Stochastik

Aufgabe 2A

Eine Supermarktkette bietet für Personen, die bei ihr einkaufen, ein Treuepunktesystem an. Diese Personen werden im Folgenden als Kundenkreis bezeichnet. Beim Bezahlen an der Kasse erhält man auf Wunsch pro $Formula: 5\,€$ $Formula: 5\,€$ Warenwert einen Treuepunkt zum Aufkleben. $Formula: 75\,\%$ $Formula: 75\,\%$ der Personen aus dem Kundenkreis der Supermarktkette sammeln Treuepunkte. Aus dem Kundenkreis werden Formula: 10 Personen zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße Formula: A beschreibt die Anzahl der ausgewählten Personen, die Treuepunkte sammeln. Es soll davon ausgegangen werden, dass binomialverteilt ist.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als Formula: 8 der ausgewählten Personen Treuepunkte sammeln.

2 BE

Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße Formula: B mit den Parametern Formula: n=10 und Formula: p=0,25. Erläutere, wie man mithilfe von Abbildung 1 die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln kann, dass genau Formula: 6 der Formula: 10 ausgewählten Personen Treuepunkte sammeln.

Balkendiagramm P(B=k) von k=0 bis 10, höchste Wahrscheinlichkeiten bei k=2 und k=3, danach zu beiden Seiten abnehmend.

Abbildung 1

2 BE

Von den Personen aus dem Kundenkreis, die Treuepunkte sammeln, sind $Formula: 80\,\%$ $Formula: 80\,\%$ weiblich. Der Anteil der weiblichen Personen unter den Personen aus dem Kundenkreis, die keine Treuepunkte sammeln, wird mit Formula: a bezeichnet. Das abgebildete Baumdiagramm stellt den Sachverhalt dar.

Baumdiagramm: Zweig für T und T̄ zu W bzw. W̄, oben 80%, unten a.

Abbildung 2

Angenommen, der Kundenkreis besteht aus Formula: 500.000 Personen. Entscheide unter dieser Annahme, ob die Anzahl der Personen, die weiblich sind und Treuepunkte sammeln, kleiner als Formula: 400.000 ist, und begründe deine Entscheidung

3 BE

Der Anteil der nicht weiblichen Personen aus dem Kundenkreis beträgt $Formula: 30\,\%.$ $Formula: 30\,\%.$ Berechne den Anteil Formula: a.

3 BE

Ein Jahr später stellt sich der Sachverhalt wie folgt dar:

Weiterhin sammeln $Formula: 75\,\%$ $Formula: 75\,\%$ der Personen aus dem Kundenkreis Treuepunkte.
Weiterhin sind von den Personen aus dem Kundenkreis, die Treuepunkte sammeln, $Formula: 80\,\%$ $Formula: 80\,\%$ weiblich.
Der Wert von ist im Vergleich zum Vorjahr gestiegen.

Beurteile folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus dem Kundenkreis zufällig ausgewählte nicht weibliche Person Treuepunkte sammelt, ist größer als vor einem Jahr.

3 BE

Eine normalverteilte Zufallsgröße Formula: X hat den Erwartungswert Formula: 19 und die Standardabweichung Formula: 3. Für eine weitere Zufallsgröße Formula: C, die natürliche Zahlen als Werte annimmt, gilt

$Formula: P(C=0)=P(X \leq 0,5)$ $Formula: P(C=0)=P(X \leq 0,5)$ sowie
$Formula: P(C=k)=P(k-0,5 \leq X \leq k+0,5)$ $Formula: P(C=k)=P(k-0,5 \leq X \leq k+0,5)$ für $Formula: k \in \mathbb{N}$ $Formula: k \in \mathbb{N}$ und $Formula: k \geq 1.$ $Formula: k \geq 1.$

Berechne Formula: P(C=20).

2 BE

Betrachtet wird ein Einkauf mit einem Warenwert von $Formula: 95,00\,€$ $Formula: 95,00\,€$ bis $Formula: 99,99\,€.$ $Formula: 99,99\,€.$ Bei diesem Einkauf wird davon ausgegangen, dass die an der Kasse auf Wunsch ausgegebenen Treuepunkte in zufälliger Anzahl von einer Rolle abgerissen werden. Dabei beschreibt die Zufallsgröße Formula: C die Anzahl der ausgegebenen Treuepunkte.

Gemäß dem Modell ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dem betrachteten Einkauf Formula: 1000 Treuepunkte ausgegeben werden, größer als Formula: 0.

