Stochastik

Aufgabe 2A

Ein Institut für Ernährungsforschung untersucht die Essgewohnheiten von in Deutschland lebenden Personen einer bestimmten Altersgruppe. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass sich $30 \,\%$ der Personen der betrachteten Gruppe häufig von Fertiggerichten ernähren.

Es werden 500 Personen der betrachteten Gruppe zufällig ausgewählt.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens ein Viertel dieser Personen häufig von Fertiggerichten ernährt.

(3 BE)

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term

$1−\displaystyle\sum_{k=55}^{200} \binom{200}{k} \cdot 0,3^k \cdot 0,7^{200−k}$

berechnet werden kann.

Gib dieses Ereignis an.

(4 BE)

Neben der Ernährung durch Fertiggerichte wird auch der Verzehr von Zucker untersucht. Der Anteil der Personen der betrachteten Gruppe, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren und zu viel Zucker verzehren, beträgt $24 \,\%$ . Der Anteil der Personen, die zu viel Zucker verzehren, ist unter denjenigen, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren, doppelt so groß wie unter denjenigen, die sich nicht häufig von Fertiggerichten ernähren.

Aus der betrachteten Gruppe wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden folgende Ereignisse:

$F:$ „Die Person ernährt sich häufig von Fertiggerichten.“
$Z:$ „Die Person verzehrt zu viel Zucker.“

Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person zu viel Zucker verzehrt und sich nicht häufig von Fertiggerichten ernährt, $28 \,\%$ beträgt.

(4 BE)

Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

(3 BE)

Das Institut untersucht den Anteil $p$ der Personen der betrachteten Gruppe, die einen bestimmten zuckerfreien Müsliriegel gegenüber einem vergleichbaren zuckerhaltigen Müsliriegel bevorzugen.

Aufgrund früherer Untersuchungen wird von einem Anteil $p$ von $35 \,\%$ ausgegangen. Bei einer Umfrage unter 200 Personen der betrachteten Gruppe gaben 86 Personen an, den zuckerfreien Müsliriegel zu bevorzugen. Abgebildet sind die Graphen der für $p \in [0;1]$ definierten Funktionen

$f: p \mapsto p - 1,96 \cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot(1−p)}{200}}$ und $g: p \mapsto p + 1,96 \cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot(1−p)}{200}}.$

Graph mit Achsen y und p, zeigt zwei Punkte a und b sowie eine gekrümmte Linie.

Abbildung 1

Gib die Werte von $a$ und $b$ an.

Interpretiere das Ergebnis der Umfrage im Hinblick auf die Bedeutung des Intervalls $a \leq y \leq b$ (vgl. Abbildung 1).

(4 BE)

Nach der Durchführung einer Werbemaßnahme für den zuckerfreien Müsliriegel möchte das Institut Anhaltspunkte darüber gewinnen, wie groß der Anteil $p$ inzwischen ist. In der betrachteten Gruppe wurden daraufhin $n$ Personen befragt. Die Auswertung ergab, dass etwa $61 \,\%$ der befragten Personen den zuckerfreien Riegel bevorzugen. Das zugehörige $95 \,\%$ -Konfidenzintervall, dessen Ränder mit den Gleichungen

$h = p_\text{max} - 1,96 \cdot \sqrt{\dfrac{p_\text{max}(1−p_\text{max})}{n}}$ und $h = p_\text{min} + 1,96 \cdot \sqrt{\dfrac{p_\text{min}(1−p_\text{min})}{n}}$

ermittelt werden, besitzt eine Länge, die kleiner als $0,1$ ist.

Zeige, dass der kleinstmögliche Wert von $n$ zwischen 300 und 400 liegt.

(7 BE)

Aufgabe 2B

Bei einer statistischen Erhebung werden in einer deutschen Großstadt die privaten Haushalte mit mindestens einem Kind im Vorschulalter betrachtet. Diese werden im Folgenden als „junge Haushalte“ bezeichnet. Es wird festgestellt, dass $60 \,\%$ der jungen Haushalte mit mindestens einem Pkw ausgestattet sind und $8 \,\%$ der jungen Haushalte mit mindestens einem Lastenrad. In $14 \,\%$ der jungen Haushalte ohne Pkw ist mindestens ein Lastenrad vorhanden.

Stelle den beschriebenen Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

(4 BE)

Beurteile für diese Großstadt die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter junger Haushalt mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet ist, ist bei einem jungen Haushalt ohne Pkw mehr als dreimal so groß wie bei einem jungen Haushalt mit mindestens einem Pkw.

(4 BE)

300 junge Haushalte dieser Großstadt werden zufällig ausgewählt.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 20 und höchstens 30 dieser Haushalte mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet sind.

(3 BE)

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term

$1−\displaystyle\sum_{k=201}^{300} \binom{300}{k} \cdot 0,6^k \cdot 0,4^{300−k}$

berechnet werden kann.

