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Aufgabe 1B

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Die obenstehende Abbildung stellt den Entwurf für eine Brücke dar. Deren achsensymmetrisches Profil soll modellhaft in einem entsprechend gewählten Koordinatensystem beschrieben werden.
Die Funktion $f$ mit $f(x) = - \frac{1}{80}\cdot x^2 + 20,$ $x \in \mathbb{R},$ beschreibt für $- 40 \leq x \leq 40$ den unteren Brückenbogen. In den Punkten $P( - 40 \mid 0)$ und $Q(40\mid 0)$ endet der untere Brückenbogen jeweils in einem Stützlager.
Die Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{2}{125}\cdot x^2+ \frac{8}{5}\cdot x + 45,$ $x \in \mathbb{R},$ beschreibt für $- 50 \leq x \leq - 25$ den linken Teil des oberen Brückenbogens.
Die Funktion $h$ mit $h(x) = - \frac{2}{125} \cdot x^2 + 25,$ $x \in \mathbb{R},$ beschreibt für $- 25 \leq x \leq 25$ den mittleren Teil des oberen Brückenbogens.
Alle Koordinaten haben die Einheit Meter $(\text{m}).$
a)
Die Graphen der Funktionen $f,$ $g,$ und $h$ sind in der Anlage dargestellt. Zeichne in die Abbildung der Anlage das für die Modellierung genutzte Koordinatensystem ein. Der untere Brückenbogen ist maximal $20\,\text{m}$ hoch. Entscheide, ob das Verhältnis der maximalen Höhe des unteren Brückenbogens zu seiner Spannweite zwischen den Stützlagern kleiner als $\frac{1}{3}$ ist.
Weise nach, dass der Übergang zwischen der Modellierung des oberen Brückenbogens durch die Funktionen $g$ und $h$ sprung- und knickfrei ist. Berechne den Winkel, unter dem der untere Brückenbogen auf die Horizontale im Stützlager im Punkt $P$ trifft.
(15 BE)
b)
Für die Entscheidung, ob der Entwurf verwendet werden soll, werden folgende Kriterien benannt:
  • Der Inhalt der Fläche zwischen dem oberen und unteren Brückenbogen soll im Bereich zwischen den Stützlagern den Wert von $325\,\text{m}^2$ nicht überschreiten.
  • Der obere Brückenbogen soll an seiner steilsten Stelle eine Steigung von $80\,\%$ nicht überschreiten.
Überprüfe den Entwurf hinsichtlich der Einhaltung dieser Kriterien. Zeige, dass die durchschnittliche Steigung des unteren Brückenbogens zwischen dem Stützlager im Punkt $P$ und seinem höchsten Punkt $H$ genau $50\,\%$ beträgt. Begründe, dass es keine ganzrationale Modellfunktion für den unteren Brückenbogen zwischen den Punkten $P$ und $H$ gibt, sodass dessen maximale Steigung kleiner als $50\,\%$ ist.
(17 BE)
#steigung
c)
Unabhängig vom Sachzusammenhang ist eine Schar ganzrationaler Funktionen $p_a$ mit
$p_a(x) = a \cdot x^4 - 6 \cdot a^2 \cdot x^2 + 1 ,$ $x \in \mathbb{R},$ $a \neq 0 ,$
gegeben. Für bestimmte Werte von $a$ hat der Graph von $p_a$ mehr als einen Extrempunkt. Bestimme für diesen Fall den Parameter $a$ so, dass die Abstände aller Extrempunkte der Graphen von $p_a$ zur $x$-Achse gleich sind.
Untersuche die Anzahl und die Art der Extrempunkte der Graphen der Funktionen $p_a$ in Abhängigkeit der von dem Parameter $a$ angenommenen Werte.
(14 BE)
#extrempunkt#funktionenschar
Material
Anlage: Graphen zu Teilaufgabe a)
Abb. 2: Graphen von $f,$ $g$ und $h$
Abb. 2: Graphen von $f,$ $g$ und $h$
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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