Pflichtaufgaben

Aufgabe P1

Für Formula: a>0 werden die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f_a mit Formula: f_a(x)=x^3-3a^2x betrachtet.

Zeige, dass die Ableitung von Formula: f_a die Nullstellen Formula: a und Formula: -a hat.

2 BE

Die Graphen von Formula: f_a haben jeweils genau einen Hoch- und einen Tiefpunkt.

Berechne den Abstand zwischen dem Hoch- und dem Tiefpunkt in Abhängigkeit von Formula: a.

3 BE

Aufgabe P2

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: g mit Formula: g(x)=-2x+4.

Es gibt eine positive reelle Zahl Formula: k, die Lösung der Gleichung $Formula: \int_0^k g(x)\,\mathrm dx=0$ $Formula: \int_0^k g(x)\,\mathrm dx=0$ ist.

Veranschauliche in der Abbildung für diese Zahl Formula: k die geometrische Bedeutung der Gleichung.

2 BE

Bestimme alle Stammfunktionen von Formula: g, die ausschließlich negative Funktionswerte haben.

3 BE

Koordinatensystem mit Gitternetz und fallender Geraden, Schnittpunkte bei y≈5 und x≈2.

Aufgabe P3

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X mit den Parametern Formula: n=36 und Formula: p=0{,}5.

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit Formula: P(X=27) berechnet werden kann.

1 BE

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Formula: X.

Balkendiagramm: Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=k), glockenförmig, Spitze bei k ≈ 17–18, x-Achse 0–36

Ermittle einen Näherungswert für $Formula: P(\mu-0{,}5\cdot\sigma\leq X\leq\mu+0{,}5\cdot\sigma),$ $Formula: P(\mu-0{,}5\cdot\sigma\leq X\leq\mu+0{,}5\cdot\sigma),$ wobei $Formula: \mu$ $Formula: \mu$ der Erwartungswert und $Formula: \sigma$ $Formula: \sigma$ die Standardabweichung von Formula: X sind.

4 BE

Aufgabe P4

Gegeben sind die Gerade $Formula: g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}$ $Formula: g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}$ mit $Formula: t\in\mathbb{R}$ $Formula: t\in\mathbb{R}$ und die Ebene Formula: E:-2x_1-x_2+2x_3-2=0.

Begründe, dass Formula: g senkrecht zu Formula: E steht, und zeige, dass der Punkt $Formula: P(-4\mid2\mid-2)$ $Formula: P(-4\mid2\mid-2)$ in liegt.

2 BE

Bestimme die Koordinaten eines Punktes auf Formula: g, der zu Formula: E den Abstand Formula: 12 hat.

3 BE

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Lösung P1

Für die Ableitung von Formula: f_a gilt:

Formula: f_a'(x)=3x^2-3a^2

Nullsetzen liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] 3x^2-3a^2&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+3a^2 \\[5pt] 3x^2&=&3a^2 &\quad\scriptsize\mid\;:3 \\[5pt] x^2&=&a^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_{1;2}&=&\pm a \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] 3x^2-3a^2&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+3a^2 \\[5pt] 3x^2&=&3a^2 &\quad\scriptsize\mid\;:3 \\[5pt] x^2&=&a^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_{1;2}&=&\pm a \end{array}$

Da der Graph genau zwei Extremstellen hat, kann auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung verzichtet werden. Für die Formula: y -Koordinaten der Extrempunkte folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a(-a)&=&(-a)^3-3a^2\cdot(-a) \\[5pt] &=&2a^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a(-a)&=&(-a)^3-3a^2\cdot(-a) \\[5pt] &=&2a^3 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} f_a(a)&=&a^3-3a^2\cdot a \\[5pt] &=&-2a^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_a(a)&=&a^3-3a^2\cdot a \\[5pt] &=&-2a^3 \end{array}$

Für den Abstand Formula: d zwischen Hoch- und Tiefpunkt folgt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} d&=&\sqrt{(a-(-a))^2+(-2a^3-2a^3)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{4a^2+16a^6} \\[5pt] &=&2a\cdot\sqrt{1+4a^4} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} d&=&\sqrt{(a-(-a))^2+(-2a^3-2a^3)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{4a^2+16a^6} \\[5pt] &=&2a\cdot\sqrt{1+4a^4} \end{array}$

Lösung P2

Koordinatensystem mit fallender Geraden und zwei schattierten Dreiecken A1 (links oben) und A2 (rechts unten)

Für die Stammfunktionen von Formula: g gilt:

Formula: G_c(x)=-x^2+4x+c

Da Formula: g bei Formula: x=2 eine Nullstelle hat, in der das Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt, haben die Stammfunktionen dort eine Hochstelle. Damit ergibt sich für den größten Funktionswert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} G_c(2)&=&-2^2+4\cdot2+c \\[5pt] &=&4+c \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} G_c(2)&=&-2^2+4\cdot2+c \\[5pt] &=&4+c \end{array}$

Somit haben alle Stammfunktionen mit $Formula: c\lt-4$ $Formula: c\lt-4$ ausschließlich negative Funktionswerte.

Lösung P3

$Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0,5^{27} \cdot 0,5^9$ $Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0,5^{27} \cdot 0,5^9$

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$

Lösung P4

Lage von $Formula: \boldsymbol{g}$ $Formula: \boldsymbol{g}$ begründen

Der Vektor $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ ist sowohl Richtungsvektor von Formula: g als auch Normalenvektor von Formula: E, somit steht senkrecht zu Formula: E.

Lage von $Formula: \boldsymbol{P}$ $Formula: \boldsymbol{P}$ zeigen

Einsetzen der Koordinaten von Formula: P in die Ebenengleichung von Formula: E ergibt:

$Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$ $Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$

Somit liegt Formula: P in Formula: E.

Der Ortsvektor von Formula: g ergibt sich durch den Punkt Formula: P, der nach Teilaufgabe a in Formula: E liegt. Für die Länge des Richtungsvektors von gilt:

$Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$ $Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$

Da der Richtungsvektor von Formula: g orthogonal zu Formula: E steht, liefert Formula: t=4 den Ortsvektor eines geeigneten Punktes:

$Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$

Die Koordinaten des gesuchten Punktes sind somit z.B. gegeben durch $Formula: (-12\mid-2\mid6).$ $Formula: (-12\mid-2\mid6).$

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