Aufgabe 2A

Betrachtet wird ein Glücksrad mit zwei Sektoren. Beim Drehen dieses Glücksrads wird der Sektor „Stern“ mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % angezeigt.

Ein einfaches, grafisches Symbol eines Ziffernblatts mit einem gelben Stern.

a) Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Ergebnisse „Stern“, wenn das Rad dreimal gedreht wird.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ an.
Bestimmen Sie die Mindestanzahl der Drehungen so, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einmal das Ergebnis „Stern“ auftritt.
Die Zufallsgröße $Y$ beschreibt die Anzahl der Ergebnisse „Stern“, wenn das Rad 90-mal gedreht wird.
Bestimmen Sie den Erwartungswert von $Y$ .
Erläutern Sie, wie man ohne weitere Berechnungen die Wahrscheinlichkeiten für $Y=30$ , $Y=33$ und $Y=36$ bei 90 Drehungen vergleichen kann.

(12P)

b) Ein Glücksrad steuert die Bewegung einer Spielfigur auf dem unten abgebildeten Spielfeld nach folgenden Regeln:

Zeigt das Rad „Stern“, so wird die Figur um ein Feld nach rechts gerückt.
Zeigt das Rad nicht „Stern“, so wird die Figur um ein Feld nach links gerückt.
Ist eines der beiden Zielfelder erreicht, so ist das Spiel beendet.
Das Glücksrad wird bei einem Spiel höchstens sechsmal gedreht.

Ziel

Start

Ziel

Für dieses Glücksrad gibt $p$ den Anteil des Sektors „Stern“ an.

Erläutern Sie, dass die Wahrscheinlichkeit für das Erreichen eines der beiden Zielfelder durch den Term $(1-p)^{6}+p^{4}+4\cdot(1-p)\cdot p^{5}$ berechnet werden kann.

Die Wahrscheinlichkeit für das Erreichen eines der beiden Zielfelder soll mindestens 15 % betragen.

Ermitteln Sie die möglichen Werte für $p$ . (Genauigkeit der Angaben: zwei Nachkommastellen)

(12P)

(24P)

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeitsverteilung von $\boldsymbol{X}$ angeben

Deine Aufgabe ist es, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen $X$ anzugeben. Der Aufgabenstellung kannst du dabei entnehmen, dass $X$ die Anzahl der Ergebnisse „Stern“ beschreibt, wenn das Glücksrad dreimal gedreht wird.
Überlege dir nun, welche Arten der Wahrscheinlichkeitsverteilungen du kennst. Wähle anschließend die passende aus und gib die entsprechenden Parameter an. Gib anschließend die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Wahrscheinlichkeiten an, also $P(X=0)$ , $P(X=1)$ , $P(X=2)$ und $P(X=3)$ .

Du kennst beispielsweise die Binomialverteilung. Diese kommt häufig im Zusammenhang mit der Anzahl des Auftretens eines bestimmten Ereignisses vor.
Damit eine Zufallsvariable als binomialverteilt angenommen werden kann, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

Das betrachtete Merkmal darf nur zwei verschiedene Ausprägungen besitzen.
Die Wahrscheinlichkeiten für diese Ausprägungen müssen in jedem Durchgang gleich bleiben (Ziehen mit Zurücklegen).

Überprüfe nun, ob $X$ diese Bedingungen erfüllt. Ist dies der Fall, so ist $X$ binomialverteilt.

zwei Ausprägungen

In diesem Fall beschreibt $X$ , wie oft das Ergebnis „Stern“, in drei Runden auftritt. Das heißt, dass hier nur die beiden Ausprägungen „Stern“, und „nicht Stern“, betrachtet werden. Diese Bedingung ist also erfüllt.

gleiche Wahrscheinlichkeit

Bei jedem Dreh bleibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass „Stern“, gedreht wird gleich groß. Daher ist auch diese Bedingung erfüllt.
Die Zufallsvariable $X$ ist also binomialverteilt.
Eine Zufallsvariable ist immer mit zwei Parametern binomialverteilt:

$n$ ist der Stichprobenumfang.
$p$ ist die Wahrscheinlichkeit des Merkmals das betrachtet wird.

