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Pflichtteil

Aufgaben
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Aufgabe P1

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebenen $E$ mit
$E: \overrightarrow{x} =\pmatrix{1\\-1\\5}+s\cdot\pmatrix{1\\1\\-1}+t\cdot\pmatrix{2\\3\\-4}$, $s\in\mathbb{R}$,$t\in\mathbb{R}$
$ E: \overrightarrow{x} = … $
und
$F$ mit $-x+2y+z=1$ gegeben.
a)
Gib die Koordinaten eines Punktes an, der in $F$ liegt.
(1 BE)
b)
Zeige, dass $F$ parallel zu $E$ ist.
(2 BE)
c)
Gib eine Gleichung einer Ebene an, die senkrecht zu $F$ ist und den Koordinatenursprung enthält.
(2 BE)

Aufgabe P2

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0“ beschriftet, einer mit „1“ und einer mit „2“ , die beiden anderen Sektoren sind mit „9“ beschriftet.
a)
Das Glücksrad wird viermal gedreht.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden.
(2 BE)
b)
Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens $11$ beträgt.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool

Aufgabe P3

#zentraleraufgabenpool
a)
Zeige, dass einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, die $x$-Koordinate $\frac{1}{2}$ hat.
(1 BE)
b)
Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f,$ die $x$-Achse und die Gerade $g$ einschließen.
(4 BE)

Aufgabe P4

Gegeben ist die Parabel zu $f(x)=x^2 \, , \, x\in\mathbb{R}$ , und die Geradenschar zu $g_m(x)=m\cdot x$, $x\in\mathbb{R}\, , \, m\geq 1$.
#funktionenschar
a)
Die Parabel zu $f$ hat mit jeder Geraden der Schar zwei Schnittpunkte.
Zeige, dass diese Schnittpunkte die $x$-Koordinaten $x=0$ und $x=m$ haben.
(2 BE)
b)
Die Parabel zu $f$ schließt mit jeder Geraden der Schar eine Fläche ein, die um die $x$-Achse rotiert. Für jeden Wert von $m$ bezeichnet $V_m$ das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.
Bestimme $V_m$.
(4 BE)
#rotationsvolumen

Aufgabe P5

#ableitung#exponentialfunktion
a)
Untersuche, ob der Graph von $f$ einen Extrempunkt hat.
(2 BE)
#extrempunkt
b)
Untersuche, ob der Graph von $f$ einen Wendepunkt hat.
(3 BE)
#wendepunkt
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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Aufgabe P1

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
$P(1\mid -1\mid 4)$ liegt beispielsweise in $F.$
b)
$\blacktriangleright$  Parallelität zeigen
Aus der Ebenengleichung von $F$ lässt sich ein Normalenvektor $\overrightarrow{n}_F = \pmatrix{-1\\2\\1}$ ablesen.
Da dieser senkrecht auf $F$ steht, muss er senkrecht zu den beiden Spannvektoren von $E$ stehen:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-1\\2\\1}\circ \pmatrix{1\\1\\-1} &=& -1\cdot 1 + 2\cdot 1 +1\cdot (-1) \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \pmatrix{-1\\2\\1}\circ \pmatrix{2\\3\\-4} &=& -1\cdot 2 + 2\cdot 3 +1\cdot (-4) \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-1\\2\\1}\circ \pmatrix{1\\1\\-1} &=& 0 \\[10pt] \pmatrix{-1\\2\\1}\circ \pmatrix{2\\3\\-4} &=& 0 \\[10pt] \end{array}$
Das Skalarprodukt des Normalenvektors von $F$ mit den beiden Spannvektoren der Ebenengleichung von $E$ ist jeweils Null. Der Normalenvektor von $F$ steht also senkrecht auf den beiden Spannvektoren von $E.$ Die beiden Ebenen $E$ und $F$ sind daher parallel.
c)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung angeben
Da die Spannvektoren von $E$ senkrecht zum Normalenvektor von $F$ verlaufen, kannst du einen von ihnen als Normalenvektor der neuen Ebene verwenden.
Du erhältst so beispielsweise:
$G:\, x+y-z = 0$

Aufgabe P2

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p &=& \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}\\[5pt] &=& \frac{2}{625} \\[5pt] \end{array}$
$ p=\frac{2}{625} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{625}$ werden die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ genau in der angegebenen Reihenfolge erzielt.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Die Summe der beiden erzielten Zahlen kann nur dann mindestens $11$ betragen, wenn es sich bei den erzielten Zahlen um eine $9$ und eine $2$ oder um eine $9$ und eine $9$ handelt. Mit den Pfadregeln folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p &=& \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}\\[5pt] &=& \frac{8}{25} \\[5pt] \end{array}$
$ p=\frac{8}{25} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{8}{25}$ beträgt die Summe der beiden erzielten Zahlen mindestens $11.$

