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Aufgabe 2A

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Betrachtet wird ein Glücksrad mit zwei Sektoren. Beim Drehen dieses Glücksrads wird der Sektor „Stern“ mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % angezeigt.
a) Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Ergebnisse „Stern“, wenn das Rad dreimal gedreht wird.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ an.
Bestimmen Sie die Mindestanzahl der Drehungen so, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einmal das Ergebnis „Stern“ auftritt.
Die Zufallsgröße $Y$ beschreibt die Anzahl der Ergebnisse „Stern“, wenn das Rad 90-mal gedreht wird.
Bestimmen Sie den Erwartungswert von $Y$.
Erläutern Sie, wie man ohne weitere Berechnungen die Wahrscheinlichkeiten für $Y=30$, $Y=33$ und $Y=36$ bei 90 Drehungen vergleichen kann.
(12P)
b) Ein Glücksrad steuert die Bewegung einer Spielfigur auf dem unten abgebildeten Spielfeld nach folgenden Regeln:
  • Zeigt das Rad „Stern“, so wird die Figur um ein Feld nach rechts gerückt.
  • Zeigt das Rad nicht „Stern“, so wird die Figur um ein Feld nach links gerückt.
  • Ist eines der beiden Zielfelder erreicht, so ist das Spiel beendet.
  • Das Glücksrad wird bei einem Spiel höchstens sechsmal gedreht.
Ziel Start Ziel
Für dieses Glücksrad gibt $p$ den Anteil des Sektors „Stern“ an.
Erläutern Sie, dass die Wahrscheinlichkeit für das Erreichen eines der beiden Zielfelder durch den Term $(1-p)^{6}+p^{4}+4\cdot(1-p)\cdot p^{5}$ berechnet werden kann.
Die Wahrscheinlichkeit für das Erreichen eines der beiden Zielfelder soll mindestens 15 % betragen.
Ermitteln Sie die möglichen Werte für $p$. (Genauigkeit der Angaben: zwei Nachkommastellen)
(12P)

(24P)
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