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Aufgabe 1B

Aufgaben
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Für die Gartenschau "Mathematischer Garten" wird die Gestaltung einer quadratischen Gartenfläche geplant. Diese soll durch einen Weg in eine Blumenfläche und eine Sträucherfläche aufgeteilt werden. Die Blumenfläche liegt nördlich des Weges. In der Planungsphase werden verschiedene Modelle der Gartenfläche mit einer Seitenlänge von einem Meter $(\text m)$ hergestellt. Der Weg wird dabei modellhaft durch Funktionsgraphen beschrieben. Alle zu berechnenden Größen beziehen sich auf die jeweiligen Modelle.
a)
Auf dem Weg von der westlichen zur östlichen Grenze der Gartenfläche gibt es zwei Punkte, an denen man genau in Richtung Osten läuft, und einen Punkt, an dem man von einer Rechtskurve in eine Linkskurve wechselt.
Berechne die Koordinaten dieser drei Punkte.
(11 BE)
b)
Eine geradliniger Weg soll von der südwestlichen Ecke der Gartenfläche ausgehen und weiter östlich ohne Knick wieder an den Weg aus dem obigen Modell anschließen.
Skizziere den geradlinigen Weg in der Abbildung 2.
Ermittle die Koordinaten des Anschlusspunktes.
(17 BE)
c)
Ein zweites Modell verwendet für den Weg, der von der westlichen zur östlichen Grenze der Gartenfläche verläuft, den Graphen einer Exponentialfunktion $g$ mit $g(x)=b\cdot e ^{k\cdot x},$ $0 \leq x \leq 1 ,$ $0 < b\leq 1, k> 0$. Dabei werden $x$ und $g(x)$ jeweils in Metern angegeben.
Erläutere, welchen Einfluss die Wahl der Parameter $b$ und $k$ auf den Schnittpunkt des Weges mit der westlichen Grenze der Gartenfläche hat.
Bestimme Werte für $b$ und $k$ so, dass die Gartenfläche in zwei flächeninhaltsgleiche Teilstücke aufgeteilt wird und der Weg durch die nordöstliche Ecke der Gartenfläche verläuft.
Für das Modell soll ein weiterer Weg angelegt werden. Sein Verlauf entsteht durch Spiegelung des Graphen von $g$ mit $b=\dfrac{1}{5}$ und $k=\dfrac{8}{5}$ an der Geraden zu $y=\dfrac{2}{5}$.
Bestimme eine zu diesem Weg passende Funktionsgleichung.
(11 BE)
#exponentialfunktion
d)
Bei gleicher Bodenbeschaffenheit verursacht die Pflege von Blumen und Sträuchern pro $m^2$ gleiche Kosten. Auf der Gartenfläche unterscheidet sich aber die Bodenbeschaffenheit der westlichen Hälfte von der der östlichen Hälfte. Dies hat zur Folge, dass die Pflege der Blumen und Sträucher pro $m^2$ für die westliche Hälfte doppelt so hohe Kosten verursacht wie für die östliche Hälfte.
Ermittle für das zweite Modell aus Aufgabenteil c) für den Fall $b=\frac{1}{4}$ und $k=1$, um welchen Faktor die Pflegekosten für die Blumen teurer sind als für die Sträucher.
(6 BE)
#cas
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Verlauf durch zwei Ecken nachweisen
Die Koordinaten der vier Ecken lauten im Modell $(0\mid 0),$ $(0\mid 1),$ $(1\mid 0)$ und $(1\mid 1).$
$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& 6\cdot 0^3 -9\cdot 0^2 +4\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] f(1) &=& 6\cdot 1^3 -9\cdot 1^2 +4\cdot 1 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
Der Weg verläuft im Modell also durch die beiden Eckpunkte $(0\mid 0)$ und $(1\mid 1).$
$\blacktriangleright$  Teilung der Fläche untersuchen
Eine der beiden Teilfächen wird durch die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse für $0\leq x \leq 1$ beschrieben. Den Inhalt dieser Fläche kannst du mit einem Integral berechnen.
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& 0,5\,[\text{m}^2] \end{array}$
$ A_1 = 0,5\,[\text{m}^2] $
Der Gesamtinhalt der Gartenfläche beträgt $1\,\text{m}^2.$ Der Weg teilt die Gartenfläche also in zwei flächeninhaltsgleiche Stücke.
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Punkte Richtung Osten berechnen
Die Punkte, an denen man genau in Richtung Osten läuft sind im Modell die Punkte, in denen der Graph von $f$ eine waagerechte Tangente besitzt. In diesen Punkten ist die Steigung des Graphen also Null.
