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Aufgabe P1

Gegeben sind die in $ℝ$ definierten Funktionen $f$, $g$ und $h$ durch
$f(x)=x^2-x+1$,
$g(x)=x^3-x+1$ und
$h(x)=x^4+x^2+1$.
a)  Die Abbildung zeigt den Graphen einer der drei Funktionen.
Gib an, um welche Funktion es sich handelt.
Begründe, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.
(3P)
b)  Die erste Ableitungsfunktion von $h$ ist $h'$. Bestimme den Wert von $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{1}h'(x)\mathrm\,{dx}$.
(2P)

Aufgabe P2

Für jeden Wert von $a$ $(a>0)$ ist eine Funktion $f_a$ gegeben durch $f_a(x)=x\cdot \mathrm{e}^{-a\cdot x}$ $(x \in ℝ)$.
In der nebenstehenden Abbildung ist beispielhaft für $a=2$ der Graph von $f_2$ sowie von $f_2´$ dargestellt.
Es ist $f_2'(0)=1$.
a)  Begründe, dass $y=x$ die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f_2$ an der Stelle $x=0$ ist.
(2P)
b)  Zeige, dass gilt: $f_a'(x)=(1-a\cdot x)\cdot \mathrm{e}^{-a\cdot x}$ $(x \in ℝ , a>0)$.
(2P)
c)  Begründe, dass die Extremstellen der Graphen von $f_a$ vom Parameter $a$ abhängig sind, die Nullstellen aber nicht.
(2P)

Aufgabe P3

Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge $5$ und der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ beschrieben.
a)  Gib für die folgenden Ereignisse jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von $p$ beschreibt.
  • Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.
  • Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen.
(3P)
b)  Erläutere anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.
(2P)

Aufgabe P4

Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A\,(0\mid 1\mid 2)$ und $B\,(2\mid 5\mid 6)$.
a)  Zeige, dass die Punkte $A$ und $B$ den Abstand $6$ haben.
Die Punkte $C$ und $D$ liegen auf $g$ und haben von $A$ jeweils den Abstand $12$.
Bestimme die Koordinaten von $C$ und $D$.
(3P)
b)  Die Punkte $A$, $B$ und $E\,(1\mid 2\mid 5)$ sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunktes gibt es mehrere Möglichkeiten.
Gib für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunktes an.
(2P)

Aufgabe P5

Zu einem bestimmten Zeitpunkt haben die drei Anbieter $A1$, $A2$ und $A3$ jeweils 10.000 Kunden. Die für das nächste Jahr zu erwartende Kundenwanderung zwischen diesen Anbietern wird durch die nebenstehende Übergangstabelle beschrieben.
von \ nach$\boldsymbol{A1}$$\boldsymbol{A2}$$\boldsymbol{A3}$
$\boldsymbol{A1}$$0,90$$0,02$$0,02$
$\boldsymbol{A2}$$0,04$$0,90$$0,03$
$\boldsymbol{A3}$$0,06$$0,08$$0,95$
a)  Vervollständige den nebenstehenden Übergangsgraphen zur Kundenwanderung innerhalb des nächsten Jahres.
Gib die Gesamtzahl der Kunden an, die innerhalb des nächsten Jahres den Anbieter wechseln.
(2P)
b)  Ausgehend von der Ausgangsverteilung von je $10.000$ Kunden wird eine Fusion der Anbieter $A1$ und $A2$ zu einem Anbieter $A1\&A2$ geplant. Im Kundengeschäft behalten beide ihr bekanntes Profil bei, sodass angenommen werden kann, dass die Kundenwanderung im nächsten Jahr weiterhin wie in der obigen Übergangstabelle dargestellt abläuft.
Vervollständige den untenstehenden Übergangsgraphen zur Kundenwanderung innerhalb des nächsten Jahres unter Berücksichtigung der Fusion.
Vervollständige die nebenstehende Übergangstabelle zur Kundenwanderung innerhalb des nächsten Jahres unter Berücksichtigung der Fusion.
von/nach $A1\&A2$ $A3$
$A1\&A2$
$A3$$0,95$
(3P)

