Analytische Geometrie

Aufgabe 3A

Betrachtet werden die Punkte $A(2\mid0\mid 0),$ $B(-2\mid0\mid 0),$ $C(-2\mid0\mid 3),$ $D(2\mid0\mid 3),$ $S(0\mid-5\mid0),$ $E_k(0\mid k\mid 0)$ und $F_k(0\mid k\mid 30-3 k)$ mit $0\lt k \leq 10.$
Die Abbildung 1 zeigt einen zusammengesetzten Körper, der aus der Pyramide $ABCDS$ und einem Körper $ABCDE_kF_k$ besteht.

Abbildung 1

Das Viereck $ABCD$ ist ein Rechteck.

Untersuche, ob $ABCD$ auch ein Quadrat ist.
Berechne das Volumen der Pyramide $ABCDS.$

(4 BE)

Jeder Punkt $F_k$ liegt auf der Gerade $g$ (vgl. Abbildung 1).

Gib den Ortsvektor eines Punkts auf $g$ an und zeige, dass $\pmatrix{0\\1\\-3}$ ein Richtungsvektor von $g$ ist.

(2 BE)

Begründe, dass die $xz$ -Ebene für keinen Wert von $k$ eine Symmetrieebene des zusammengesetzten Körpers ist.

(3 BE)

Die Punkte $C, D$ und $S$ liegen in der Ebene $L.$

Bestimme eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.
Ermittle den Wert von $k,$ für den der Eckpunkt $F_k$ ebenfalls in $L$ liegt.

(5 BE)

Im Dreieck $D F_k C$ wird der Innenwinkel im Punkt $F_k$ betrachtet.

Ermittle denjenigen Wert von $k,$ für den die Größe dieses Winkels maximal ist, und erläutere deinen Lösungsweg.

(6 BE)

Aufgabe 3B

In manchen Häfen ändert sich die Höhe des Wasserstandes z. B. aufgrund von Gezeiten sehr stark. Dies muss beim Festmachen von Booten berücksichtigt werden. Es werden zwei von mehreren Leinen betrachtet, mit denen ein Boot festgemacht ist. Dabei wird Punkt $A(4\mid 1\mid a)$ mit Punkt $D(5\mid 0\mid 0)$ und Punkt $B(-4\mid 1\mid a)$ mit Punkt $C(-5\mid0\mid0)$ verbunden. Es gilt $-4 \leq a \leq-0,5.$
An einem bestimmten Tag stellt $a=-4$ die Situation bei Niedrigwasser und $a=-0,5$ bei Hochwasser dar. Abbildung 2 zeigt die Situation für $a=-1.$ Zur Vereinfachung wird davon ausgegangen, dass sich das Boot bei verändertem Wasserstand nur auf und ab bewegt. Alle Angaben sind in Meter $(\text{m}).$

Abbildung 1

3D-Achsen mit schräger Ebene, grünem Prismenkörper und beschrifteten Punkten A–H

Abbildung 2

Ergänze die Skalierung des Koordinatensystems in Abbildung 2.

(2 BE)

Zum Festmachen muss bei jeder Leine eine zusätzliche Länge von $1,5\;\text{m}$ berücksichtigt werden.

Es wird die notwendige Länge der Leinen bei Niedrigwasser betrachtet.

Bestimme, welche Länge die Leine bei Befestigung in den Punkten $A$ und $D$ mindestens haben muss.

(3 BE)

Zwischen dem Boot und der Kaimauer befindet sich eine rechteckige Gangway, die in den Punkten $F(-2\mid0\mid0),$ $G(-3\mid0\mid0)$ und $H(-3\mid1,5\mid a)$ aufliegt. Die Ebene $E$ enthält die Punkte $F, G$ und $H.$

Bestimme eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform.

(Zur Kontrolle: $E:-ay+1,5z=0)$

(4 BE)

Das Bootsdeck wird durch die Ebene $K$ mit der Koordinatengleichung $z=a$ beschrieben.

Ermittle alle möglichen Winkelgrößen, unter denen die Gangway zwischen Hochwasser und Niedrigwasser auf das Bootsdeck auftrifft.

(5 BE)

Auf der Kaimauer befindet sich ein weiterer Befestigungspunkt $P(7\mid-0,5\mid0,5).$ Das Boot wird zusätzlich in den Punkten $A$ und $P$ festgemacht. Bei Niedrigwasser knickt die Leine dann an der Kante der Kaimauer ab.