(3 BE)

Betrachtet werden Vorderrad- und Hinterradreifen für Lastenräder. Die Laufleistung gibt die Gesamtstrecke an, bis ein Reifen unbrauchbar wird. Die Zufallsgröße $V$ beschreibt die Laufleistung in Kilometern (km) der Vorderradreifen eines Herstellers, die Zufallsgröße $H$ die Laufleistung der Hinterradreifen desselben Herstellers. Beide Zufallsgrößen sind normalverteilt. Es gilt:

$\mu_V = 6800 \, \text{km}$ und $\sigma_V = 530 \, \text{km}$

$\mu_H = 4600\,\text{km}$ und $\sigma_H = 480 \, \text{km}$

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen eine Laufleistung hat, die um höchstens 600 km vom Erwartungswert für diese Laufleistung abweicht.

(3 BE)

Begründe, dass die folgende Aussage für die Vorderrad- und Hinterradreifen wahr ist:

Die Laufleistung, die ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen gemäß dem Modell mit der Wahrscheinlichkeit von $90 \,\%$ übertreffen wird, wird ein zufällig ausgewählter Hinterradreifen nahezu mit Sicherheit unterschreiten.

(4 BE)

Die Zufallsgröße $Z$ beschreibt die Laufleistung in km der Hinterradreifen eines anderen Herstellers. $Z$ wird als normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu_Z$ und der Standardabweichung $\sigma_Z$ angenommen.

Die Abbildung stellt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = P(Z \leq 1000 \cdot x)$ dar.

Ermittle die Werte von $\mu_Z$ und $\sigma_Z$ jeweils in km.

Zufallsgroesse Z Erwartungswert Mathe Abi 2024

(4 BE)

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Lösung 2A

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Personen, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren und ist binomialverteilt mit $n=500$ und $p=0,3.$

Mit $\dfrac{1}{4}\cdot 500=125$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 125)&=& 1- P(X \leq 124 ) & \\[5pt] &\approx & 1- 0,006 & \\[5pt] &=& 0,994 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens ein Viertel der befragten Personen häufig von Fertiggerichten ernährt, beträgt etwa $99,4\, \%.$

Zufallsexperiment beschreiben

Aus der betrachteten Gruppe werden 200 Personen zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich eine Person der Gruppe häufig von Fertiggerichten ernährt, beträgt $30 \;\%.$

Ereignis angeben

„Weniger als 55 Personen ernähren sich häufig von Fertiggerichten."

Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die sich häufig von Fertiggerichten ernährt, zu viel Zucker verzehrt, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(Z \mid F)&=& \dfrac{P(Z \cap F)}{P(F)} & \\[5pt] &=& \dfrac{0,24}{0,3} &\\[5pt] &=& 0,8 \end{array}$

Da der Anteil der Personen, die zu viel Zucker verzehren, unter denjenigen, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren, doppelt so groß ist wie unter denjenigen, die sich nicht häufig von Fertiggerichten ernähren, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{F} \cap Z)&=& P(\bar{F}) \cdot \dfrac{1}{2} \cdot P(Z \mid F) &\\[5pt] &=& 0,7 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 0,8 &\\[5pt] &=& 0,28 \end{array}$

Eintragen der gegebenen Informationen ergibt:

	$\color{#fff}{F}$	$\color{#fff}{\overline{F}}$	Gesamt
$\color{#fff}{Z}$	$0,24$	$0,28$	$0,52$
$\color{#fff}{\overline{Z}}$
Gesamt	$0,3$	$0,7$	$1$

Systematisches Ergänzen liefert:

	$\color{#fff}{F}$	$\color{#fff}{\overline{F}}$	Gesamt
$\color{#fff}{Z}$	$0,24$	$0,28$	$0,52$
$\color{#fff}{\overline{Z}}$	$0,06$	$0,42$	$0,48$
Gesamt	$0,3$	$0,7$	$1$

Werte angeben

Die Werte von $a$ und $b$ entsprechen den jeweiligen Funktionswerten von $f$ bzw. $g$ an der Stelle $p=0,35.$

Es gilt:

$a=f(0,35) \approx 0,284$

Rechenweg anzeigen

$b=g(0,35) \approx 0,416$

Rechenweg anzeigen

Ergebnis interpretieren

Die Funktionen entsprechen der Darstellung von $95 \%$ -Prognoseintervallen. Das Intervall $[a ; b]$ ist somit das $95 \%$ -Prognoseintervall zu $p=0,35.$

Aus der durchgeführten Untersuchung folgt: $\dfrac{86}{200}=0,43 \gt b$

Das Umfrageergebnis ist bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95 \%$ somit nicht mit der Annahme $p=0,35$ verträglich.

Für die Schnittstellen der Graphen von $h$ mit $y=0,61$ gilt:

Für $n=300:$

$p_{\text{max} } \approx 0,663$

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$p_{\text{min} } \approx 0,554$

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Für $n=400:$

$p_{\text{max} } \approx 0,657$

Rechenweg anzeigen

$p_{\text{min} } \approx 0,561$

Rechenweg anzeigen

Die Schnittstellen geben jeweils die Ränder des zugehörigen Konfidenzintervalls an.