Begründe, dass diese Tatsache kein Argument gegen die Verwendung des beschriebenen Modells ist.

2 BE

Das Management der Supermarktkette nimmt an, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ bei einem beliebigen Einkauf die Anzahl der tatsächlich ausgegebenen Treuepunkte von der dem Warenwert entsprechenden Anzahl an Treuepunkten um höchstens zwei abweicht. Beurteile, ob die Annahme des Managements bei dem betrachteten Einkauf zutrifft.

3 BE

Aufgabe 2B

Bei einer statistischen Erhebung werden die in einem großen europäischen Land zugelassenen Kraftfahrzeuge betrachtet. Von diesen Kraftfahrzeugen sind $Formula: 80\,\%$ $Formula: 80\,\%$ Personenkraftwagen (Pkw).

Es werden Formula: 200 Kraftfahrzeuge zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter höchstens Formula: 170 Pkw befinden.

2 BE

Im Folgenden wird zusätzlich das Alter der betrachteten Kraftfahrzeuge untersucht. $Formula: 70{,}8 \, \%$ $Formula: 70{,}8 \, \%$ dieser Kraftfahrzeuge sind mindestens fünf Jahre alt.

Vervollständige die abgebildete Vierfeldertafel.

$Formula: \quad\quad\;$ $Formula: \quad\quad\;$	$Formula: \boldsymbol{A}$ $Formula: \boldsymbol{A}$
$Formula: \boldsymbol{B}$ $Formula: \boldsymbol{B}$	$Formula: \quad\quad\;$ $Formula: \quad\quad\;$	$Formula: \quad\quad\;$ $Formula: \quad\quad\;$
$Formula: \boldsymbol{\overline B}$ $Formula: \boldsymbol{\overline B}$

	„Ein Kraftfahrzeug ist mindestens fünf Jahre alt.“
	„Ein Kraftfahrzeug ist ein Pkw.“

Untersuche, ob der Anteil der Kraftfahrzeuge, die mindestens fünf Jahre alt sind, unter den Pkw größer ist als unter den übrigen Kraftfahrzeugen.

5 BE

In der Folge werden die zugelassenen Pkw betrachtet. Diese werden je nach Alter einem von sieben Zeitintervallen zugeordnet. Abbildung 1 zeigt die entsprechenden Anteile.

Balkendiagramm zur Altersverteilung mit den höchsten Werten bei 0 bis 4 Jahren.

Abbildung 1

Alle zugelassenen Pkw werden nach ihrem Alter in einer Liste sortiert. Angenommen, es gibt einen Pkw, für den die Anzahl jüngerer Pkw gleich der Anzahl älterer Pkw ist.

Gib dasjenige der sieben Zeitintervalle an, in dem das Alter dieses Pkw liegt, und begründe deine Angabe.

2 BE

Beschreibe den mathematischen Zusammenhang zwischen Material 1 und dem Term

$Formula: 5\cdot 0{,}26+10\cdot 0{,}21+15\cdot 0{,}13$ $Formula: 5\cdot 0{,}26+10\cdot 0{,}21+15\cdot 0{,}13$ $Formula: +20\cdot 0{,}05+25\cdot 0{,}02+30\cdot 0{,}02$ $Formula: +20\cdot 0{,}05+25\cdot 0{,}02+30\cdot 0{,}02$

und gib die Bedeutung seines Wertes im Sachzusammenhang an.

3 BE

In einer Region werden die Personen betrachtet, die regelmäßig in einem Pkw zur Arbeit fahren. Um den Anteil Formula: p der Personen zu senken, die dabei allein im Pkw sind, wurden Anreize geschaffen, verstärkt Fahrgemeinschaften zu bilden. Erfahrungsgemäß betrug der beschriebene Anteil vor der Schaffung der Anreize über $Formula: 90\, \%.$ $Formula: 90\, \%.$ Nun soll untersucht werden, ob dieser Anteil deutlich gesunken ist. Dazu werden Formula: 20 Stichproben jeweils vom Umfang Formula: 500 erhoben und es wird jeweils die Anzahl der Personen ermittelt, die allein im Pkw zur Arbeit fahren.

Liniendiagramm mit nummerierten Balken und Wertebereich auf der p-Achse

Abbildung 2

Für jede Stichprobe wird mithilfe der Gleichung $Formula: |h-p|=1,96 \cdot \sqrt{\tfrac{p \cdot(1-p)}{n}}$ $Formula: |h-p|=1,96 \cdot \sqrt{\tfrac{p \cdot(1-p)}{n}}$ jeweils ein Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $Formula: 95\, \%$ $Formula: 95\, \%$ für den unbekannten Anteil Formula: p ermittelt. Diese Konfidenzintervalle sind in Abbildung 2 dargestellt und mit den Nummern Formula: 1 bis Formula: 20 versehen.

