Aufgabe 3C
Die Abbildung 1 zeigt den Körper 
mit 
und 
mit und
Abbildung 1
a)
Die Punkte 
und 
liegen in der Ebene 
mit dem Normalenvektor 
Gib eine Gleichung von in Koordinatenform an.
Bestimme die Größe des Winkels, den mit der 
-Ebene einschließt.
und liegen in der Ebene mit dem Normalenvektor
Gib eine Gleichung von in Koordinatenform an.
Bestimme die Größe des Winkels, den mit der -Ebene einschließt.
(5 BE)
b)
Der Flächeninhalt des Dreiecks 
kann mit dem Term 
berechnet werden.
Veranschauliche diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung 1.
kann mit dem Term berechnet werden.
Veranschauliche diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung 1.
(3 BE)
c)
Berechne das Volumen des Körpers 
(3 BE)
d)
Die Ebene 
enthält die 
-Achse und den Punkt 
mit 
Welche Kanten des Körpers von geschnitten werden, ist abhängig von 
. Die Abbildung 2 zeigt die Situation für 
Nenne für 
die Kanten, die geschnitten werden.
Durchläuft alle Werte zwischen 0 und 1 , so gibt es Bereiche 
, in denen für alle Werte von jeweils die gleichen Kanten des Körpers schneidet.
Bestimme den größten dieser Bereiche.
enthält die -Achse und den Punkt mit
Welche Kanten des Körpers von geschnitten werden, ist abhängig von . Die Abbildung 2 zeigt die Situation für
Nenne für die Kanten, die geschnitten werden.
Durchläuft alle Werte zwischen 0 und 1 , so gibt es Bereiche , in denen für alle Werte von jeweils die gleichen Kanten des Körpers schneidet.
Bestimme den größten dieser Bereiche.
Abbildung 2
(6 BE)
e)
Auf der Kante 
liegt der Punkt 
auf der Kante 
der Punkt 
Das Dreieck 
hat in 
einen rechten Winkel.
Bestimme die -Koordinate von 
liegt der Punkt auf der Kante der Punkt Das Dreieck hat in einen rechten Winkel.
Bestimme die -Koordinate von
(5 BE)
f)
Der Körper wird so um die Gerade durch 
und 
gedreht, dass der mit 
bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der -Ebene liegt und dabei eine positive 
-Koordinate hat.
Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:
![\(\overrightarrow{A B} \cdot[(\overrightarrow{O A}+s \cdot \overrightarrow{A B})-\overrightarrow{O C}]=0\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fd4fa1f600fe0ba2efd490b53d820bb1b45f27225d407f0e06ed464fca3b81cf_light.svg)
liefert die Lösung 
d.h. 
Formuliere eine passende Aufgabenstellung.
Gib die Bedeutung von 
an.
und gedreht, dass der mit bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der -Ebene liegt und dabei eine positive -Koordinate hat.
Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:
liefert die Lösung d.h.
Formuliere eine passende Aufgabenstellung.
Gib die Bedeutung von an.
(3 BE)
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a)
Gleichung angeben
Einsetzen des Normalenvektors von in die allgemeine Koordinatengleichung:
Durch Punktprobe mit folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
2\cdot 6+4\cdot 3+3\cdot 6&=& c& \\[5pt]
42 &=& c
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fc2eb7a1fa42cbdc5da301638a05fa3a8c693876cb325bdf30e573284a7e6e09_light.svg)
Eine Gleichung von in Koordinatenform ist somit gegeben durch:
Größe des Winkels bestimmen
Ein Normalenvektor der 
-Ebene ist beispielsweise 
Somit gilt:
Die Größe des Winkels, den mit der -Ebene einschließt, beträgt somit ca. 
in die allgemeine Koordinatengleichung:
Durch Punktprobe mit folgt:
Eine Gleichung von in Koordinatenform ist somit gegeben durch:
Größe des Winkels bestimmen
Ein Normalenvektor der -Ebene ist beispielsweise
Somit gilt:
Die Größe des Winkels, den 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos (\alpha)&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{n_{1,2}} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|\cdot \left| \overrightarrow{n_{1,2}} \right|}&\\[5pt]
\cos (\alpha)&=& \dfrac{\left| \pmatrix{2\\4\\3}\circ\pmatrix{0\\0\\1} \right|}{\left| \pmatrix{2\\4\\3} \right|\cdot \left| \pmatrix{0\\0\\1} \right|}& \\[5pt]
\cos (\alpha)&=& \dfrac{\mid 2\cdot 0+4\cdot 0+3\cdot 1 \mid}{\sqrt{2^2+4^2+3^2}\cdot 1}& \\[5pt]
\cos (\alpha)&\approx& 0,557&\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt]
\alpha&\approx& 56,15^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7f351ff8e6f3756805c467ffa770fdf8ef155fbe02f9d25c863d333f54411b92_light.svg)
mit der -Ebene einschließt, beträgt somit ca.
b)
c)
Flächeninhalt der Grundfläche:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{ABC}&=& 6 \cdot 6-\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6& \\[5pt]
&=& \dfrac{27}{2} \;[\text{FE}]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3107a24ff77cf3c4969626f3534519a87c6caa0159c1d085650aa65a21d55d44_light.svg)
Der Körper kann unterteilt werden in ein dreiseitiges Prisma, dessen Grundfläche das Dreieck 
bildet, und eine dreiseitige Pyramide mit der Spitze , welche sich oberhalb des Prismas befindet.
