Aufgabe 1A

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=5\cdot (\mathrm{e}^{-0,3x}-\mathrm{e}^{-4x})$ modelliert für $0\leq x\leq 12$ die Konzentration eines Medikamentenwirkstoffes im Blut. Dabei beschreibt $x$ die Zeit in Stunden $(\text{h})$ nach der Einnahme des Medikamentes und $f(x)$ die Konzentration in Milligramm pro Liter $\left(\dfrac{mg}{l}\right).$

Berechne die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes.
Gib den Zeitpunkt an, zu dem die Konzentration erstmals den Wert $2,8 \frac{mg}{l}$ annimmt.
Bestimme, wie lange die Konzentration mindestens $0,5 \dfrac{mg}{l}$ beträgt.

(6 BE)

Zeige rechnerisch, dass die Konzentration ungefähr 0,7 Stunden nach der Einnahme des Medikamentes mit etwa $3,75 \dfrac{mg}{l}$ am größten ist.

(4 BE)

Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration genau so groß ist wie zwei Stunden später.

(3 BE)

Bestimme die Lösung der Gleichung $\(f$ und interpretiere die Lösung im Sachzusammenhang.

(4 BE)

Eine vereinfachte Modellierung geht davon aus, dass bis 6 Stunden nach der Einnahme des Medikamentes die Konzentration durch $f$ beschrieben wird und danach die Abnahmerate der Konzentration konstant ist. Dabei ist die konstante Abnahmerate so groß wie die Änderungsrate der durch $f$ beschriebenen Konzentration nach 6 Stunden.
Berechne den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikamentes, zu dem die Konzentration nach diesem Modell null ist.

(4 BE)

Vier Stunden nach der ersten Einnahme wird das Medikament in der gleichen Dosierung erneut eingenommen. Die Gesamtkonzentration ist zu jedem Zeitpunkt die Summe der durch $f$ beschriebenen Konzentrationen, die sich aus der ersten und zweiten Einnahme ergeben. Die Gesamtkonzentration soll $6 \dfrac{mg}{l}$ nicht übersteigen.
Untersuche, ob diese Vorgabe eingehalten wird.

(4 BE)

Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktionenschar $f_a$ mit

$f_a(x)=\mathrm{e}^{-a\cdot x}-\mathrm{e}^{-4x},x\in \mathbb{R}, a\gt 0,$ $a \neq 4,$

gegeben.
In der Abbildung sind zwei Graphen der Schar dargestellt.
Jeder Graph der Funktionenschar hat genau einen Extrempunkt.

Graf einer mathematischen Funktion mit x- und y-Achse, zeigt eine kurvenförmige Darstellung.

Berechne die Werte von $a,$ für die die Fläche zwischen dem Graph von $f_a$ und der $x-$ Achse im Intervall $[0;1)$ den Inhalt 0,2 hat.

(4 BE)

Entscheide, für welche Werte von $a$ an der Extremstelle ein Maximum und für welche ein Minimum vorliegt.
Begründe deine Entscheidung ohne Berechnung der Extremstelle.

(6 BE)

Der Graph von $f_a$ wird an der $x-$ Achse gespiegelt.
Berechne die Werte von $a,$ für die sich der gespiegelte Graph und der Graph von $f_a$ unter einem rechten Winkel schneiden.

(5 BE)

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Die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme in $\frac{mg}{l}$ ist gegeben durch $f(1 ) \approx 3,6.$

$5\cdot (\mathrm{e}^{-0,3x}-\mathrm{e}^{-4x})=2,8$

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keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

Die Konzentration nimmt nach ungefähr einer Viertelstunde erstmals den Wert $2,8$ an.

Die Lösungen der Gleichung $5\cdot (\mathrm{e}^{-0,3x}-\mathrm{e}^{-4x})=0,5$ sind gegeben durch $x_1 \approx 0,03$ und $x_2 \approx 7,7.$ Da $f(x) \gt 0,5$ für $x_1 \lt x \lt x_2$ gilt, ist die Konzentration ungefähr $x_2-x_1 \approx 7,67$ Stunden mindesten $0,5 \frac{mg}{l}$ groß.

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$\(f$

Gesucht ist eine Lösung der Gleichung $\(f$

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Die Lösung der Gleichung ist gegeben durch $x_M \approx 0,7.$

$\(f$

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$\( f$

Also befindet sich an der Stelle $x_M\approx 0,7$ ein Maximum der Funtkion $f.$

$f(0,7)=5\cdot (\mathrm{e}^{-0,3\cdot 0,7}-\mathrm{e}^{-4\cdot 0,7})$ $\approx 3,75$

Die Konzentration ist ca. $0,7$ Stunden nach der Einnahme mit etwa $3,75\dfrac{\,\text{mg}}{\,\text{l}}$ am größten.