Um die benötigte Mindestlänge der Leine zu bestimmen, wird folgender Ansatz notiert:

$\text{I}.$	$S(b\mid0\mid0),\;b\in\mathbb{R}$
$\text{II}.$	$\left\| \overrightarrow{AS} \right\|+\left\| \overrightarrow{SP} \right\|=\sqrt{(b-4)^2+17}+\sqrt{(7-b)^2+0,5}$
$\text{III}.$	$f(b)=\sqrt{(b-4)^2+17}+\sqrt{(7-b)^2+0,5}$

Erläutere die einzelnen Schritte mit Bezug zum Sachkontext und bestimme, wie lang die Leine mindestens sein muss.

(6 BE)

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Lösung A3

$\boldsymbol{ABCD}$ untersuchen

Für zwei der Seitenlängen gilt:

$\begin{array}[t]{rlll} \left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{-2-2\\0-0\\0-0}\right\vert \\[5pt] &=&4 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} \left\vert\overrightarrow{BC}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{-2-(-2)\\0-0\\3-0}\right\vert \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Da die Seiten von $ABCD$ unterschiedlich lang sind, handelt es sich nicht um ein Quadrat.

Volumen berechnen

Aus den Koordinaten der Punkte wird deutlich, dass die Höhe der Pyramide $5\;\text{LE}$ beträgt. Zusammen mit den oben berechneten Seitenlängen der Grundfläche folgt für das Volumen $V:$

$V=\dfrac{1}{3}\cdot3\cdot4\cdot5=20\;[\text{VE}]$

Ortsvektor angeben

Für $k=1$ folgt $F_1(0\mid1\mid27).$ Ein möglicher Ortsvektor ist somit gegeben durch:

$\overrightarrow{OF_1}=\pmatrix{0\\1\\27}$

Richtungsvektor zeigen

Ein möglicher Richtungsvektor ergibt sich als:

$\begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{F_1F_2}&=&\pmatrix{0\\2\\24}-\pmatrix{0\\1\\27} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\1\\-3} \end{array}$

Damit die $xz$ -Ebene eine Symmetrieebene des Körpers ist, müssen $E_k$ und $F_k$ im Punkt $(0\mid5\mid0)$ zusammenfallen. Der Punkt $E_k$ besitzt diese Koordinaten für $k=5.$ Einsetzen in die Koordinaten von $F_k$ liefert allerdings $F_k(0\mid5\mid15).$ Somit ist die $xz$ -Ebene für keinen Wert von $k$ eine Symmetrieebene des Körpers.

Gleichung bestimmen

Zwei Spannvektoren von $L$ ergeben sich wie folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{CD}&=&\pmatrix{2-(-2)\\0-0\\3-3} \\[5pt] &=&\pmatrix{4\\0\\0} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{CS}&=&\pmatrix{0-(-2)\\-5-0\\0-3} \\[5pt] &=&\pmatrix{2\\-5\\-3} \end{array}$

Mit Hilfe des CAS folgt für das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren:

$\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{CS}=\pmatrix{0\\12\\-20}$

Mit diesem Vektor als Normalenvektor ergibt sich $L:12y-20z=d.$ Einsetzen der Koordinaten von z.B. $S$ liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} 12\cdot(-5)-20\cdot0&=&d \\[5pt] -60&=&d \end{array}$

Eine mögliche Gleichung von $L$ in Koordinatenform ist somit durch $L:12y-20z=-60$ gegeben.

Wert von $\boldsymbol{k}$ ermitteln

Einsetzen der Koordinaten von $F_k$ in die Ebenengleichung von $L$ und auflösen nach $k$ mit dem solve-Befehl des CAS liefert:

$k=\dfrac{15}{2}$

Wert ermitteln

$\pmatrix{0\\k\\27-3k}\cdot\pmatrix{0\\1\\-3}=0$

Auflösen dieser Gleichung nach $k$ mit dem CAS liefert für die gesuchte Lösung $k=8,1.$

Lösungsweg erläutern

Das Dreieck $DF_kC$ ist gleichschenklig bezüglich der Grundseite $\overline{CD}.$ Der Mittelpunkt $M$ der Strecke besitzt die Koordinaten $M(0\mid0\mid3).$ Je kleiner die Höhe $\left\vert\overline{MF}_{k}\right\vert$ ist, desto größer ist der Winkel im Punk $F_k.$ Diese Höhe wird minimal, wenn der Vektor $\overrightarrow{MF_{k}}$ senkrecht zum Richtungsvektor der Gerade $g$ steht, d.h. das obige Skalarprodukt Null ergibt.