Das Volumen des dreiseitigen Prismas ergibt sich mit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{\text{Prisma}}&=& A_{ABC}\cdot h& \\[5pt]
&=& \dfrac{27}{2} \cdot 6& \\[5pt]
&=& 81 \;[\text{VE}]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ec0c7b376c172e70c7f51f6748aa37e28487b3aeed4048ebc7f4fcf8f00fe7e7_light.svg)
Das Volumen der dreiseitigen Pyramide folgt durch:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{\text{Pyramide}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot A_{ABC} \cdot h &\\[5pt]
&=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{27}{2} \cdot 6 &\\[5pt]
&=& 27 \;[\text{VE}]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7965578131151df00d1eb64b0a112a4205419e80dc2c923c55d800d93344436a_light.svg)
Das Gesamtvolumen des Körpers ist also gegeben durch:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& A_{\text{Prisma}}+A_{\text{Pyramide}}& \\[5pt]
&=& 81+27& \\[5pt]
&=& 108 \;[\text{VE}]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/448af3e0e5e2d4019cb42f27e72222d9de6d018c802963c616b63a72333b7b6d_light.svg)
Der Körper kann unterteilt werden in ein dreiseitiges Prisma, dessen Grundfläche das Dreieck bildet, und eine dreiseitige Pyramide mit der Spitze , welche sich oberhalb des Prismas befindet.
Das Volumen des dreiseitigen Prismas ergibt sich mit:
Das Volumen der dreiseitigen Pyramide folgt durch:
Das Gesamtvolumen des Körpers ist also gegeben durch:
d)
Kanten angeben
und 
Größten Bereich bestimmen
Für kleine Werte von schneidet die Kante 
. Für größere Werte von schneidet die Kante 
liegt genau dann auf der Strecke 
wenn gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{x_{1_A}}{x_{2_A}}&=& \dfrac{x_{1_P}}{x_{2_P}} & \\[5pt]
\dfrac{6}{3}&=& \dfrac{1-k}{k} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot k \\[5pt]
2k&=& 1-k &\quad \scriptsize \mid\; +k \\[5pt]
3k&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt]
k&=& \dfrac{1}{3}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c1aef3d20eb4752ad2bd9822331e3fc82d691d4588515f0efc00e342731fb6fc_light.svg)
Von den Bereichen 
und 
ist der letztgenannte der größere Bereich und schneidet die Kanten 
und 
und
Größten Bereich bestimmen
Für kleine Werte von schneidet die Kante . Für größere Werte von schneidet die Kante
liegt genau dann auf der Strecke wenn gilt:
Von den Bereichen und ist der letztgenannte der größere Bereich und schneidet die Kanten und
e)
Da der Punkt auf der Kante liegen soll, folgt 
mit 
Es muss gelten:
Mit der abc-Formel folgt:
Lösungen der Gleichung sind somit 
und 
Wegen 
folgt die -Koordinate mit 
auf der Kante liegen soll, folgt mit
Es muss gelten:
Mit der abc-Formel folgt:
Lösungen der Gleichung sind somit 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{QF}\circ \overrightarrow{QR}&=& 0& \\[5pt]
\pmatrix{-3\\-3\\12-h}\circ \pmatrix{-6\\3\\2-h}&=& 0& \\[5pt]
-3\cdot (-6)+(-3)\cdot 3+(12-h)\cdot (2-h)&=& 0& \\[5pt]
18-9+24-12h-2h+h^2&=& 0& \\[5pt]
h^2-14h+33&=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ba5e0cfd542b46d58489cd5433b5f246e87beb3a4454c3a9ce024b3721d52346_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_{1/2}&=& \dfrac{-(-14)\pm\sqrt{(-14)^2-4\cdot 1\cdot 33}}{2\cdot 1}&\\[5pt]
&=& \dfrac{14\pm8}{2}&\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d1bf23623360a01af5509dcbcc8b5849c0db4408bd5c722535c2b4581098ce30_light.svg)
und
Wegen folgt die -Koordinate mit
f)
Aufgabenstellung formulieren
„Der mit 
bezeichnete Eckpunkt des Körpers wird nach der Drehung mit 
bezeichnet. Ermittle die Koordinaten von 
"
Bedeutung angeben
Der Punkt ist der Fußpunkt des Lots von auf 
und somit der Punkt auf der Kante mit der kürzesten Entfernung von 
bezeichnete Eckpunkt des Körpers wird nach der Drehung mit bezeichnet. Ermittle die Koordinaten von "
Bedeutung angeben
Der Punkt ist der Fußpunkt des Lots von auf und somit der Punkt auf der Kante mit der kürzesten Entfernung von