SchulLV

Aufgabe 1A

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb R$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \dfrac{1}{a^3} x^3 - \dfrac{1}{a} x^2 + x$ und $a \in \mathbb{R}^+$ .

Skizziere den Graphen von $f_4$ in Abbildung 1.

Gib die Extrempunkte von $f_4$ an.

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Abbildung 1

(5 BE)

Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_1$ und $f_4.$

Weise nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt.

(5 BE)

Die Gleichung $f_a(x) = 0$ hat in Abhängigkeit von $a$ die Lösungen $\dfrac{a^2 - \sqrt{a^3 \cdot (a - 4)}}{2}$ und $0$ und $\dfrac{a^2 + \sqrt{a^3 \cdot (a - 4)}}{2}.$

Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ an und begründe deine Angabe anhand der obigen Terme.

(6 BE)

Der Graph jeder Funktion $f_a$ hat genau einen Wendepunkt.

Bestimme den Wert von $a$ zu dem Wendepunkt mit der größten $y$ -Koordinate.

(5 BE)

Für ein Umweltschutzprojekt nehmen zwei Unterwasserdrohnen $U_1$ und $U_2$ in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vor. Sie bewegen sich nur in vertikaler Richtung, d.h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeiten werden für $0 \leq t \leq 30$ durch die in $\mathbb R$ definierten Funktionen $v$ bzw. $w$ beschrieben, wobei gilt:

$v(t) = -\dfrac{6}{25} t \cdot (4t - 25) \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{5}t} \quad$ und $\quad w(t) = \dfrac{1}{216} t^3 - \frac{1}{6} t^2 + t$

Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten. $v(t)$ ist die Geschwindigkeit von $U_1$ in Meter pro Minute und $w(t)$ ist die Geschwindigkeit von $U_2$ in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.

Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ und interpretiere die Werte im Sachkontext.

(4 BE)

Mit $\( v$ wird die erste Ableitungsfunktion von $v$ bezeichnet. Innerhalb eines bestimmten Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt $t$ die folgende Aussage: $v(t) \lt 0$ und $\( v$

Interpretiere dies in Bezug auf die Bewegung von $U_1$ in diesem Zeitraum.

(3 BE)

Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U_1$ zur Wasseroberfläche des Sees 10 Meter.

Ermittle den Abstand von $U_1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn.

(6 BE)

$U_2$ ist zu Beobachtungsbeginn 5 Meter tiefer als $U_1$ und steigt langsamer als $U_1$ . Der Graph in Abbildung 2 zeigt für die ersten Minuten des Beobachtungszeitraums die zeitliche Entwicklung des vertikalen Abstands der beiden Unterwasserdrohnen zueinander. Im dargestellten Bereich hat der Graph nur einen Hochpunkt $H(t_H \mid y_H).$

Erläutere, wie man $t_H$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln kann, und gib einen Term zur Berechnung von $y_H$ an.

Abbildung 2

(6 BE)

Aufgabe 1B

Die zeitliche Entwicklung der Blutalkoholkonzentration (BAK) kann für eine bestimmte Person nach dem Verzehr von zwei Gläsern Wein durch die auf $\mathbb R$ definierte Funktion $f$ mit $f(t) = 1,081 \cdot (1 - \mathrm{e}^{-t}) - 0,15 \cdot t$ beschrieben werden. Dabei gibt $t$ die Zeit nach dem Trinken in Stunden an und $f(t)$ die BAK in Gramm pro Kilogramm $\left(\frac{\text{g}}{\text{kg}}\right).$ Es soll vereinfacht davon ausgegangen werden, dass die gesamte Menge Wein auf einmal konsumiert wird.

Gib die Nullstellen von $f$ an.

Begründe, dass das Intervall $[0;7,2]$ eine angemessene Einschränkung des Definitionsbereichs der Funktion $f$ für den Sachzusammenhang ist.

(3 BE)

Berechne die maximale BAK der betrachteten Person.

Bei einer BAK von $0,5 \,\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ oder mehr darf die Person in Deutschland kein Auto mehr fahren.

Bestimme den Zeitraum, in dem die Person nicht Auto fahren darf.

(6 BE)

Mit Hilfe einer linearen Funktion können Näherungswerte für die BAK berechnet werden.

Für jede Person ergibt sich je nach individuellen Eigenschaften und konsumierter Alkoholmenge eine andere lineare Funktion. Der $y$ -Achsenabschnitt des Graphen der linearen Funktion wird als theoretische maximale BAK bezeichnet.

Für die betrachtete Person wird die auf $\mathbb R$ definierte Funktion $h$ mit $h(t)=1,081-0,15\cdot t$ verwendet. Dabei beschreibt $t$ die Zeit nach dem Trinken in Stunden und $h(t)$ Näherungswerte der BAK in $\frac{\text{g}}{\text{kg}}.$

Zeige, dass die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person $1,081\,\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ beträgt.

Zur Bestimmung der linearen Funktion für eine zweite Person werden zwei Messungen durchgeführt: 4 Stunden nach dem Verzehr beträgt die BAK $0,48 \,\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ und weitere 30 Minuten später $0,39 \,\frac{\text{g}}{\text{kg}}.$

Berechne damit die theoretische maximale BAK der zweiten Person.

(5 BE)

Begründe mit Hilfe des Terms von $f ,$ dass die Werte der BAK der ersten betrachteten Person zu jedem Zeitpunkt kleiner sind als ihre theoretische maximale BAK.

(3 BE)

Zeige, dass $f$ eine Lösung der Differenzialgleichung

$\(f$

mit $k=1,$ $G=1,081$ und $m=0,15$ ist.

(4 BE)

Für verschiedene Personen ergeben sich individuelle zeitliche Verläufe der BAK.

Für $0 \lt m \lt 1,081$ werden die auf $\mathbb R$ definierten Funktionen $f_m$ mit $f_m(t) = 1,081 \cdot (1 - \mathrm e^{-t}) - m \cdot t$ betrachtet. $t$ beschreibt die Zeit nach dem Trinken in Stunden und $f_m(t)$ die BAK in $\frac{\text{g}}{\text{kg}}.$

Bestimme alle Werte von $m ,$ so dass die BAK zu keinem Zeitpunkt den Wert von $0,5 \,\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ überschreitet.

(7 BE)

Unabhängig vom Sachkontext wir die auf $\mathbb R$ definierte Funktionenschar $p_a$ für $a\gt 0$ betrachtet mit $p_a(x)=2\cdot(1-\mathrm e^{-a\cdot x})-\dfrac{1}{5}\cdot x.$

Zeige, dass jede Funktion der Schar ein lokales Maximum an der Stelle $x = \frac{\ln(10 \cdot a)}{a}$ hat.

Begründe, dass die $x$ -Koordinaten der Hochpunkte für $a \gt \dfrac{\mathrm e}{10}$ mit wachsenden Werten von $a$ kleiner werden.

(7 BE)

Der Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von $p_{0,5}$ und $p_3$ auf dem Intervall $[0;1]$ soll an der Stelle $u$ durch eine Parallele zur $y$ -Achse halbiert werden.

Bestimme $u .$

(5 BE)