Aufgabe P3

a)
$\blacktriangleright$  Schnittstelle zeigen
Damit sich der Graph von $f$ und $g$ an der Stelle $x$ schneiden, muss $f(x) = -3$ gelten:
$\begin{array}[t]{rll} -3 &=& f(x) \\[5pt] -3 &=& 1-\frac{1}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -4 &=& -\frac{1}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(-x^2\right) \\[5pt] 4x^2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x^2 &=& \frac{1}{4} \\[5pt] x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$
Der Graph von $f$ und die Gerade $g$ schneiden sich also in zwei Punkten, einer von ihnen besitzt die $x$-Koordinate $\frac{1}{2}.$
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt rechnerisch bestimmen
Anhand der Skizze in Abbildung 1 kannst du die betrachtete Fläche in drei Teilstücke aufteilen. Wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur $y$-Achse sind die beiden grünen Flächen gleichgroß.
Fläche
Abb. 1: Skizze
Fläche
Abb. 1: Skizze
Sowohl die Nullstellen von $f$ als auch die Schnittstellen von $f$ und $g$ sind dir bekannt. Du kannst also den Inhalt $A_1$ der rechten grünen Fläche mit einem Integral über $f$ in den Grenzen $a=0,5$ und $b=1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}\left(1-\frac{1}{x^2} \right)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left| \left[x+\frac{1}{x} \right]_{0,5}^1 \right| \\[5pt] &=& 1+\frac{1}{1} - \left(0,5+\frac{1}{0,5} \right)\\[5pt] &=& 0,5 \end{array}$
$ A_1 = 0,5 $
Bei der schraffierten Fläche handelt es sich um ein Rechteck mit den Seitenlängen $1$ und $3.$ Der zugehörige Flächeninhalt ist also:
$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& 1\cdot 3 \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich zu:
$A = 2\cdot A_1 +A_2 = 2\cdot 0,5 + 3 = 4$
Die Fläche, die der Graph von $f,$ die Gerade $g$ und die $x$-Achse einschließen, besitzt einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten.

Aufgabe P4

a)
$\blacktriangleright$  $x$-Koordinaten der Schnittpunkte zeigen
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& g_m(x) \\[5pt] x^2 &=& m\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; -m\cdot x \\[5pt] x^2 -m\cdot x &=& 0 \\[5pt] x\cdot (x-m)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 = 0\\[5pt] x_2 -m &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +m \\[5pt] x_2 &=& m \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 0 \\[5pt] x_2 &=& m \end{array}$
Die Parabel $f$ hat mit den Geraden der Schar $g_m$ jeweils die beiden Schnittpunkte mit den $x$-Koordinaten $x_1=0$ und $x_2 = m.$
b)
$\blacktriangleright$  Volumen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} V_m&=& \pi\cdot \displaystyle\int_{0}^{m}\left(g_m(x)\right)^2\;\mathrm dx - \pi\cdot \displaystyle\int_{0}^{m}\left(f(x)\right)^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi\cdot \displaystyle\int_{0}^{m}\left(\left(g_m(x)\right)^2-\left(f(x)\right)^2\right)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \pi\cdot \displaystyle\int_{0}^{m}\left(\left(m\cdot x\right)^2-\left(x^2\right)^2\right)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \pi\cdot \displaystyle\int_{0}^{m}\left(m^2\cdot x^2-x^4\right)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \left[\frac{1}{3}\cdot m^2\cdot x^3-\frac{1}{5}\cdot x^5 \right]_0^m\\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot m^2\cdot m^3-\frac{1}{5}\cdot m^5 - \left( \frac{1}{3}\cdot m^2\cdot 0^3-\frac{1}{5}\cdot 0^5 \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot m^5-\frac{1}{5}\cdot m^5 \\[5pt] &=& \frac{2}{15}m^5 \\[5pt] \end{array}$
$ V_m = \frac{2}{15}m^5 $

Aufgabe P5

a)
$\blacktriangleright$  Graphen auf Extrempunkt untersuchen
Damit der Graph von $f$ an einer Stelle $x_E$ einen Extrempunkt besitzt, muss das notwendige Kriterium $f'(x_E)=0$ für diese Stelle $x_E$ erfüllt sein.
Es ist $f'(x)= \mathrm e^{g(x)} >0$ für alle $x\in \mathbb{R}.$ Es gibt also keine Stelle $x,$ an der das notwendige Kriterium für Extremstellen von $f$ erfüllt ist. Der Graph von $f$ besitzt keinen Extrempunkt.
b)
$\blacktriangleright$  Graphen auf Wendepunkt untersuchen
Wendestellen von $f$ entsprechen Extremstellen der zugehörigen ersten Ableitungsfunktion $f'.$
Es ist $f'(x) = \mathrm e^{g(x)}.$ Der Abbildung ist zu entnehmen, dass der Graph von $g$ einen Hochpunkt besitzt. Da die Funktion $\mathrm e^x$ streng monoton wachsend ist, muss daher auch der Graph zu $\mathrm e^{g(x)}$ einen Hochpunkt besitzen.
Damit besitzt der Graph von $f$ einen Wendepunkt.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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