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Aufgabe 1A

Aufgaben
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Unter der Körpertemperatur eines Menschen versteht man die Temperatur des Körperinneren.
Die Körpertemperatur eines gesunden Menschen (Normaltemperatur) wird mit $37,0^{\circ}\text C$ angenommen.
Bei Temperaturen ab $37,9 ^{\circ} \text {C}$ spricht man von Fieber.
Der zeitliche Verlauf der Körpertemperatur einer erkrankten Person lässt sich bei bestimmten Erkrankungen modellhaft mithilfe der Funktion $f$ mit $f(t)=37+3t\cdot e^{-\frac{1}{7}t^2}$, $t\geq 0$, beschreiben.
Dabei ist $t$ die Zeit in Tagen nach dem Ausbruch der Krankheit und $f(t)$ die Körpertemperatur in $^{\circ} \text C$.
Die Ableitungsfunktion $f'$ ist gegeben durch $f'(t)=\left(3- \frac{6}{7}t^2\right)\cdot e^{-\frac{1}{7}t^2}$.
Die zu ermittelnden Zeiten sollen in Tagen, auf eine Nachkommastelle gerundet, angegeben werden.
a)
Berechne
  • die Abweichung der Körpertemperatur der erkrankten Person am Ende des ersten Tages von der Normaltemperatur,
  • die Länge des Zeitraumes, in dem die Person Fieber hat.
Berechne $f'(2)$ und deute diesen Wert im Sachzusammenhang.
Nenne zwei Aspekte, die verdeutlichen, dass es sich bei diesem Modell um eine Vereinfachung der Realität handelt.
(11 BE)
b)
Ermittle den Zeitpunkt, zu dem die Körpertemperatur der Person am stärksten ansteigt, und den Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt.
Die Temperatur der Person sinkt zu einem Zeitpunkt unter $37,5 ^{\circ} \text C$.
Begründe mithilfe des Terms der 1. Ableitung von $f$, dass es ab diesem Zeitpunkt die Temperatur dauerhaft $37,5 ^{\circ} \text C$ bleibt.
(11 BE)
#ableitung
c)
Eine andere Person mit gleichem Krankheitsverlauf nimmt $3$ Tage nach Ausbruch der Krankheit ein fiebersenkendes Medikament ein. Man geht davon aus, dass ab diesem Zeitpunkt die Temperatur exponentiell abnimmt und sich der Normaltemperatur nähert.
Sechs Stunden nach der Einnahme des Medikaments beträgt die Temperatur $37,6 ^{\circ} \text C$.
Bestimme den Zeitpunkt nach der Medikamenteneinnahme, zu dem die Person fieberfrei wird.
(9 BE)
#exponentielleswachstum
d)
Die Funktionen $f_k$ mit $f_k(t)=37+3t\cdot e^{-k\cdot t^2}$,$t\geq 0$, $k > 0$, können ebenfalls modellhaft den Temperaturverlauf bei bestimmten Erkrankungen beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Tagen nach dem Ausbruch der Krankheit und $f_k(t)$ die Körpertemperatur in $^{\circ} \text C$. Der Parameter $k$ hängt von der maximalen Körpertemperatur während der Erkrankung ab.
Für jeden Wert von $k$ sind die Ableitungsfunktion $f_k'$ durch $f_k'(t)=(3-6k\cdot t^2)\cdot e^{-k\cdot t^2}$ und eine Stammfunktion $F_k$ durch $F_k(t)=37t-\dfrac{3}{2k}\cdot e^{-k\cdot t^2}$ gegeben. Für jeden Wert von $k$ hat der Graph von $f_k$ genau einen Hochpunkt.
In der Abbildung 1 sind die Graphen der Funktionen $f_{0,1}$ und $f_{0,2}$ dargestellt.
Entscheide, welcher Graph zu welcher Funktion gehört.
Für jeden Wert von $k$ wird der Inhalt $A(k)$ der Fläche zwischen dem Graphen von $f_k$ und der Geraden zu $y=37$ als ein Maß für die Belastung einer erkrankten Person angenommen.
Zeige, dass $A(k)=\dfrac{3}{2k}$ gilt.
Bestimme alle Werte von $k$, für die die Graphen von $f_k$ einen Temperaturverlauf ohne Fieber beschreiben.
(15 BE)
#funktionenschar
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
#gtr
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Abweichung am Ende des Tages berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(1) &=& 37 + 3\cdot 1 \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{7}\cdot 1^2} \\[5pt] &=& 37 + 3\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{7}} \\[5pt] &\approx& 39,6^{\circ}\,C \end{array}$
$ f(1)\approx 39,6^{\circ}\,C $
Die Normaltemperatur beträgt $37,0^{\circ}\,C.$ Am Ende des ersten Tages weicht die Körpertemperatur also um ca. $2,6^{\circ}\,C$ von der Normaltemperatur ab.
