Wahlaufgaben

Aufgabe Q1

Gegeben sind die in $\mathbb{R}_0^+$ definierten Funktionen $f$ und $g,$ wobei $g$ die Umkehrfunktion von $f$ ist. Die Abbildung zeigt die Graphen $G_f$ von $f$ und $G_g$ von $g.$

$G_f$ und $G_g$ schneiden sich nur im Koordinatenursprung und im Punkt $\bigl(x_S\mid f(x_S)\bigr).$

Beurteile die folgende Aussage:

$\displaystyle\int_{0}^{x_S}\big(g(x)-f(x)\big)\;\mathrm dx=2\cdot\displaystyle\int_{0}^{x_S}\big(x-f(x)\big)\;\mathrm dx$

(5 BE)

Aufgabe Q2

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten, differenzierbaren Funktionen $f$ und $g.$ Für $x\in\mathbb{R}$ gilt $g(x)=f(x)\cdot\mathrm{e}^x.$

Weise nach, dass die folgende Aussage wahr ist.

Wenn der Graph von $g$ im Punkt $\bigl(a\mid g(a)\bigr)$ mit $a\in\mathbb{R}$ eine waagerechte Tangente besitzt, dann gilt $\(f$

(3 BE)

Die Abbildung stellt den Graphen von $f$ dar. Zeige mithilfe der Abbildung, dass der Graph von $g$ im Punkt $\bigl(1\mid g(1)\bigr)$ keine waagerechte Tangente besitzt.

(2 BE)

Aufgabe Q3

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p,$ mit $p\lt1.$
Es ist bekannt, dass $P(X=1)$ vierzehnmal so groß ist wie $P(X=0)$ und dass der Erwartungswert von $X$ gleich $10$ ist.

Berechne die Werte von $p$ und $n.$

(5 BE)

Aufgabe Q4

Betrachtet wird ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von $1$ bis $6$ durchnummeriert sind.

Der Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der dabei erzielten Zahlen an.

Begründe, dass $P(X=10)=P(X=15)$ ist.

(2 BE)

Nun wird der Würfel $n$ -mal geworfen, wobei $n$ größer als $2$ ist.

Ermittle einen Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnen kann: „Das Produkt der $n$ erzielten Zahlen ist $2,3$ oder $5.$ “

(3 BE)

Aufgabe Q5

Für jede reelle Zahl $k$ wird die Gerade $g_k:\overrightarrow{x}=\pmatrix{5-6k\\3k\\4-9k}+r\cdot\pmatrix{2\\-1\\3}$ mit $r\in\mathbb{R}$ betrachtet.

Zeige, dass für keinen Wert von $k$ der Punkt $(0\mid0\mid0)$ auf $g_k$ liegt.

(2 BE)

Beurteile die folgende Aussage:

Alle Geraden $g_k$ sind identisch.

(3 BE)

Aufgabe Q6

Gegeben ist die Schar der Ebenen $E_k:kx+(2-k)\cdot y=k$ mit $k\in\mathbb{R}.$

Es gibt eine Koordinatenebene, zu der alle Ebenen der Schar senkrecht stehen.

Gib diese an.

(1 BE)

Zeige, dass jeweils zwei verschiedene Ebenen der Schar nicht parallel zueinander sind.

(4 BE)

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Lösung Q1

Die linke Seite der Gleichung gibt den Flächeninhalt der Fläche an, die $G_g$ und $G_f$ miteinander einschließen. Die rechte Seite der Gleichung gibt den doppelten Inhalt der Fläche an, die die Graphen der Gerade $y=x$ und $f$ miteinander einschließen.

Da $g$ die Umkehrfunktion von $f$ ist und somit durch Spiegelung von $f$ an der Gerade $y=x$ hervorgeht, hat die von $G_g$ und $G_f$ eingeschlossene Fläche den doppelten Inhalt wie die Fläche, die von der Graphen von $y=x$ und $f$ eingeschlossen wird. Damit ist die Aussage korrekt.

Lösung Q2

Für die Ableitung von $g$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rlll} g$

Der Graph von $g$ besitzt eine waagerechte Tangente in einem Punkt, wenn die Ableitung von $g$ dort gleich Null ist. Nullsetzen der Ableitung an der Stelle $x=a$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rlll} g$

Da die $\mathrm e$ -Funktion stets ungleich Null ist, folgt mit dem Satz des Nullprodukts $\(f$ und somit $\(f$

Aus der Abbildung folgt, dass sowohl $\(f$ als auch $f(1)\lt0$ gilt. Somit ist für $a=1$ die Gleichung $\(f$ aus Teilaufgabe 5.1 nicht erfüllt und damit kann der Graph von $g$ im Punkt $(1\mid g(1))$ keine waagerechte Tangente besitzen.