In unserem Fall ist $n =3$ , weil dreimal gedreht wird, und $p = 40 \% = 0,4$ , da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass „Stern“, gedreht wird $40 \%$ beträgt.

Berechne nun noch die elemantaren Wahrscheinlichkeiten. Dies kannst du mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung oder mit deinem GTR tun. Die entsprechende Formel lautet:

$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Formel für die Binomialverteilung

Setzt du hier $n = 3$ und $p = 0,4$ , sowie nacheinander $k = 0$ , $k =1$ , $k=2$ und $k =3$ ein, so erhältst du:

$\begin{array}{rll} P(X=0)&=&\binom{3}{0}\cdot 0,4^0\cdot (0,6)^{3}&\scriptsize \\ &\approx&0,216&\scriptsize\\ &=&21,6\,\%&\scriptsize \\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} P(X=1)&=&\binom{3}{1}\cdot 0,4^1\cdot (0,6)^{2}&\scriptsize \\ &\approx&0,432&\scriptsize \\ &=&43,2\,\%&\scriptsize \ \\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} P(X=2)&=&\binom{3}{2}\cdot 0,4^2\cdot (0,6)^{1}&\scriptsize \\ &\approx&0,288&\scriptsize \\ &=&28,8\,\%&\scriptsize \\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} P(X=3)&=&\binom{3}{3}\cdot 0,4^3\cdot (0,6)^{0}&\scriptsize \\ &\approx&0,064&\scriptsize \\ &=&6,4\,\%&\scriptsize \\ \end{array}$

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR

Hierzu kannst du den Binompdf-Befehl deines GTR verwenden. Diesen findest du im STAT-Menü unter

2nd VARS(DISTR) A. Binompdf

Dort musst du die entsprechenden Parameter eingeben. In dem linken Bild ist dies beispielhaft für $k=0$ dargestellt.

Mathematische Berechnungen auf einem Taschenrechner mit Binomialverteilung.

Du erhältst dann:

$P(X=0) = 21,6\,\%$ , $P(X=1) = 43,2\,\%$ , $P(X=2) = 28,8\,\%$ und $P(X=3) = 6,4\,\%$

Die Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n =3$ und $p = 0,4$ . Dabei gilt:

$P(X=0) = 21,6\,\%$ , $P(X=1) = 43,2\,\%$ , $P(X=2) = 28,8\,\%$ und $P(X=3) = 6,4\,\%$

$\blacktriangleright$ Mindestanzahl der Drehungen

Bestimme die Mindestanzahl der Drehungen so, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einmal das Ergebnis „Stern“ auftritt. Es soll also gelten:

$\begin{array}{rcll} P(\text{Anzahl „Stern“} \geq 1) & \gt &0,99&\\ 1-P(\text{Anzahl „Stern“} = 0) & \gt &0,99&\\ 1 & \gt &0,99+P(\text{Anzahl „Stern“}= 0)&\\ 0,01 & \gt &P(\text{Anzahl „Stern“}= 0)&\\ 0,01 & \gt &0,6^n&\\ \log(0,01)& \gt &n\cdot \log(0,6)&\\ 9,01& \lt & n&\\ \end{array}$

Es müssen mindestens 10 Drehungen erfolgen.

$\blacktriangleright$ Erwartungswert von $\boldsymbol{Y}$ bestimmen

Hier sollst du nun den Erwartungswert einer neuen Zufallsvariablen $Y$ bestimmen. Der Aufgabenstellung kannst du dabei entnehmen, dass $Y$ die Anzahl der Ergebnisse „Stern“, beschreibt, wenn 90-mal gedreht wird. Aus den gleichen Gründen wie oben, kann auch $Y$ als binomialverteilt angenommen werden mit den Parametern $n = 90$ und $p = 0,4$ .
Den Erwartungswert $\mu$ einer binomialverteilten Zufallsvariablen kannst du mit Hilfe folgender Formel berechnen:

$\mu = n\cdot p$

Da du $n = 90$ und $p = 0,4$ kennst, kannst du hier einfach einsetzen:

$\begin{array}{rll} \mu&=&n\cdot p&\scriptsize n = 90; p = 0,4 \\ &=&90\cdot 0,4&\scriptsize \\ &=&36&\scriptsize \\ \end{array}$

Der Erwartungswert der Zufallsvariablen $Y$ beträgt $\mu = 36$ .

