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Aufgabe 3B

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Ein quaderförmiger Discoraum hat die Ausmaße $15\,\text{m}$, $20\,\text{m}$ und $6\,\text{m}$.
Am Ort $L\,(3\mid 2\mid 5)$ befindet sich ein Laser, der Laserlicht in verschiedene Richtungen aussenden kann. Die Richtungen des Laserlichts lassen sich einstellen.
Alle Koordinaten haben die Einheit Meter.
a)  Das Laserlicht soll in der Disco im Punkt $P\,(7\mid 20\mid 4)$ auf die rechte Wand auftreffen.
Bestimme den für die Einstellung des Laserstrahls notwendigen Richtungsvektor.
Wird die Richtung des Laserstrahls durch den Vektor $\begin{pmatrix}4\\10\\-1\end{pmatrix}$ eingestellt, so trifft das Laserlicht im Punkt $Q$ auf die rechte Wand auf.
Bestimme die Koordinaten des Punktes $Q$. (Zur Kontrolle: $Q\,(10,2\mid 20\mid 3,2))$
Berechne den Abstand des Punktes $Q$ vom Laser.
(9P)
Der Laser wird so eingestellt, dass alle Laserstrahlen in der Ebene $E$ mit
$E: \vec{x}= \begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}2\\0\\-0,5\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}$ verlaufen.
b)  Alle vom Laserstrahl auf der rechten Wand getroffenen Punkte liegen auf einer Geraden.
Zeige, dass diese Gerade durch $g: \vec{x}= \begin{pmatrix}10\\20\\3,25\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}-5\\0\\1,25\end{pmatrix}$ angegeben werden kann.
Aus Sicherheitsgründen wird gefordert, dass der Laserstrahl die rechte Wand nicht unterhalb einer Höhe von $2$ Metern treffen darf.
Untersuche, ob diese Forderung eingehalten wird.
(9P)
c)  Der Laserstrahl beschreibt bei geeigneter Einstellung auf der vorderen Wand eine Strecke, die vom Punkt $A\,(15\mid 4\mid 2)$ bis zum Punkt $B\,(15\mid 18\mid 2)$ verläuft.
Bestimme für den Richtungsvektor \begin{pmatrix}2\cdot k\\10\\-0,5\cdot k\end{pmatrix} des Laserstrahls einen Wert für $k$ so, dass der Laserstrahl mit der Strecke durch $A$ und $B$ einen Winkel von $60°$ einschließt.
(6P)
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