Aufgabe 2A
a)
Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit

dafür berechnen, dass der Spieler mit zwei Würfen die Punktzahl

erreicht. Ein Spieler kann hierbei nur die Punktzahl

erreichen, wenn er eine

und anschließend eine

würfelt. Falls der Spieler zuerst eine

würfelt, hätte der Spieler gewonnen und das Spiel wäre beendet.
Die einzige Möglichkeit ist somit, dass der Spieler zuerst eine

würfelt und anschließend eine

. Die Wahrscheinlichkeit, eine

zu würfeln, liegt hierbei bei

und eine

zu würfeln bei

. Somit ergibt sich mit der Pfadregel folgende Wahrscheinlichkeit:
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler mit zwei Würfen die Punktzahl

erreicht,

.
b)
-Werte begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass

nur die Werte

,

,

oder

annehmen kann.

gibt hierbei den an den Spieler ausgezahlten Betrag in Euro an.
Der Spieler kann in einem Spiel verlieren oder gewinnen. Verliert der Spieler, bekommt er

Euro ausgezahlt. Gewinnt der Spieler, bekommt er pro Wurf in diesem Spiel

Euro ausgezahlt. Hierbei ist zu beachten, dass ein Spieler nur dann gewinnt, wenn er genau die Punktzahl

erreicht. Es ist also zu überlegen, welche Möglichkeiten es gibt, genau die Punktzahl

zu erreichen.
Eine Möglichkeit besteht darin, dass der Spieler beim ersten Wurf die Punktzahl

würfelt. Somit würde der Spieler einen Betrag von

Euro ausgezahlt bekommen, da er nur einmal gewürfelt hat.
Eine weitere Möglichkeit ist, dass der Spieler zweimal die Punktzahl

würfelt. Somit würde der Spieler

Euro ausgezahlt bekommen, da er zweimal gewürfelt hat.
Die letzte Möglichkeit ist, dass der Spieler fünfmal die Punktzahl

würfelt. Dadurch würde der Auszahlungsbetrag auf

Euro ansteigen.
Dies sind alle Möglichkeiten, die für den Auszahlungsbetrag auftreten können. Deshalb kann

nur die Werte

,

,

oder

annehmen.
Begründen, dass das Spiel nicht fair ist
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass das Spiel nicht fair ist. Dazu muss der Erwartungswert berechnet werden. Der Erwartungswert lässt sich mit folgender Formel berechnen:
E(X) = ∑i=1n ki · P(X=ki) = k₁·P(X=k₁) + k₂·P(X=k₂) + … + kₙ·P(X=kₙ)

bezeichnet hierbei den ausgezahlten Betrag in Euro. Zuerst wird der Erwartungswert für den ausgezahlten Betrag berechnet. Um zu begründen, dass das Spiel nicht fair ist, wird anschließend noch der Einsatz von

Euro abgezogen. Damit das Spiel fair ist, muss

gelten.
Für den Erwartungswert des Spiels folgt mit der angegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung und dem Einsatz

:
Somit beträgt der Erwartungswert

und dies ist ungleich Null. Deshalb ist das Spiel nicht fair.
Auszahlungsbetrag verändern
In dieser Teilaufgabe sollst du untersuchen, ob bei einem unveränderten Einsatz von

der Auszahlungsbetrag pro Wurf so verändert werden kann, dass das Spiel fair ist. Bezeichne hierbei den Auszahlungsbetrag pro Wurf mit

. Nun wird der Auszahlungsbetrag pro Wurf so abgeändert, dass

gilt. Stelle dazu den Erwartungswert in Abhängigkeit des Auszahlungsbetrags dar und löse nach

auf.
Somit gilt: Für einen Auszahlungsbetrag von

ist das Spiel fair.
c)
Wahrscheinlichkeit bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Spieler von

Spielen mindestens

und höchstens

gewinnt. Somit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit

. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler verliert, liegt bei

. Entsprechend gilt für die Gewinnwahrscheinlichkeit

(Gegenereignis):
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann mit der Binomialverteilung berechnet werden. Man kann schreiben:
Zudem ist gegeben, dass der Spieler insgesamt

Spiele spielt. Verwende den binomcdf-Befehl deines CAS. Diesen findest du unter
5: Wahrscheinlichkeiten → 5: Verteilungen → E: Binomial Cdf.
Für die Wahrscheinlichkeiten folgt mit deinem CAS:
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler von

Spielen mindestens

und höchstens

gewinnt,

.
Wahrscheinlichkeit erläutern
In dieser Teilaufgabe sollst du erläutern, welche Wahrscheinlichkeit mit dem Term

berechnet werden kann. Der Term

gibt hierbei die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Spieler von

Spielen einmal verliert und

-mal gewinnt. Dies lässt sich auch durch die folgende Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei einer Binomialverteilung verdeutlichen:
In diesem Fall gilt

,

und

.
Der gesamte Term

bezeichnet das Gegenereignis des Terms

. Somit berechnet der gegebene Term die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler von

Spielen nicht genau einmal verliert und nicht

-mal gewinnt.
d)
Gleichung herleiten
In dieser Aufgabe sollst du eine Gleichung zur Bestimmung der Anzahl aller Kugeln in einer Urne herleiten. Hierfür ist gegeben, dass sich neben anderen Kugeln genau fünf gelbe Kugeln befinden. Außerdem ist bekannt, dass wenn zwei Kugeln gleichzeitig aus der Urne gezogen werden, die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe zu bekommen,

beträgt. Zur Hilfe kann ein zweistufiges Baumdiagramm mit den Pfaden „gelb“ oder „nicht gelb“ gezeichnet werden.
Bezeichne die Gesamtanzahl aller Kugeln in der Urne mit

. Somit folgt für die Anzahl aller nicht gelben Kugeln

, da in der Urne genau

gelbe Kugeln sind. Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen, d. h. beim zweiten Ziehen befinden sich nur noch

Kugeln in der Urne.
Das Baumdiagramm mit den einzelnen Wahrscheinlichkeiten ergibt sich dann wie folgt:
Abb. 3: Baumdiagramm
Gegeben ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine der beiden gezogenen Kugeln gelb ist. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten: zuerst „nicht gelb“, dann „gelb“ oder zuerst „gelb“, dann „nicht gelb“.
Für die Wahrscheinlichkeit

, dass beim Ziehen von zwei Kugeln genau eine gelb ist, folgt:
Da

gilt, folgt die Gleichung

zur Bestimmung der Gesamtanzahl

der Kugeln in der Urne.
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© 2016 - SchulLV.
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