$\blacktriangleright$ Vergleich der drei Wahrscheinlichkeiten

Nun sollst du angeben, wie man die drei Wahrscheinlichkeiten für $Y= 30$ , $Y= 33$ und $Y= 36$ vergleichen kann ohne diese zu berechnen.
Da du bisher nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung und den Erwartungswert von $Y$ kennst, muss dieser Vergleich mit Hilfe dieser Informationen stattfinden. Dabei kann dir die folgende Information helfen:

Ist eine Zufallsvariable $X$ binomialverteilt mit dem Erwartungswert $\mu$ , so liegt das Maximum der Verteilung bei $\mu$ . Das heißt $P(X =\mu)$ ist größer als alle anderen Wahrscheinlichkeiten $P(X=k)$ , wenn $k \neq \mu$ gilt.
Je weiter andere Werte für $k$ von $\mu$ abweichen, desto kleiner ist auch die Wahrscheinlichkeit $P(X = k)$ .

Diese Information kannst du nun mit Hilfe von $\mu = 36$ auf die gegebene Problemstellung übertragen.

Da $Y$ binomialverteilt ist und für den Erwartungswert $\mu = 36$ gilt, ist $P(Y= 36)$ das Maximum. Da $30$ stärker vom Erwartungswert $\mu = 36$ abweicht, als $33$ muss $P(Y = 30)$ kleiner sein als $P(Y = 33)$ . Damit gilt insgesamt:

$P(Y= 30) < P(Y= 33) < P(Y = 36)$ .

b) $\blacktriangleright$ Erläutern der Wahrscheinlichkeit

Du kannst die Wahrscheinlichkeit erläutern, indem du jeden Summanden einzeln betrachtest.

Um das linke Zielfeld zu erreichen muss 6 mal „nicht Stern“ auftreten: $(1-p)^6$

Um das rechte Zielfeld zu erreichen gibt es zwei Möglichkeiten:

4 mal „Stern“: $p^4$
1 mal „nicht Stern“ und 5 mal „Stern“: $(1-p)\cdot p^5$ (für diese Wahrscheinlichkeit gibt es 4 mögliche Reihenfolgen)

Addierst du diese Wahrscheinlichkeiten, gibt das Ergebnis die Wahrscheinlichkeit an, dass das Ziel mit höchstens sechs Schritten erreicht wird.

$\blacktriangleright$ Ermittle mögliche Werte für p

Du sollst die Werte für $p$ ermitteln, sodass in mindestens $15\%$ der Fälle das Ziel erreicht wird:

$P (Ziel) = (1-p)^6 + p^4+4\cdot(1-p)\cdot p^5 \geq 0,15$

Gib diese Funktion in deinen Taschenrechner ein und lass dir den Graphen zeichnen. Zeichne zusätzlich $y=0,15$ ein, um dann die Schnittstellen zu berechnen. Dabei interessieren dich nur die Schnittstellen zwischen 0 und 1.

2nd TRACE(CALC) 5. intersect

Graph einer mathematischen Funktion mit einer roten Linie und einem Schnittpunkt.

Du erhältst folgende Schnittstellen $\boldsymbol{x_1 = 0,28}$ und $\boldsymbol{x_2 = 0,51}$ . Die Bereiche, in denen die Wahrscheinlichkeit größer als 0,15 ist, sind dann gegeben durch $\boldsymbol{[0;0,28]}$ und $\boldsymbol{[0,51;1]}$ .

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeitsverteilung von $\boldsymbol{X}$ angeben

Das betrachtete Merkmal darf nur zwei verschiedene Ausprägungen besitzen.
Die Wahrscheinlichkeiten für diese Ausprägungen müssen in jedem Durchgang gleich bleiben (Ziehen mit Zurücklegen).

Überprüfe nun, ob $X$ diese Bedingungen erfüllt. Ist dies der Fall, so ist $X$ binomialverteilt.

zwei Ausprägungen

gleiche Wahrscheinlichkeit

$n$ ist der Stichprobenumfang.
$p$ ist die Wahrscheinlichkeit des Merkmals das betrachtet wird.