Aufgabe 1B
Gegeben ist die Funktionenschar 
mit 
wobei 
und 
gilt. Es gilt:
mit 
mit wobei und gilt. Es gilt:
a)
Begründe, dass jeder Graph von
- drei verschiedene Nullstellen hat,
- den Wendepunkt
hat.
(5 BE)
b)
Begründe, dass für jeden Wert von 
die Graphen zu und 
im Koordinatenursprung dieselbe Steigung haben.
die Graphen zu und im Koordinatenursprung dieselbe Steigung haben.
(2 BE)
c)
Berechne die Werte von , für die an der Stelle 
der Funktionswert 
beträgt.
, für die an der Stelle der Funktionswert beträgt.
(3 BE)
d)
Die Graphen zu 
und 
haben im Intervall ![\([0;2]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/843d839ab55e0f672f243636b5611ab923c075cc63ed4cbee0bdb8f535440b7a_light.svg)
genau zwei gemeinsame Punkte. Begründe mithilfe des Krümmungsverhaltens, dass die beiden Graphen im betrachteten Intervall keine weiteren gemeinsamen Punkte haben.
und haben im Intervall genau zwei gemeinsame Punkte. Begründe mithilfe des Krümmungsverhaltens, dass die beiden Graphen im betrachteten Intervall keine weiteren gemeinsamen Punkte haben.
(4 BE)
e)
Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von im Wendepunkt.
Berechne die Werte von, für die diese Tangente mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck einschließt.
im Wendepunkt.
Berechne die Werte von
, für die diese Tangente mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck einschließt.
(4 BE)
f)
Gegeben sind die Punkte 
und 
.
Untersuche, ob es Werte von gibt, so dass die Gerade durch die Punkte 
und 
eine Tangente an den Graphen von im Punkt ist.
Begründe, dass der Punkt
auf keiner der Geraden durch die Punkte und liegt.
Betrachtet wird jetzt zustätzlich die Funktion und .
Untersuche, ob es Werte von
gibt, so dass die Gerade durch die Punkte und eine Tangente an den Graphen von im Punkt ist.
Begründe, dass der Punkt
auf keiner der Geraden durch die Punkte und liegt.
(9 BE)
mit
g)
Bestimme die Werte von , für die der zugehörige Graph von im Intervall ![\([-1;0]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ea471ba3b0dc3d8e7468cf8abb6f76ef814680a09be8845a32fa2b56f5ef9896_light.svg)
dieselbe durchschnittliche Steigung hat wie der Graph von .
, für die der zugehörige Graph von im Intervall dieselbe durchschnittliche Steigung hat wie der Graph von .
(5 BE)
h)
Die Tangente an den Graphen von im Tiefpunkt schließt mit dem Graphen von eine Fläche ein. Außerdem schließt der Graph von mit der 
-Achse im Intervall ![\([0;3]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/989ef35ddb608f4befc7b703f6465b5cf517e676c006489beb40101fdaaecf76_light.svg)
eine Fläche ein.
Berechne das Verhältnis der Inhalte dieser beiden Flächen.
im Tiefpunkt schließt mit dem Graphen von eine Fläche ein. Außerdem schließt der Graph von mit der -Achse im Intervall eine Fläche ein.
Berechne das Verhältnis der Inhalte dieser beiden Flächen.
(8 BE)
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a)
Da die Funktionenschar in der Linearfaktorzerlegung angegeben ist, lassen sich die Nullstellen 
und 
ablesen. Da vorausgesetzt ist, sind die drei Nullstellen alle verschieden.
Notwendige Bedingung für Wendestellen überprüfen
Die Stelle 
erfüllt die notwendige Bedingung für Wendestellen und zudem hat den Grad 3. 
ist daher eine lineare Funktion, weshalb in der Nullstelle ein Vorzeichenwechsel stattfindet.
Somit handelt es sich um eine Wendestelle.
Die 
-Koordinate des Wendepunktes entspricht 
Damit lauten die Koordinaten des Wendepunktes 
in der Linearfaktorzerlegung angegeben ist, lassen sich die Nullstellen und ablesen. Da vorausgesetzt ist, sind die drei Nullstellen alle verschieden.