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 6\cdot x^3 -9\cdot x^2 +4\cdot x \\[5pt] f'(x) &=& 18x^2 -18x +4 \\[5pt] f'(x) &=& 0 \\[5pt] 18x^2 -18x +4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :18 \\[5pt] x^2 -x +\frac{2}{9}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2} &=& -\frac{-1}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-1}{2} \right)^2 -\frac{2}{9}} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\pm \frac{1}{6} \\[5pt] x_1 &=& \frac{1}{2}- \frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2}+ \frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{2}{3}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] x_1 &=& \frac{1}{3}\\[5pt] x_2 &=& \frac{2}{3}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f\left(\frac{1}{3}\right) &=& 6\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 -9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 +4\cdot\frac{1}{3} \\[5pt] &=& \frac{2}{9} -1+\frac{4}{3} \\[5pt] &=& \frac{5}{9} \\[10pt] f\left(\frac{2}{3}\right) &=& 6\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 -9\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 +4\cdot\frac{2}{3} \\[5pt] &=& \frac{16}{9} -4+\frac{8}{3} \\[5pt] &=& \frac{4}{9} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f\left(\frac{1}{3}\right) &=& \frac{5}{9} \\[10pt] f\left(\frac{2}{3}\right) &=& \frac{4}{9} \end{array}$
Die beiden Punkte, an denen man genau Richtung Osten läuft, haben im Modell die Koordinaten $\left(\frac{1}{3} \mid \frac{5}{9} \right)$ und $\left(\frac{2}{3}\mid \frac{4}{9} \right).$
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes mit Kurvenwechsel berechnen
In dem Punkt, in dem man von einer Rechtskurve in eine Linkskurve wechselt befindet sich im Modell ein Wendepunkt des Graphen von $f.$
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &= 6x^3 -9x^2 +4x \\[5pt] f'(x) &= 18x^2 - 18x + 4 \\[5pt] f''(x) &= 36x -18 \\[5pt] f'''(x) &= 36 \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Wendestellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f''(x) &=& 0 \\[5pt] 36x -18 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+18 \\[5pt] 36x &=& 18 &\quad \scriptsize \mid\;:36 \\[5pt] x &=& \frac{1}{2} \end{array}$
$ x = \frac{1}{2} $
Da die Gleichung nur eine Lösung hat und in der Aufgabe angegeben ist, dass es einen Punkt mit dem gewünschten Wechsel gibt, muss das hinreichende Kriterium für Wendestellen nicht überprüft werden. Der gesuchte Punkt muss sich an dieser Stelle befinden.
3. Schritt: $y$-Koordinate berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f\left(\frac{1}{2}\right) &=& 6\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 -9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4\cdot\frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \end{array}$
$ f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} $
Der Punkt, in dem man von einer Rechts- in eine Linkskurve wechselt besitzt die Koordinaten $\left(\frac{1}{2}\mid \frac{1}{2}\right).$
#ableitung#cas#integral#wendepunkt
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
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Abb. 1: Skizze
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Abb. 1: Skizze
1. Schritt: Fläche des gesamten Rechtecks berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A_R &=& (1\,\text{m} - 0,6\,\text{m}) \cdot 1\,\text{m} \\[5pt] &=& 0,4\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_R =0,4\,\text{m}^2 $
2. Schritt: Schnittstelle bestimmen
Löse die Gleichung $f(x)=0,6$ mit dem solve-Befehl deines CAS:
Du erhältst: $x\approx 0,86$
3. Schritt: Integral bestimmen
Mit dem CAS erhältst du wieder:
$A_1= \displaystyle\int_{0,86}^{1}(f(x)-0,6)\;\mathrm dx \approx 0,02\,[\text{m}^2] $
$ A_1\approx 0,02\,[\text{m}^2] $
4. Schritt: Flächeninhalt bestimmen
$A = 0,4\,\text{m}^2 - 0,02\,\text{m}^2 = 0,38\,\text{m}^2$
Die Fläche, die mit rotblühenden Blumen bepflanzt werden soll, hat einen Flächeninhalt von ca. $0,38\,\text{m}^2.$
$\blacktriangleright$  Untersuchen, ob der Punkt nass wird
Der Punkt auf dem Weg wird nass, wenn der Abstand zum Punkt $B$ höchstens $0,25\,[\text{m}]$ beträgt:
$\begin{array}[t]{rll} d(W,B) &=& \left|\overrightarrow{WB} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{0,1\\0,2} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0,1^2 +0,2^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{0,05} \\[5pt] &\approx& 0,22\,[\text{m}] \end{array}$
$ d(W,B) \approx 0,22\,[\text{m}] $
Der Punkt $W(0,5\mid 0,5)$ auf dem Weg wird durch die Bewässerungsanlage also nass.