$\blacktriangleright$  Länge des Fieberzeitraums berechnen
Löse folgende Gleichung mit deinem GTR:
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
Bestimme die $x$-Werte zum $y$-Wert $37,9$ mit dem X-CAL-Befehl.
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& 37,9 \\[5pt] 37 + 3\cdot t \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{7}\cdot t^2} &=& 37,9 &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] t_1 &\approx& 0,3 \\[5pt] t_2 &\approx& 4,3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1 &\approx& 0,3 \\[5pt] t_2 &\approx& 4,3 \end{array}$
Am Graphen kann man erkennen, dass $f(t)\geq 37,9$ gilt für $t_1 \leq t\leq t_2.$ Die Person hat in diesem Zeitraum also Fieber. Die Person hat ca. $4$ Tage lang Fieber.
$\blacktriangleright$  Wert berechnen und im Sachzusammenhang deuten
$\begin{array}[t]{rll} f'(2) &=& \left(3 - \frac{6}{7}\cdot 2^2 \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{7}\cdot 2^2} \\[5pt] &=& -\frac{3}{7}\cdot \mathrm e^{-\frac{4}{7}} \\[5pt] &\approx& -0,24 \end{array}$
$ f'(2)\approx -0,24 $
Am Ende des zweiten Tages nimmt die Körpertemperatur der Person mit einer momentanen Änderungsrate von ca. $0,24^{\circ}\,C$ pro Tag ab.
$\blacktriangleright$  Zwei Aspekte der Vereinfachung nennen
  • Eine Krankheit und damit auch der einhergehende Verlauf der Körpertemperatur verläuft bei jeder Person unterschiedlich. Mithilfe des Modells wird ein "Standardfall" abgebildet. Bei den wenigsten Patienten wird der Verlauf genau so eintreten.
  • Die Körpertemperatur eines Menschen schwankt auch im gesunden Zustand regelmäßig, man kann also nicht davon ausgehen, dass die Personen zu Beginn der Erkrankung genau die Körpertemperatur $37^{\circ}\,C$ haben und diese auch zum Ende der Erkrankung wieder annehmen und dann stetig beibehalten. Genauso kann auch die Körpertemperatur während der Erkrankung schwanken, also innerhalb eines Tages beispielsweise steigen und wieder sinken. Das wird im Modell nicht berücksichtigt.
#gtr
b)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit dem stärksten Anstieg und der stärksten Abnahme ermitteln
Die Zunahme und Abnahme der Körpertemperatur wird durch die erste Ableitungsfunktion $f'$ beschrieben.
Lass dir den Graphen von $f'$ in deinem GTR anzeigen und bestimme die Hoch- und Tiefpunkte:
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN
F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
Du erhältst:
$T_1(-3,2\mid -1,34),$ $H(0\mid 3),$ $T_2(3,2\mid -1,34)$
Die Körpertemperatur der Person nimmt direkt zum Zeitpunkt des Krankheitsausbruchs am stärksten zu und ca. $3,2$ Tage nach dem Ausbruch am stärksten ab.
$\blacktriangleright$  Dauerhafte Temperatur begründen
Es ist $f'(t) = \left(3 - \frac{6}{7}t^2 \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{7}\cdot t^2}.$
Ist $f'(t) > 0,$ so steigt die Körpertemperatur zu diesem Zeitpunkt, ist $f'(t) < 0,$ so sinkt die Körpertemperatur.
Der Faktor $\mathrm e^{-\frac{1}{7}\cdot t^2}$ ist $>0$ für alle $t\in \mathbb{R}.$ Bei dem zweiten Faktor $\left(3 - \frac{6}{7}t^2 \right)$ handelt es sich um den Funktionsterm einer nach unten geöffneten Parabel.
Die zugehörige Parabel ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Ihr Scheitelpunkt liegt daher auf der $y$-Achse, sodass der Graph danach streng monoton fällt. Die Parabel schneidet also an einer Stelle $t_N > 0$ die $t$-Achse. Ab diesem Wert verläuft die Parabel unterhalb der $t$-Achse. Es gilt also $\left(3 - \frac{6}{7}t^2 \right) < 0$ für alle $t > t_N.$
Gleiches gilt auch für den gesamten Funktionsterm von $f':$
Es ist $\left(3 - \frac{6}{7}t^2 \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{7}\cdot t^2} >0$ für alle $0\leq t < t_N$ und $\left(3 - \frac{6}{7}t^2 \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{7}\cdot t^2} < 0$ für alle $t> t_N.$
Sinkt die Körpertemperatur also einmal nach Ausbruch der Krankheit, so steigt sie nicht wieder. Sinkt sie also einmal unter $37,5^{\circ}\,C,$ so bleibt sie auch dauerhaft darunter.