Für die Längen des Intervalls gilt:

$p_{\text{max}_{300}}-p_{\text{min}_{300}} \approx 0,109\gt 0,1$

$p_{\text{max}_{400}}-p_{\text{min}_{400}} \approx 0,096 \lt 0,1$

Da die Länge der Konfidenzintervalle mit wachsendem $n$ kleiner wird und der kleinstmögliche Wert von $n$ gesucht ist, sodass die Länge kleiner als $0,1$ ist, muss dieser Wert von $n$ zwischen 300 und 400 liegen.

Lösung 2B

$P:$ Junger Haushalt besitzt mindestens einen Pkw

$L:$ Junger Haushalt besitzt mindestens ein Lastenrad

Da $14\,\%$ der jungen Haushalte ohne Pkw mindestens ein Lastenrad besitzen, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(L \cap \overline{P})&=& 0,14\cdot 0,4& \\[5pt] &=& 0,056& \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der gegebenen Anteile und Aufsummieren zum jeweiligen Gesamtanteil liefert:

	$\color{#fff}{L}$	$\color{#fff}{\overline{L}}$	Gesamt
$\color{#fff}{P}$	$0,024$	$0,576$	$0,6$
$\color{#fff}{\overline{P}}$	$0,056$	$0,344$	$0,4$
Gesamt	$0,08$	$0,92$	$1$

Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter junger Haushalt ohne Pkw mindestens ein Lastenrad besitzt:

$\begin{array}[t]{rll} P(L \mid \overline{P})&=& \dfrac{P(\overline{P} \cap L)}{P(\overline{P})}&\\[5pt] &=& \dfrac{0,056}{0,4}&\\[5pt] &=& 0,14 \end{array}$

Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter junger Haushalt mit Pkw mindestens ein Lastenrad besitzt:

$\begin{array}[t]{rll} P(L \mid P)&=& \dfrac{P(P \cap L)}{P(P)}&\\[5pt] &=& \dfrac{0,024}{0,6}&\\[5pt] &=& 0,04 \end{array}$

Es gilt also $3\cdot P(L \mid P)=3\cdot 0,04=0,12$ und folglich $P(L \mid \overline{P}) \gt 3\cdot P(L \mid P).$

Die Aussage ist somit korrekt.

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Haushalte, welche mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet sind, und kann als binomialverteilt mit $n=300$ und $p=0,08$ angenommen werden.

Mit dem binomialcdf-Befehl des Taschenrechners ergibt sich:

$P(20 \lt X \leq 30) \approx 68,1\,\%$

Rechenweg anzeigen

Von 300 zufällig ausgewählten jungen Haushalten sind weniger als 201 Haushalte mit mindestens einem Pkw ausgestattet.

Für die Vorderradreifen gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \mu_V-600 \,\text{km}&=& 6800 \,\text{km}-600\,\text{km} & \\[5pt] &=& 6200 \,\text{km} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \mu_V+600 \,\text{km}&=& 6800 \,\text{km}+600 \,\text{km} & \\[5pt] &=& 7400 \,\text{km} \end{array}$

Mit dem normalcdf-Befehl folgt:

$P(6200 \leq V \leq 7400)\approx 0,7424$

Durch systematisches Ausprobieren ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(6120 \leq V)&\approx& 0,90026& \\[5pt] P(6121 \leq V)&\approx& 0,89993 \end{array}$

Gemäß dem Modell übertrifft ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen des Herstellers somit zu $90\,\%$ eine Laufleistung von $6120\,\text{km}.$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Hinterreifen diese Laufleistung erreicht, beträgt:

$P(6120 \leq H)\approx 0,00077 =0,077\,\%$

Die Aussage für die Vorderrad- und Hinterradreifen des Herstellers ist somit wahr.

Aus dem Graphen kann abgelesen werden:

$\begin{array}[t]{rll} f(5,5)&=& 0,5 & \\[5pt] P(Z\leq 1000\cdot 5,5)&=& 0,5 & \\[5pt] P(Z\leq 5500)&=& 0,5 & \end{array}$

Da die Normalverteilung symmetrisch um den Erwartungswert $\mu_Z$ ist und $P(Z\leq 5500)= 0,5$ gilt, muss $\mu_Z=5500$ sein.

Weiterhin kann aus der Abbildung abgelesen werden:

$\begin{array}[t]{rll} f(5)&\approx& 0,1& \\[5pt] P(Z\leq 5000)&\approx& 0,1 \end{array}$

Systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert mit $\mu_Z=5500:$

Für $\sigma_Z=390: \quad P(Z\leq 5000)\approx 0,09991$

Für $\sigma_Z=391: \quad P(Z\leq 5000)\approx 0,10049$

Der Erwartungswert und die Standardabweichung folgen also mit $\mu_Z=5500\,\text{km}$ und $\sigma_Z=390\,\text{km}.$

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