$\blacktriangleright$  Geradlinigen Weg skizzieren
Der geradlinige Weg wird durch eine Gerade modelliert, die durch den Koordinatenursprung verläuft. Da der geradlinige Weg knickfrei in den ersten Weg übergehen soll, muss diese Gerade eine Tangente an den Graphen von $f$ im Anschlusspunkt $P(x_P\mid f(x_P))$ sein.
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Abb. 2: Geradenliniger Weg
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Abb. 2: Geradenliniger Weg
$\blacktriangleright$  Anschlussstelle ermitteln
Für die Steigung der Geraden $t$ gilt aufgrund der Tangenteneigenschaft einerseits:
$m_t = f'(x_P) = 18x_P^2-18x_P +4 $
Da $t$ durch $P$ und den Koordinatenursprung verläuft gilt andererseits mit dem Differenzenquotienten:
$m_t = \dfrac{f(x_P) - 0}{x_P-0} = \dfrac{6x_P^3 -9x_P^2 +4x_P}{x_P} = 6x_P^2 -9x_P+4$
$ m_t =6x_P^2 -9x_P+4 $
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 18x_P^2-18x_P +4 &=& 6x_P^2 -9x_P+4 &\quad \scriptsize \mid\;-6x_P^2; +9x_P;-4 \\[5pt] 12x_P^2 -9x_P &=& 0 \\[5pt] x_P\cdot (12x_P -9) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_P=0 \\[5pt] 12x_P -9 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +9 \\[5pt] 12x_P &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; :12 \\[5pt] x_P &=& 0,75 \end{array}$
$ x_P = 0,75 $
$x_P=0$ würde dem Anfangspunkt der beiden Wege entsprechen und kann daher nicht gleichzeitig die Stelle sein, in der die beiden Wege sich erneut treffen.
Die $x$-Koordinate des Anschlusspunktes lautet $x_P= 0,75.$
#tangente#integral
c)
$\blacktriangleright$  Einfluss der Parameter erläutern
Die westliche Begrenzung der Gartenfläche liegt im Modell auf der $y$-Achse. Für den Schnittpunkt des Weges mit der westlichen Grenze der Gartenfläche gilt daher immer $x_S = 0.$
$y_S=g(0)= b\cdot \mathrm e^{-k\cdot 0} = b$
Der Parameter $k$ hat also keinen Einfluss auf den Schnittpunkt des Weges mit der westlichen Grenze. Der Parameter $b$ gibt die $y$-Koordinate des Schnittpunkts an, bestimmt also wie weit nördlich bzw. südlich der Schnittpunkt liegt.
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Eines der Teilstücke entspricht der Fläche zwischen dem Graphen von $g$ und der $x$-Achse. Es sind also $b$ und $k$ gesucht mit:
$\begin{array}[t]{rll} 0,5 &=& \displaystyle\int_{0}^{1}g(x)\;\mathrm dx \\[5pt] 0,5 &=& \displaystyle\int_{0}^{1}b\cdot\mathrm e^{-k\cdot x}\;\mathrm dx \\[5pt] 0,5 &=& \left[-\frac{b}{k}\cdot \mathrm e^{-k\cdot x} \right]_0^1 \\[5pt] 0,5 &=& -\frac{b}{k}\cdot \mathrm e^{-k\cdot 1} - \left(-\frac{1}{k}\cdot \mathrm e^{-k\cdot 0} \right) \\[5pt] 0,5 &=& -\frac{b}{k}\cdot \mathrm e^{-k} + \frac{b}{k} \\[5pt] \end{array}$
$ 0,5 = -\frac{b}{k}\cdot \mathrm e^{-k} + \frac{b}{k} $
Zudem soll der Weg durch die nordöstliche Ecke verlaufen. Also muss $g(1)=1$ sein:
$\begin{array}[t]{rll} g(1) &=& 1 \\[5pt] b\cdot \mathrm e^{k\cdot 1} &=& 1 \\[5pt] b\cdot \mathrm e^{k}&=& 1 \end{array}$
Du hast nun also folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 1 &=& b\cdot \mathrm e^{k} \\ \text{II}\quad& 0,5&=& -\frac{b}{k}\cdot \mathrm e^{-k} + \frac{b}{k} \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box} $
keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box} $
Mit deinem CAS erhältst du:
$b\approx 0,63$ und $k\approx 0,47$
Mit $b\approx 0,63$ und $k\approx 0,47$ wird die Gartenfläche in zwei inhaltsgleiche Teilstücke aufgeteilt und der Weg verläuft durch die nordöstliche Ecke.
