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Aufgabe 3A

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Aufgabe 3A

Ein Betrieb stellt Fruchtgummi aus der Grundsubstanz $\text{R1}$ und drei Fruchtsaftkonzentraten $\text{R2}$, $\text{R3}$ und $\text{R4}$ her. Es entstehen drei Sorten einzelner Fruchtgummitiere $\text{Z1}$, $\text{Z2}$ und $\text{Z3}$. Unterschiedliche Zusammensetzungen aus den drei Sorten ergeben die in Tüten verpackten Sortimente $\text{E1}$ und $\text{E2}$. Die folgenden Tabellen geben an, wie viele Mengeneinheiten (ME) der Grundsubstanz und der Fruchtsaftkonzentrate für je ein Fruchtgummitier bzw. wie viel Stück der Fruchtgummitiere für je eine Tüte der jeweiligen Sortimente benötigt werden. Der dargestellte Übergangsgraph verdeutlicht den Produktionsprozess.
Abb. 1: Produktionsprozess
Abb. 1: Produktionsprozess
a)
Gib die fehlenden Werte für $a$ und $b$ aus Tabelle $2$ an.
Erläutere die Bedeutung des Eintrags $0$ in Tabelle $1$ im Sachzusammenhang.
Im Lager befinden sich noch $2.000$ ME der Grundsubstanz $\text{R1}$, $3.000$ ME des Fruchtsaftkonzentrats $\text{R2}$ und $1.000$ Stück der Fruchtgummitiere $\text{Z1}$. Es sollen $50$ Tüten des Sortiments $\text{E1}$ und $50$ Tüten des Sortiments $\text{E2}$ produziert werden. Dabei sollen alle vorhandenen Materialien vollständig verwendet werden.
Bestimme die ME der Grundsubstanz und die ME aller Fruchtsaftkonzentrate, die für diese Produktion nachbestellt werden müssen.
(9P)
#tabelle
b)
Bisher wurden von den Tüten der Sortimente $\text{E1}$ und $\text{E2}$ gleich viele produziert. Die Produktion der Tüten des Sortiments $\text{E1}$ soll um $10\,\%$ und die Produktion der Tüten von Sortiment $\text{E2}$ soll um $18\,\%$ gesteigert werden.
Berechne, um wie viel Prozent der Bedarf für das Fruchtsaftkonzentrat $\text{R4}$ steigt.
Eine Tüte eines neuen Sortiments $\text{E3}$ soll unter folgenden Bedingungen zusammengestellt werden:
  • Sie enthält insgesamt $50$ Stück der Fruchtgummitiere $\text{Z1}$, $\text{Z2}$ und $\text{Z3}$,
  • es werden genau $109$ ME des Fruchtsaftkonzentrats $\text{R2}$ und $80$ ME des Fruchtsaftkonzentrats $\text{R3}$ verwendet,
  • von der Grundsubstanz $\text{R1}$ und dem Fruchtsaftkonzentrat $\text{R4}$ stehen beliebig viele ME zur Verfügung.
Untersuche, ob eine Tüte des neuen Sortiments $\text{E3}$ unter diesen Bedingungen zusammengestellt werden kann.
(8P)
c)
Unabhängig vom Sachzusammenhang sind die Vektoren $\overrightarrow{v}=\pmatrix{ v_{1} \\v_{2}}$ mit $v_{1},\,v_{2}\neq0$ gegeben.
Bestimme alle Vektoren $\overrightarrow{v}$, die die folgende Gleichung lösen: $\pmatrix{3 & 2 \\ 6 & 4} \cdot \pmatrix{ v_{1} \\v_{2}}= \pmatrix{0 \\ 0}$.
Damit $\pmatrix{a & b \\ c & d} \cdot \pmatrix{ v_{1} \\v_{2}}=\pmatrix{0\\0}$ mit $v_{1},\,v_{2}\neq0$ Lösungen hat, müssen $a,\, b,\, c,\, d \in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ unabhängig von $v_{1}$ und $v_{2}$ eine Bedingung erfüllen, die als Gleichung formuliert werden kann.
Leite diese Gleichung her.
(7P)
#gleichung#vektoren
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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