Lösung Q3

Der Erwartungswert $E(X)=n\cdot p$ beträgt $10.$ Damit folgt mit Hilfe der anderen Aussage aus der Aufgabenstellung:

Rechenweg anzeigen

$p = \dfrac{2}{7}$

Einsetzen von $p=\frac{2}{7}$ in den Erwartungswert liefert für $n:$

$\begin{array}[t]{rlll} n\cdot\dfrac{2}{7}&=&10 &\mid\;\cdot\frac{7}{2}\\[5pt] n&=&\frac{70}{2} \\[5pt] n&=&35 \end{array}$

Lösung Q4

Sowohl $10$ als auch $15$ können jeweils nur durch genau ein Produkt von zwei Zahlen erhalten werden, nämlich das Produkt von $2$ und $5$ bzw. das Produkt von $3$ und $5.$ Hierbei ist egal, in welcher Reihenfolge die beiden Zahlen gewürfelt werden, d.h. es gibt jeweils zwei Ergebnisse, die $X=10$ bzw. $X=15$ liefern. Da jede Zahl auf dem Würfel mit gleicher Wahrscheinlichkeit erzielt wird, gilt damit $P(X=10)=P(X=15).$

Die Zahlen $2,3$ und $5$ sind Primzahlen. Somit ist die einzige Möglichkeit, dass das Produkt der $n$ erzielten Zahlen $2,3$ oder $5$ ist, dass $n-1$ -mal die Zahl $1$ gewürfelt wird, und einmal $2,3$ bzw. $5.$ Da es $n$ mögliche Würfe gibt, in denen die Zahl ungleich $1$ gewürfelt werden kann, folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $p$ somit:

$p=3\cdot n\cdot\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{n-1}$

Lösung Q5

Nullsetzen der Geradengleichung liefert folgendes lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&5-6k+2r&=&0 \\ \text{II}\quad&3k-r&=&0 \\ \text{II}\quad&4-9k+3r&=&0 \end{array}$

Aus Gleichung $\text{II}$ folgt direkt $r=3k.$ Einsetzen in z.B. Gleichung $\text{I}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} 5-6k+2\cdot3k&=&0 \\[5pt] 5&=&0 \end{array}$

Da das unabhängig von $k$ falsch ist, gibt es keinen Wert von $k$ sodass $(0\mid0\mid0)$ auf $g_k$ liegt.

Aufteilen des Stützvektors von $g_k$ in Werte unabhängig von $k$ und abhängig von $k$ liefert:

$\pmatrix{5\\0\\4}+k\cdot\pmatrix{-6\\3\\-9}$

Da der zweite Vektor das $(-3)$ -fache des Richtungsvektors von $g_k$ ist, wird jede Gerade $g_k$ mit $s=r-3k$ durch folgende Geradengleichung beschrieben:

$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{5\\0\\4}+s\cdot\pmatrix{2\\-1\\3}$

Damit sind alle Geraden $g_k$ identisch.

Lösung Q6

Alle Ebenengleichungen der Schar enthalten $z$ nicht. Somit stehen die Ebenen der Schar senkrecht zur $x$ - $y$ -Ebene.

Zwei Ebenen $E_{k_1}$ und $E_{k_2}$ der Schar sind parallel genau dann, wenn ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sind:

$\pmatrix{k_1\\2-k_1\\0}=a\cdot\pmatrix{k_2\\2-k_2\\0}$

Aus den ersten beiden Zeilen folgt:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&k_1&=& a\cdot k_2 \\ \text{II}\quad&2-k_1&=&a\cdot(2-k_2) \\ \end{array}$

Addieren von $\text{I}$ und $\text{II}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} 2&=&2a &\mid\;:2\\[5pt] 1&=&a \end{array}$

Der einzige mögliche Wert ist somit $a=1.$ Für diesen Wert sind die beiden Vektoren allerdings keine Vielfachen voneinander, sondern der gleiche Vektor und gehören somit zur gleichen Ebene. Zwei verschiedene Ebenen der Schar sind damit nicht parallel zueinander.

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