Gesucht ist die Lösung der Gleichung $f(x)=f(x+2),$ also $5\cdot (\mathrm{e}^{-0,3x}-\mathrm{e}^{-4x})$ $=5\cdot (\mathrm{e}^{-0,3(x+2)}-\mathrm{e}^{-4(x+2)}).$

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Die Lösung der Gleichung ist gegeben durch $x_2\approx 0,2.$
Ungefähr $0,2$ Stunden nach der Einnahme ist die Konzentration genauso groß wie eine Stunde später.

Gesucht ist die Lösung der Gleichung

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$\( f$

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Die Lösung der Gleichung ist gegeben durch $x_m\approx 2,3.$

Die momentande Änderungsrate der Medikamentenkonzentration nach ungefähr 2,3 Stunden ist gleich der durchschnittlichen Änderungsrate in den zwei Stunden zwischen den Zeitpunkten $x_0=2,3-1=1,3$ und $x_1=2,3+1=3,3.$

Die Konzentration für $x\geq 6$ wird durch die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(6 \mid f(6))$ beschrieben.

$f(6)=5 \cdot (\mathrm{e}^{-0,3\cdot 6}-\mathrm{e}^{-4 \cdot 6})$ $\approx 0,8256$
$\(f$ $\approx -0,2479$

Die Tangentengleichung ist gegeben durch $t(x)=-0,2479 \cdot (x-6)+0,8256.$
Gesucht ist nun die Lösung der Gleichung $t(x)=0.$

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Die Gleichung gilt für $x_0\approx 9,3.$ Ungefähr $9,3$ Stunden nach der Einnahme ist die Konzentration nach diesem Modell gleich null.

Die Gesamtkonzentration wird durch die Funktion $g(x)=f(x)+f(x-4)$ beschrieben.
Es muss $g(x)\lt 6$ für $x\geq4$ gelten. Um zu überprüfen, ob diese Vorgabe eingehalten wird, berechne das Maximum von $g.$

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Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Die Funktion nimmt den maximalen Wert $y_{max} \approx 4,98 \lt 6$ an.
Somit wird die Vorgabe eingehalten.

$f_a$ hat nur die Nullstelle $x=0,$ also verläuft der Graph von $f_a$ im Intervall $[0;1)$ entweder ganz oberhalb oder unterhalb der $x-$ Achse. Gesucht ist also ein Wert für $a,$ sodass $\,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-a \cdot x}-\mathrm{e}^{-4x}\;\mathrm dx \,\bigg \vert \, = 0,2$ gilt.

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Es gilt $\displaystyle\int_{0}^{1}f_a(x)\;\mathrm dx$ $=-\dfrac{1}{a}(\mathrm{e}^{-a}-1)+\dfrac{1}{4}(\mathrm{e}^{-4}-1).$ Es muss also folgende Gleichung gelöst werden:

$-\dfrac{1}{a}(\mathrm{e}^{-a}-1)+\dfrac{1}{4}(\mathrm{e}^{-4}-1) = \pm 0,2$

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Die Gleichung hat die Lösungen $a_+\approx 1,9$ und $a_-\approx 22.$ Für diese Werte von $a$ hat die Fläche zwischen dem Graphen von $f_a$ und der $x-$ Achse im Intervall $[0,1)$ den Inhalt $0,2.$

Es gilt $\lim\limits_{x\to\infty}f_a(x)=0$ und $f_a(0)=0.$
Der Abbildung kann damit entnommen werden, dass für $f_a(x)\gt 0$ für $x\gt 0$ ein Maximum und für $f_a(x)\lt 0$ für $x\gt0$ ein Minimum vorliegt.
Für $x\gt0$ und $a\lt4$ gilt $\mathrm{e}^{-ax}\gt \mathrm{e}^{-4x}$ und damit $f_a(x)=\mathrm{e}^{-ax}-\mathrm{e}^{-4x}\gt 0.$
Für $x\gt0$ und $a \gt 4$ gilt $\mathrm{e}^{-ax}\lt \mathrm{e}^{-4x}$ und damit $f_a(x)=\mathrm{e}^{-ax}-\mathrm{e}^{-4x}\lt 0.$

Daraus folgt, dass für $a\lt4$ an der Extremstelle ein Maximum und für $a\gt 4$ ein Minimum vorliegt.

Der gespiegelte Graph ist gegeben durch $g_a(x)=-f_a(x)=-\mathrm{e}^{-a \cdot x}+\mathrm{e}^{-4x}.$

$g_a(x)=f_a(x)$

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Die Graphen der Funktionen $g_a$ und $f_a$ schneiden sich nur im Punkt $x_0=0.$
Die Graphen der beiden Funktionen stehen im Ursprung senkrecht aufeinander, wenn $\(f$ gilt.

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$\(f$
$\(g$

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$\( f$

Gesucht ist nun die Lösung der Gleichung $-a^2+8a-16=-1.$

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Die Lösungen sind gegeben durch $a_1=3$ und $a_2=5.$ Für diese Werte von $a$ schneiden sich der gespiegelte Graph und der Graph von $f_a$ unter einem rechten Winkel.

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