$\blacktriangleright$  Passende Funktionsgleichung bestimmen
Die Gerade zu $y= \frac{2}{5}$ verläuft parallel zur $y$-Achse. Durch ein negatives Vorzeichen wird der Graph zunächst an der $y$-Achse gespiegelt. Anschließend muss er noch in $y$-Richtung verschoben werden, sodass er bei $y=\frac{3}{5}$ die $y$-Achse schneidet. Insgesamt erhält man dadurch:
$y= -\frac{1}{5}\cdot \mathrm e^{-\frac{8}{5}x} +\frac{4}{5}$
#cas#integral
d)
$\blacktriangleright$  Kostenfaktor ermitteln
1. Schritt: Größe der westlichen Sträucherfläche ermitteln
Die westliche Gartenfläche wird durch $0\leq x\leq 0,5$ beschrieben. Mit einem Integral ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} A_{S_w} &=& \displaystyle\int_{0}^{0,5}g(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{0,5}\frac{1}{4}\cdot \mathrm e^{x} \;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& \frac{\sqrt{e}-1}{4} \\[5pt] \end{array}$
$ A_{S_w} = \frac{\sqrt{e}-1}{4} $
2. Schritt: Größe der westlichen Blumenfläche ermitteln
Die gesamte Fläche ist $1\,\text{m}^2$ groß. Die westliche Hälfte ist also $0,5\,\text{m}^2 $ groß. Die Größe der westlichen Blumenfläche beträgt also:
$A_{B_w} = 0,5\,\text{m}^2- \frac{\sqrt{e}-1}{4}\,\text{m}^2 =\frac{3-\sqrt{e}}{4}\,\text{m}^2$
$ A_{B_w} =\frac{3-\sqrt{e}}{4}\,\text{m}^2 $
3. Schritt: Größe der östlichen Sträucherfläche ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} A_{S_o} &=& \displaystyle\int_{0,5}^{1}g(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0,5}^{1}\frac{1}{4}\cdot \mathrm e^{x} \;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& \frac{\mathrm e-\sqrt{\mathrm e}}{4} \\[5pt] \end{array}$
$ A_{S_o} = \frac{\mathrm e-\sqrt{\mathrm e}}{4} $
4. Schritt: Größe der östlichen Blumenfläche ermitteln
Die Größe der östlichen Blumenfläche beträgt also:
$A_{B_o} = 0,5\,\text{m}^2 - \frac{\mathrm e-\sqrt{\mathrm e}}{4}\,\text{m}^2 = \frac{\sqrt{\mathrm e}-\mathrm e+2}{4}\,\text{m}^2 $
$ A_{B_o} =\frac{\sqrt{\mathrm e}-\mathrm e+2}{4}\,\text{m}^2 $
5. Schritt: Kostenfaktor der Blumenfläche berechnen
Bezeichne die Kosten für die Pflege der östlichen Hälfte pro $\,\text{m}^2$ mit $x.$ Dann ergibt sich für die Blumenfläche:
$\begin{array}[t]{rll} K_B &=& x\cdot A_{B_o} + 2\cdot x \cdot A_{B_w} \\[5pt] &=& x\cdot \frac{\sqrt{\mathrm e}-\mathrm e+2}{4}\,\text{m}^2 + 2\cdot x \cdot \frac{3-\sqrt{e}}{4}\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& x\cdot \frac{-\sqrt{\mathrm e}-\mathrm e+8}{4}\,\text{m}^2\\[5pt] \end{array}$
$ K_B =x\cdot \frac{-\sqrt{\mathrm e}-\mathrm e+8}{4}\,\text{m}^2 $
6. Schritt: Kostenfaktor der Sträucherfläche berechnen
$\begin{array}[t]{rll} K_S &=& x\cdot A_{S_o} + 2\cdot x \cdot A_{S_w} \\[5pt] &=& x\cdot \frac{\mathrm e-\sqrt{\mathrm e}}{4}\,\text{m}^2 + 2\cdot x \cdot \frac{\sqrt{e}-1}{4}\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& x\cdot \frac{\mathrm e+\sqrt{\mathrm e}-2}{4}\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ K_S=x\cdot \frac{\mathrm e+\sqrt{\mathrm e}-2}{4}\,\text{m}^2 $
7. Schritt: Faktor berechnen
$\dfrac{K_B}{K_S} = \dfrac{x\cdot \frac{-\sqrt{\mathrm e}-\mathrm e+8}{4}\,\text{m}^2}{x\cdot \frac{\mathrm e+\sqrt{\mathrm e}-2}{4}\,\text{m}^2} \approx 1,53 $
$ \dfrac{K_B}{K_S}\approx 1,53 $
Die Pflege der Blumen ist also um den Faktor von ca. $1,53$ teurer als die Pflege der Sträucher.
#integral#cas
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