#extrempunkt#gtr
c)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt bestimmen
1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
Eine exponentielle Abnahme kann durch eine Gleichung der folgenden Form beschrieben werden:
$g(t) = a\cdot \mathrm e^{b\cdot t} +c$ mit $a,b,c\in \mathbb{R}$
Bezeichne mit $t$ in diesem Fall die Zeit in Tagen nach der Einnahme des Medikaments.
  • $a$ beschreibt die Körpertemperatur zum Zeitpunkt $t=0.$ Diese entspricht der Körpertemperatur drei Tage nach Ausbruch der Krankheit, also $a= f(3).$
  • $b$ beschreibt den Wachstumsfaktor.
  • $c$ ist der Wert, dem sich die Körpertemperatur langfristig annähert, also $c = 37.$
$\begin{array}[t]{rll} a &=& f(3) \\[5pt] &=& 37 + 3\cdot 3 \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{7}\cdot 3^2} \\[5pt] &=& 37 + 9 \cdot \mathrm e^{-\frac{9}{7}} \\[5pt] \end{array}$
$ a=37 + 9 \cdot \mathrm e^{-\frac{9}{7}} $
Um $b$ zu berechnen kannst du die Angabe aus der Aufgabenstellung verwenden, dass die Körpertemperatur $6$ Stunden nach der Einnahme $37,6^{\circ}\,C$ beträgt:
$\begin{array}[t]{rll} g\left(\frac{6}{25}\right) &=& 37,6 \\[5pt] \left( 37 + 9 \cdot \mathrm e^{-\frac{9}{7}} \right) \cdot \mathrm e^{b\cdot 0,25} + 37 &=& 37,6 &\quad \scriptsize \mid\;-37 \\[5pt] \left( 37 + 9 \cdot \mathrm e^{-\frac{9}{7}} \right) \cdot \mathrm e^{b\cdot 0,25} &=& 0,6 \end{array}$
$( 37 + … $
Löse die Gleichung mit deinem GTR, indem du $\left( 37 + 9 \cdot \mathrm e^{-\frac{9}{7}} \right) \cdot \mathrm e^{b\cdot 0,25}$ als Funktion von $b$ auffasst und dir den zugehörigen Graphen anzeigen lässt. Du erhältst dann mit dem Vorgehen aus Aufgabe a):
$b\approx -16,75$
Eine Funktionsgleichung von $g$ lautet also:
$g(t) = \left( 37 + 9 \cdot \mathrm e^{-\frac{9}{7}} \right) \cdot \mathrm e^{-16,75\cdot t} + 37$
$ g(t) = … $
2. Schritt: Zeitpunkt bestimmen
Gesucht ist nun $t$ mit $g(t) = 37,9.$ Diese Gleichung kannst du wieder mit deinem GTR lösen und erhältst:
$t \approx 0,23$
Ca. $0,2$ Tage bzw. $5,5$ Stunden nach Einnahme des Medikaments wird die Person fieberfrei.
d)
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Je höher der Parameterwert $k$ ist, desto schneller fällt der zugehörige Graph von $f_k.$
Graph $\text{I}$ gehört also zu $f_{0,1}$ und Graph $\text{II}$ gehört zu $f_{0,2}.$
$\blacktriangleright$  Maß berechnen
Den gesuchten Flächeninhalt kannst du mit einem Integral berechnen.
1. Schritt: Integrationsgrenzen bestimmen
Die Integrationsgrenzen sind die Schnittstellen der beiden Funktionen $f_k$ und $y = 37.$
$\begin{array}[t]{rll} f_k(t) &=& 37 \\[5pt] 37 + 3t\cdot \mathrm e^{-k\cdot t^2} &=& 37 &\quad \scriptsize \mid\; -37 \\[5pt] 3t\cdot \mathrm e^{-k\cdot t^2} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{-k\cdot t^2} \neq 0 \\[5pt] 3t &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] t &=& 0 \end{array}$
$ t=0 $
Es gibt nur eine Schnittstelle. Es ist also der Wert eines unbestimmten Integrals zu berechnen.