Lösung B3

3D-Koordinatensystem mit x-, y-, z-Achsen, schräger grauer Kaimauer und grünem Prisma, beschriftete Punkte

Bei Niedrigwasser gilt $a=-4$ und damit für die Länge der Strecke $|\overrightarrow{A D}|=\sqrt{2+(-4)^2} \approx 4,24.$

Die zusätzlich zu betrachtende Länge beträgt $1,5 \; \text{m}$ , also folgt:

$4,24+1,5 \approx 5,7$

Die Leine muss eine Mindestlänge von etwa $5,7 \;\text{m}$ haben.

Um einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{n_1\\n_2\\n_3}$ der Ebene zu bestimmen, müssen folgende GLeichungen erfüllt sein:

$\begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{FG}\circ\overrightarrow{n}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{-3-(-2)\\0\\0}\circ\pmatrix{n_1\\n_2\\n_3}&=&0 \\[5pt] -n_1&=&0 &\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] n_1&=&0 \end{array}$

Mit $n_1=0$ folgt weiter:

$\begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{FH}\circ\overrightarrow{n}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{-3-(-2)\\1,5-0\\a-0}\circ\pmatrix{0\\n_2\\n_3}&=&0 \\[5pt] 1,5n_2+a\cdot n_3&=&0 \end{array}$

Eine mögliche Lösung von dieser Gleichung ergibt sich durch den GTR als $n_2=-a$ und $n_3=1,5.$ Für die Ebenengleichung ergibt sich somit zunächst:

$E:-ay+1,5z=d$

Einsetzen der Koordinaten von z.B. $F$ in diese Gleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} -a\cdot0+1,5\cdot0&=&d \\[5pt] 0&=&d \end{array}$

Eiene mögliche Ebenengleichung von $E$ in Koordinatenform ist somit gegeben durch $E:-ay+1,5z=0.$

Es gilt $-4\leq a\leq -0,5.$ Für $a=-0,5$ folgt zunächst:

$\begin{array}[t]{rlll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{0\\0,5\\1,5}\circ\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{0\\0,5\\1,5}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1,5}{\sqrt{(0,5)^2+(1,5)^2}\cdot\sqrt{1}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1,5}{\sqrt{2,5}} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{1,5}{\sqrt{2,5}}\right) \\[5pt] a&\approx&18^\circ \end{array}$

Für den anderen Randwert, $a=-4,$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rlll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{0\\4\\1,5}\circ\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{0\\4\\1,5}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1,5}{\sqrt{4^2+(1,5)^2}\cdot\sqrt{1}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{1,5}{\sqrt{18,25}} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{1,5}{\sqrt{18,25}}\right) \\[5pt] a&\approx&69^\circ \end{array}$

Alle Winkelgrößen zwischen Hoch- und Niedrigwasser liegen somit zwischen $18^\circ$ und $69^\circ.$

Da die Kante der Kaimauer auf der $x$ -Achse liegt, ist $S$ ein Punkt auf dieser.

II.

Die Länge des Streckenzuges von $A$ über den Punkt $P$ auf der Kante der Kaimauer bis zu dem Punkt $P$ auf der Kaimauer, wobei der Streckenzug die Leine zwischen $A$ und $P$ bei Niedrigwasser beschreibt.

III.

Die Länge des Streckenzugs bzw. die Länge der Leine zwischen den befestigungspunkten wird als Funktion in Abhängigkeit von $b$ betrachtet.

Die graphische Darstellung der Funktion $f$ liefert, dass diese im relevanten Bereich bei $b\approx6,56$ ein Minimum besitzt. Einsetzen in $f(b)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} f(6,56)&=&\sqrt{(6,56-4)^2+17}+\sqrt{(7-6,56)^2+0,5} \\[5pt] &=&\sqrt{(2,56)^2+17}+\sqrt{(1,56)^2+0,5} \\[5pt] &\approx&5,69 \end{array}$

Da jede Leine eine zusätzliche Länge von $1,5\;\text{m}$ zum Festmachen benötigt, ergibt sich eine Mindestlänge von ca. $5,69+1,5=7,19\;[\text{m}].$

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