Notwendige Bedingung für Wendestellen überprüfen
Die Stelle erfüllt die notwendige Bedingung für Wendestellen und zudem hat den Grad 3. ist daher eine lineare Funktion, weshalb in der Nullstelle ein Vorzeichenwechsel stattfindet.
Somit handelt es sich um eine Wendestelle.
Die -Koordinate des Wendepunktes entspricht
Damit lauten die Koordinaten des Wendepunktes
b)
Es gilt:
Also haben und an der Stelle 
für jeden Wert von die gleiche Steigung.
Also haben und an der Stelle für jeden Wert von die gleiche Steigung.
c)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
5 & = & f_a(2) & \quad \scriptsize \\[5pt]
5 & = & 2(2-a)(2-2a) & \quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/30ffb09798d67b6c82fe24dc4248615a4336f42e5d6734c2170e17de5d9cac71_light.svg)
Die Lösungen dieser Gleichung ergeben sich mit dem solve-Befehl des Taschenrechners zu 
und 
Für diese Werte von gilt 
d)
Für 
gilt:
Daraus folgt, dass im betrachteten Intervall der Graph von rechtsgekrümmt und der Graph von linksgekrümmt ist. Damit sich die beiden Graphen nochmals schneiden, müsste sich das Krümmungsverhalten eines Graphen erneut ändern. Somit können sich die beiden Graphen in höchstens zwei Punkten schneiden.
Folglich haben die Graphen und keine weiteren gemeinsamen Schnittpunkte im Intervall ![\([0;2].\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9f001e7a68d1db871d8f573e1477bd4c3a21c6b1fecf3e2c5b0f4e947417ade8_light.svg)
gilt:
Daraus folgt, dass im betrachteten Intervall der Graph von rechtsgekrümmt und der Graph von linksgekrümmt ist. Damit sich die beiden Graphen nochmals schneiden, müsste sich das Krümmungsverhalten eines Graphen erneut ändern. Somit können sich die beiden Graphen in höchstens zwei Punkten schneiden.
Folglich haben die Graphen und keine weiteren gemeinsamen Schnittpunkte im Intervall
e)
Die Steigung der Wendetangente an der Stelle ist gegeben durch 
Der Wendepunkt hat die Koordinaten Damit das gesuchte Dreieck gleichschenklig ist, muss die Wendetangente die Steigung 
oder 
haben. In diesem Fall haben die Schnittpunkte der Tangente mit den beiden Koordinatenachsen jeweils den gleichen Abstand zum Ursprung.
Für die Steigung ist 
nicht lösbar.
Für die Steigung muss also gelten 
Die Gleichung hat die Lösungen 
und 
Für diese Werte von schließt die Tangente an den Graphen von mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck ein.
f)
Wert von bestimmen
Die Steigung der Geraden durch und lässt sich berechnen durch:
Die Steigung der Tangente an den Graphen von im Punkt ist gegeben durch die Ableitung von in diesem Punkt, also an der Stelle 
Die gesuchten Werte von sind durch die Schnittstellen von 
und 
gegeben.
Die Lösungen dieser Gleichung ergeben sich mit dem solve-Befehl des Taschenrechners und sind gegeben durch 
und 
Für diese Werte von ist die Gerade durch und eine Tangente an den Graphen von im Punkt 
Begründung
Die Gleichung der Geraden durch die Punkte und ist 
Einsetzen der Koordinaten von liefert 
Umformen nach 
liefert den -Achsenabschnitt in Abhängigkeit von 
Der Graph von ist eine nach unten geöffnete Parabel.
Der Hochpunkt der Parabel ergibt sich aus der graphischen Analyse mit dem Taschenrechner und hat die Koordinaten 
Damit lässt sich folgern, dass der -Achsenabschnitt aller Geraden durch und nach oben durch 
beschränkt ist.
Damit kann der Punkt 
auf keiner dieser Geraden liegen.
bestimmen
Die Steigung der Geraden durch und lässt sich berechnen durch:
Die Steigung der Tangente an den Graphen von im Punkt ist gegeben durch die Ableitung von in diesem Punkt, also an der Stelle
Die gesuchten Werte von sind durch die Schnittstellen von und gegeben.