2. Schritt: Integral berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A(k) &=& \lim\limits_{b\to\infty} \displaystyle\int_{0}^{b}(f_k(t) -37)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \lim\limits_{b\to\infty} \left[F_k(t)-37t \right]_{0}^{b} \\[5pt] &=& \lim\limits_{b\to\infty} \left[37t - \frac{3}{2k}\cdot \mathrm e^{-k\cdot t^2}-37t \right]_{0}^{b} \\[5pt] &=& \lim\limits_{b\to\infty} \left[ - \frac{3}{2k}\cdot \mathrm e^{-k\cdot t^2} \right]_{0}^{b} \\[5pt] &=& \lim\limits_{b\to\infty} \left[ - \frac{3}{2k}\cdot \mathrm e^{-k\cdot b^2} - \left( - \frac{3}{2k}\cdot \mathrm e^{-k\cdot 0^2} \right) \right] \\[5pt] &=& \lim\limits_{b\to\infty} \left[ - \frac{3}{2k}\cdot \mathrm e^{-k\cdot b^2} + \frac{3}{2k} \right] \\[5pt] \end{array}$
$ A(k)= \lim\limits_{b\to\infty} \displaystyle\int_{0}^{b}(f_k(t) -37)\;\mathrm dt$
Es gilt nun $-k\cdot b^2 \to -\infty$ für $b\to \infty.$ Für $x \to -\infty$ gilt wiederum $\mathrm e^{x} \to 0.$
Insgesamt gilt daher $- \frac{3}{2k}\cdot \mathrm e^{-k\cdot b^2} \to 0$ und daher:
$A(k) = \lim\limits_{b\to\infty} \left[ - \frac{3}{2k}\cdot \mathrm e^{-k\cdot b^2} + \frac{3}{2k} \right] = \frac{3}{2k}$
$ A(k)=\frac{3}{2k} $
$\blacktriangleright$  Fieberfreien Verlauf bestimmen
Eine Funktion $f_k$ beschreibt dann einen fieberfreien Verlauf, wenn ihr Hochpunkt unterhalb der Fiebergrenze von $y=37,9$ liegt.
1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f_k'(t) &=& 0 \\[5pt] \left(3-6k\cdot t^2 \right) \cdot \mathrm e^{-k\cdot t^2} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^{-k\cdot t^2} \neq 0\\[5pt] 3-6k\cdot t^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] -6k\cdot t^2&=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; :(-6k)\\[5pt] t^2 &=& \frac{1}{2k}\\[5pt] t_1 &=& \sqrt{\frac{1}{2k}} \\[5pt] t_2 &=& -\sqrt{\frac{1}{2k}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_k'(t) &=& 0 \\[5pt] t_1 &=& \sqrt{\frac{1}{2k}} \\[5pt] t_2 &=& -\sqrt{\frac{1}{2k}} \end{array}$
Da $t_2 < 0$ ist und dies im Sachzusammenhang nicht sinnvoll ist, bleibt nur $t_1 = \sqrt{\frac{1}{2k}}$ für die Maximalstelle. Der Abbildung ist zu entnehmen, dass die Graphen von $f_k$ ihren Hochpunkt im ersten Quadranten besitzen.
2. Schritt: $y$-Koordinate bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} y_k &=& f_k\left(\sqrt{\frac{1}{2k}} \right) \\[5pt] &=& 37 + 3\cdot \sqrt{\frac{1}{2k}}\cdot \mathrm e^{-k\cdot \sqrt{\frac{1}{2k}}^2} \\[5pt] &=& 37 + 3\cdot \sqrt{\frac{1}{2k}}\cdot \mathrm e^{-k\cdot\frac{1}{2k}} \\[5pt] &=& 37 + 3\cdot \sqrt{\frac{1}{2k}}\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}} \\[5pt] \end{array}$
$ y_K= 37 + 3\cdot \sqrt{\frac{1}{2k}}\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}} $
3. Schritt: Parameterwert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} y_k &<& 37,9 \\[5pt] 37 + 3\cdot \sqrt{\frac{1}{2k}}\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}} &<& 37,9 &\quad \scriptsize \mid\; -37 \\[5pt] 3\cdot \sqrt{\frac{1}{2k}}\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}} &<& 0,9 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] \sqrt{\frac{1}{2k}}\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}} &<& 0,3 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^{-\frac{1}{2}} \\[5pt] \sqrt{\frac{1}{2k}} &<& \dfrac{0,3}{\mathrm e^{-\frac{1}{2}}} &\quad \scriptsize \mid\; ^2 \\[5pt] \frac{1}{2k} &<& \dfrac{0,09}{\mathrm e^{-1}} \\[5pt] \frac{1}{2k} &<& 0,09\mathrm e &\quad \scriptsize \mid\; \cdot k \geq 0 \\[5pt] \frac{1}{2} &<& 0,09\mathrm e\cdot k &\quad \scriptsize \mid\; :0,09\mathrm e \\[5pt] \frac{1}{0,18\mathrm e} &<& k \end{array}$
$ \frac{1}{0,18\mathrm e} < k $
Für alle $k> \frac{1}{0,18\mathrm e} $ beschreiben die zugehörigen Graphen von $f_k$ einen fieberfreien Temperaturverlauf.
#integral#extrempunkt
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