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Aufgabe 1B

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Die Entwicklung einer Bakterienart soll mit verschiedenen Modellen untersucht werden. Dabei beschreibt jeweils $t$ die Zeit in Stunden $(\text{h})$ nach Beobachtungsbeginn und die Funktion die Bakterienanzahl in Mengeneinheiten $(\text{ME}).$
Im Modell $A$ beschreibt die Funktion $a$ mit $a(t)= 5\cdot \mathrm e^{0,1\cdot t,}$ $t\in \mathbb{R},$ $t\geq 0,$ die Bakterienanzahl.
a)
Berechne im Modell A
  • die Bakterienanzahl zu Beginn und nach $10$ Stunden,
  • den Zeitpunkt, zu dem die Bakterienanzahl auf $100\,\text{ME}$ angewachsen ist,
  • auf Stunden genau den frühesten Zeitpunkt, zu dem die momentane Wachstumsgeschwindigkeit größer als $20\,\frac{\text{ME}}{\text{h}}$ ist.
Gegeben ist die Gleichung $ \frac{a(11)-a(t)}{11-t} = a'(10).$
Erläutere die Bedeutung der Lösung für $t$ mit $t <11$ im Sachzusammenhang.
(14 BE)
Im Modell $B$ beschreibt die Funktion $b$ mit
$b(t)= 5\cdot \mathrm e^{0,2\cdot t-0,02\cdot t^2},$ $t\in \mathbb{R},$ $t\geq 0,$ die Bakterienanzahl.
Ohne Nachweis kannst du verwenden, dass gilt:
$b'(t)=(1-0,2\cdot t)\cdot \mathrm e^{0,2\cdot t-0,02\cdot t^2}.$
b)
Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Bakterienanzahl im Modell $B$ am stärksten wächst.
Untersuche, zu welchem Zeitpunkt $t$ mit $0 \leq t \leq 6$ der Unterschied der Bakterienanzahlen nach beiden Modellen am größten ist.
Beurteile die Eignung der beiden Funktionen $a$ und $b$ im Hinblick auf die Beschreibung der Bakterienanzahl auf lange Sicht.
(12 BE)
c)
Die Funktion $p$ mit $p(t) = -0,02\cdot t^2 +0,2\cdot t ,$ $t\in \mathbb{R},$ $t \geq 0,$ stellt den Exponenten der Funktion $b$ dar.
Interpretiere die Bedeutung der Nullstellen, der Extremstellen und der Symmetrie des Graphen von $p$ für die Bakterienanzahl im Modell $B.$
(6 BE)
#extrempunkt#nullstelle#symmetrie
Betrachtet werden nun allgemeine Differentialgleichungen für Modelle $C$ und $D$ mit den Parametern $r$ und $s.$
$c'(t)= (r-s)\cdot c(t)$ mit $c(t)>0.$
$d'(t) = (r-s\cdot t)\cdot d(t)$ mit $d(t)>0,$ jeweils $t\in \mathbb{R},$ $t\geq 0,$ $r>0,$ $s>0.$
d)
Begründe mithilfe der Differentialgleichung, dass die Bakterienanzahl nach Modell $C$ zunimmt, wenn gilt: $r > s.$
Begründe, dass die Differentialgleichung im Modell $D$ kein logistisches Wachstum einer Bakterienanzahl beschreibt.
Die Wachstumsintensität ist das Verhältnis aus momentaner Wachstumsgeschwindigkeit und Bakterienanzahl zu jedem Zeitpunkt. Die Graphen in der Abbildung der Anlage stellen die zeitlichen Entwicklungen von Wachstumsintensitäten dar.
Entscheide, welcher Graph zum Modell $C$ und welcher zum Modell $D$ gehört.
Interpretiere im Modell $D$ die Bedeutung der Nullstelle der Wachstumsintensität für die Bakterienanzahl.
(14 BE)
Material
Graphen zu Teilaufgabe d)
Wachstumsintensitäten 2
Abb. 2: $\text{II}$
Wachstumsintensitäten 2
Abb. 2: $\text{II}$
Wachstumsintensitäten 3
Abb. 3: $\text{III}$
Wachstumsintensitäten 3
Abb. 3: $\text{III}$
Bildnachweise [nach oben]
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