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Aufgabe 1A

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Eine Isolierkanne besteht aus einer Kunststoffhülle sowie einem Glaseinsatz und soll modellmäßig beschrieben werden.
Die Kanne wird entsprechend der Abbildung 1 der Anlage im Koordinatensystem liegend betrachtet.
Außen wird der obere Rand der Hülle für $-11 \leq x \leq 11$ beschrieben durch eine Funktion $f$ mit$f(x)=\frac{1}{512} \cdot x^3 - \frac{3}{8} \cdot x + 6$; $x$ und $f(x)$ in Zentimetern.
a) Die parallel zur $y$-Achse gemessene Wandstärke der Hülle beträgt $2\,\text{mm}$.
Begründe, dass innen der obere Rand der Hülle für $-11 \leq x \leq 11$ durch eine Funktion $g$ mit $g(x)=\frac{1}{512} \cdot x^3 - \frac{3}{8} \cdot x + 5,8$ beschrieben wird; $x$ und $g(x)$ in Zentimetern.
Bestimme den Innendurchmesser der Hülle am Boden und den maximalen Innendurchmesser der Hülle.
Die Hülle erhält einen zylinderförmigen Einsatz aus Glas wie in der Abbildung 1 dargestellt. Seine Wandstärke beträgt $3\,\text{mm}$. Der Einsatz reicht vom Boden bis $1\,\text{cm}$ unterhalb der Öffnung.
Berechne die Höhe, bis zu der der Einsatz gefüllt werden muss, damit er $0,75\,\text{Liter}$ Flüssigkeit enthält.
(14P)
b)  An der Hülle wird ein Griff angebracht. Der Rand des Griffs wird für $-8 \leq x \leq 8$ beschrieben durch eine Funktion $h$ mit $h(x)=-\frac{1}{256} \cdot x^3 - \frac{3}{64} \cdot x^2 + 9$; $x$ und $h(x)$ in Zentimetern.
Zeige, dass der Übergang zwischen der Modellierung von Griff und Hülle an der Stelle $x=-8$ zwar sprung- und knickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei ist.
Der obere Rand der Hülle hat im Punkt $B\,(8 \mid 4)$ eine waagerechte Tangente.
Bestimme die Größe des Winkels $\alpha$, unter dem der Griff am Punkt $B$ auf den oberen Rang der Hülle trifft.
Zeige, dass der parallel zur $y$-Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle stets kleiner als $3,7\,\text{cm}$ ist.
(14P)
c)  Die äußere Hülle (ohne Deckel und Boden) wird aus Kunststoff gefertigt.
Berechne das Volumen des dafür benötigten Kunststoffs.
Die senkrecht zum Graphen von $f$ gemessene Dicke $d$ der Hülle soll untersucht werden.
Eine Gerade, die senkrecht zum Graphen von $f$ durch den Punkt $C\,(0 \mid 6)$ verläuft, hat die Gleichung $n(x)=\frac{8}{3}\cdot x+6$.
Untersuche, ob die Dicke $d$ im Punkt $C\,(0 \mid 6)$ um weniger als $10\,\%$ von der parallel zur $y$-Achse gemessene Wandstärke abweicht.
(11P)
d) Unabhängig vom Sachzusammenhang werden Graphen ganzrationaler Funktionen $p$ dritten Grades betrachtet, die neben einem Wendepunkt auch einen Hoch- und einen Tiefpunkt haben.
In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $p'$ dargestellt.
Begründe mithilfe der Abbildung 2, dass für jeden Graphen einer ganzrationalen Funktion $p$ dritten Grades mit obigen Eigenschaften gilt:
  • Die $x$-Koordinate des Wendepunktes liegt in der Mitte zwischen der $x$-Koordinate des Hoch- und der $x$-Koordinate des Tiefpunktes.
  • Hoch-, Wende- und Tiefpunkt liegen auf einer Geraden.
(7P)

Material

Anlage
Grafische Darstellung zu den Teilaufgaben a), b) und c)
Abbildung 1: Querschnitt der Kanne
Graph zu Teilaufgabe d)
Abbildung 2: Graph der Ableitungsfunktion $p'$
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