Die Lösungen dieser Gleichung ergeben sich mit dem solve-Befehl des Taschenrechners und sind gegeben durch und Für diese Werte von ist die Gerade durch und eine Tangente an den Graphen von im Punkt
Begründung
Die Gleichung der Geraden durch die Punkte und ist
Einsetzen der Koordinaten von liefert
Umformen nach liefert den -Achsenabschnitt in Abhängigkeit von
Der Graph von ist eine nach unten geöffnete Parabel.
Der Hochpunkt der Parabel ergibt sich aus der graphischen Analyse mit dem Taschenrechner und hat die Koordinaten Damit lässt sich folgern, dass der -Achsenabschnitt aller Geraden durch und nach oben durch beschränkt ist.
Damit kann der Punkt auf keiner dieser Geraden liegen.
g)
Da alle Graphen durch den Ursprung verlaufen, sind die betrachteten Steigungen identisch, wenn 
gilt. Daraus folgt:
Die Lösungen dieser Gleichung sind mit dem solve-Befehl des Taschenrechners zu 
und 
gegeben.
gilt. Daraus folgt:
Die Lösungen dieser Gleichung sind mit dem solve-Befehl des Taschenrechners zu 
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_3(-1)&=& -28 &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
f_a(-1)&=& -28 &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
-1\cdot (-1-a)(-1-2a)&=& -28 &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
-1-3a-2a^2 &=& -28
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/dec7b58c4d6f4828f73be42982be6938e13fd2b138947ced9308ccfd97ce20f7_light.svg)
und gegeben.
h)
Um das Verhältnis der beiden Flächen zu erhalten, müssen zunächst die beiden einzelnen Flächeninhalte berechnet werden.
Die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von ergeben sich mit der graphischen Analyse des Taschenrechners näherungsweise zu 
Die Tangentengleichung im Tiefpunkt verläuft parallel zur -Achse und ergibt sich zu 
Der zweite gemeinsame Punkt der Tangente mit dem Graphen von ergibt sich aus 
woraus folgt: 
Mit dem solve-Befehl des Taschenrechners ergibt sich
Der Inhalt der Fläche, die von der Tangente und dem Graphen von eingeschlossen wird, ergibt sich zu:
Mit der graphischen Analyse des Taschenrechners folgt ![\(A_1\approx 60,75 \;\text{[FE]}.\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/766ef090cbe6a740560986a13fd628da498f64e5e4df7a64b7903933e327cecb_light.svg)
Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von und der -Achse im Intervall eingeschlossen wird, kann folgendermaßen berechnet werden:
![\(\approx 20,25\;\text{[FE]}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e537743acbc47e3850ff5a79aad5f3eccf253f35f03b48ba1ee696dbce87bb3e_light.svg)
Das Verhältnis ist schließlich gegeben durch 
ergeben sich mit der graphischen Analyse des Taschenrechners näherungsweise zu
Die Tangentengleichung im Tiefpunkt verläuft parallel zur -Achse und ergibt sich zu
Der zweite gemeinsame Punkt der Tangente mit dem Graphen von ergibt sich aus woraus folgt:
Mit dem solve-Befehl des Taschenrechners ergibt sich
Der Inhalt der Fläche, die von der Tangente und dem Graphen von eingeschlossen wird, ergibt sich zu:
Mit der graphischen Analyse des Taschenrechners folgt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_1&=& \left| \displaystyle\int_{-0,46}^{4,73}(f_3(x)-t(x))\;\mathrm dx \right|&\quad \scriptsize \; \\[5pt]
&=&\left| \displaystyle\int_{-0,46}^{4,73} (x(x-3)(x-6)+10,39) \;\mathrm dx \right| &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9ef3764363e4130f43b2e4944171ee3cc3eb3ec4bcb0cddb750456888b6f977b_light.svg)
Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von und der -Achse im Intervall eingeschlossen wird, kann folgendermaßen berechnet werden:
Das Verhältnis ist schließlich gegeben durch