Aufgabe 3A

Ein dreieckiges Stück Papier wird entsprechend der Abbildung liegend in einem Koordinatensystem betrachtet. Es besitzt die Eckpunkte \(A(-3 \mid 0 \mid 0),\) \(B(3 \mid 0 \mid 0)\) und \(C(0 \mid 4 \mid 0).\) Die Punkte \(D(-1,5 \mid 2 \mid 0)\) und \(E(1,5 \mid  2\mid  0)\) liegen auf den Dreiecksseiten.
Das Dreieck wird entlang der Strecke \(\overline{DE}\) so gefaltet, dass der ursprüngliche Punkt \(C\) zur Spitze \(S(0 \mid 2 \mid 2)\) einer Pyramide mit der Grundfläche \(ABED\) wird.
a)
Stelle die Pyramide im Koordinatensystem der Abbildung grafisch dar.
Die Ebene \(F\), die die Seitenfläche \(SBE\) der Pyramide enthält, kann durch die Gleichung \(4x + 3y + 3z =12\) beschrieben werden.
Berechne den Winkel, den die Seitenfläche \(SBE\) mit der Grundfläche \(ABED\) einschließt.
Die Ursprungsgerade \(g\) verläuft durch den Punkt \(P(0\mid  3 \mid 1)\). Die Strecke \(u\) verläuft vom Punkt \(M(0\mid 1\mid 0)\) zur Pyramidenspitze \(S(0 \mid 2\mid  2)\).
Berechne, in welchem Verhältnis die Gerade \(g\) die Strecke \(u\) teilt.
(11 BE)
b)
Im Folgenden wird der Faltvorgang vom dreieckigen Stück Papier zur Pyramide betrachtet.
Begründe, dass sich bei diesem Faltvorgang der ursprüngliche Punkt \(C\) sowohl in der \(yz\)-Ebene als auch auf einer Kreisbahn bewegt.
(4 BE)
c)
Der Punkt \(D\) wird entlang der Strecke \(\overline{CA}\) verschoben.
Begründe, dass seine Koordinaten dabei durch \(D_k\left(-\dfrac{3}{5}k\,\bigg \vert \,4-\dfrac{4}{5}k\,\bigg \vert \,0\right)\) mit \(0\leq k\leq5\) beschrieben werden können.
Analog zum oben beschriebenen Faltvorgang wird das ursprüngliche Dreieck jetzt entlang der Strecke \(\overline{D_kE}\) gefaltet. Dabei wird der ursprüngliche Punkt \(C\) zur Spitze \(S_k\) einer Pyramide mit der Grundfläche \(ABD_kE.\)
Berechne den Wert für \(k\), für den die Pyramidenfläche \(S_kD_kE\) die Form eines Dreiecks mit einem rechten Winkel beim Punkt \(D_k\) hat.
(9 BE)