass die $y$ -Koordinate der Punkte auf der Geraden konstant $1$ beträgt. Somit folgt als Geradengleichung der Schnittgeraden:

$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\1\\2}+t\cdot\pmatrix{1\\0\\0}$

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