Aufgabe P1

Gegeben sind die in $ℝ$ definierten Funktionen $f$, $g$ und $h$ durch
$f(x)=x^2-x+1$,
$g(x)=x^3-x+1$ und
$h(x)=x^4+x^2+1$.
a)  Die Abbildung zeigt den Graphen einer der drei Funktionen.
Gib an, um welche Funktion es sich handelt.
Begründe, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.
(3P)
b)  Die erste Ableitungsfunktion von $h$ ist $h'$. Bestimme den Wert von $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{1}h'(x)\mathrm\,{dx}$.
(2P)

Aufgabe P2

Für jeden Wert von $a$ $(a>0)$ ist eine Funktion $f_a$ gegeben durch $f_a(x)=x\cdot \mathrm{e}^{-a\cdot x}$ $(x \in ℝ)$.
In der nebenstehenden Abbildung ist beispielhaft für $a=2$ der Graph von $f_2$ sowie von $f_2´$ dargestellt.
Es ist $f_2'(0)=1$.
a)  Begründe, dass $y=x$ die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f_2$ an der Stelle $x=0$ ist.
(2P)
b)  Zeige, dass gilt: $f_a'(x)=(1-a\cdot x)\cdot \mathrm{e}^{-a\cdot x}$ $(x \in ℝ , a>0)$.
(2P)
c)  Begründe, dass die Extremstellen der Graphen von $f_a$ vom Parameter $a$ abhängig sind, die Nullstellen aber nicht.
(2P)

Aufgabe P3

Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge $5$ und der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ beschrieben.
a)  Gib für die folgenden Ereignisse jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von $p$ beschreibt.
  • Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.
  • Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen.
(3P)
b)  Erläutere anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.
(2P)

Aufgabe P4

Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A\,(0\mid 1\mid 2)$ und $B\,(2\mid 5\mid 6)$.
a)  Zeige, dass die Punkte $A$ und $B$ den Abstand $6$ haben.
Die Punkte $C$ und $D$ liegen auf $g$ und haben von $A$ jeweils den Abstand $12$.
Bestimme die Koordinaten von $C$ und $D$.
(3P)
b)  Die Punkte $A$, $B$ und $E\,(1\mid 2\mid 5)$ sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunktes gibt es mehrere Möglichkeiten.
Gib für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunktes an.
(2P)

Aufgabe P5

Zu einem bestimmten Zeitpunkt haben die drei Anbieter $A1$, $A2$ und $A3$ jeweils 10.000 Kunden. Die für das nächste Jahr zu erwartende Kundenwanderung zwischen diesen Anbietern wird durch die nebenstehende Übergangstabelle beschrieben.
von \ nach$\boldsymbol{A1}$$\boldsymbol{A2}$$\boldsymbol{A3}$
$\boldsymbol{A1}$$0,90$$0,02$$0,02$
$\boldsymbol{A2}$$0,04$$0,90$$0,03$
$\boldsymbol{A3}$$0,06$$0,08$$0,95$
a)  Vervollständige den nebenstehenden Übergangsgraphen zur Kundenwanderung innerhalb des nächsten Jahres.
Gib die Gesamtzahl der Kunden an, die innerhalb des nächsten Jahres den Anbieter wechseln.
(2P)
b)  Ausgehend von der Ausgangsverteilung von je $10.000$ Kunden wird eine Fusion der Anbieter $A1$ und $A2$ zu einem Anbieter $A1\&A2$ geplant. Im Kundengeschäft behalten beide ihr bekanntes Profil bei, sodass angenommen werden kann, dass die Kundenwanderung im nächsten Jahr weiterhin wie in der obigen Übergangstabelle dargestellt abläuft.
Vervollständige den untenstehenden Übergangsgraphen zur Kundenwanderung innerhalb des nächsten Jahres unter Berücksichtigung der Fusion.
Vervollständige die nebenstehende Übergangstabelle zur Kundenwanderung innerhalb des nächsten Jahres unter Berücksichtigung der Fusion.
von/nach $A1\&A2$ $A3$
$A1\&A2$
$A3$$0,95$
(3P)
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