In einer der Stichproben werden Formula: 356 Personen gezählt, die allein im Pkw zur Arbeit fahren.

Ermittle rechnerisch auf Tausendstel genau die Grenzen des zugehörigen Konfidenzintervalls und gib seine Nummer an.

3 BE

Gib einen möglichen Wert für den beschriebenen unbekannten Anteil Formula: p an, der mit genau Formula: 19 der Formula: 20 Stichprobenergebnisse verträglich ist, und begründe deine Angabe unter Verwendung von Abbildung 2.

2 BE

Nun werden für Formula: 20 weitere Stichproben, die jeweils den Umfang Formula: 500 haben, die zu deren Ergebnissen gehörenden Konfidenzintervalle zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $Formula: 95\, \%$ $Formula: 95\, \%$ ermittelt. Es wird angenommen, dass der Wert von Formula: p für diese Stichproben konstant ist. Betrachtet wird die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von von genau dieser Formula: 20 ermittelten Konfidenzintervalle überdeckt wird, beträgt weniger als $Formula: 42\, \%.$ $Formula: 42\, \%.$

Die Zufallsgröße Formula: Y beschreibt die Anzahl derjenigen Konfidenzintervalle unter den ermittelten Konfidenzintervallen, die den Wert von Formula: p überdecken. Gib eine geeignete Wahrscheinlichkeitsverteilung von an und erläutere deine Wahl. Zeige, dass die Aussage wahr ist.

3 BE

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Lösung 2A

$Formula: P_{0,75}^{10}(A<8) \approx 0,474 = 47,4\,\%$ $Formula: P_{0,75}^{10}(A<8) \approx 0,474 = 47,4\,\%$

Aufgrund der Parameter der Zufallsgrößen Formula: A und Formula: B gilt $Formula: P_{0,75}^{10}(A=6)=P_{0,25}^{10}(B=4).$ $Formula: P_{0,75}^{10}(A=6)=P_{0,25}^{10}(B=4).$ Somit gibt der Balken für Formula: k=4 aus der Abbildung 1 die gesuchte Wahrscheinlichkeit an.

Es gilt $Formula: 0,75\cdot0,8\cdot500.000=300.000.$ $Formula: 0,75\cdot0,8\cdot500.000=300.000.$ Die Anzahl der Personen, die weiblich sind und Treuepunkte sammeln, ist somit kleiner als Formula: 400.000.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0,75 \cdot 0,2+0,25 \cdot(1-a)&=&0,3 &\quad\scriptsize\mid\;-0,4 \\[5pt] -0,25a&=&-0,1 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-4) \\[5pt] a&=&0,4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0,75 \cdot 0,2+0,25 \cdot(1-a)&=&0,3 &\quad\scriptsize\mid\;-0,4 \\[5pt] -0,25a&=&-0,1 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-4) \\[5pt] a&=&0,4 \end{array}$

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P_\overline{w}(T)&=&\dfrac{P\left(\overline{w}\cap T\right)}{P\left(\overline{w}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,75\cdot0,2}{0,75\cdot0,2+0,25\cdot(1-a)} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P_\overline{w}(T)&=&\dfrac{P\left(\overline{w}\cap T\right)}{P\left(\overline{w}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,75\cdot0,2}{0,75\cdot0,2+0,25\cdot(1-a)} \end{array}$

Da für steigende Werte von Formula: a der Wert des Nenners kleiner wird und somit die Wahrscheinlichkeit größer, stimmt die Aussage aus der Aufgabenstellung.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(C=20)&=&P(20-0,5 \leq X \leq 20+0,5) \\[5pt] &=&P(19,5 \leq X \leq 20,5) \\[5pt] &\approx&0,125 \\[5pt] &=&12,5\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(C=20)&=&P(20-0,5 \leq X \leq 20+0,5) \\[5pt] &=&P(19,5 \leq X \leq 20,5) \\[5pt] &\approx&0,125 \\[5pt] &=&12,5\,\% \end{array}$

Aufgrund dessen, wie die Wahrscheinlichkeit von Formula: P(C=1000) mit der Zufallsgröße Formula: X verbunden ist, welche den Erwartungswert Formula: 19 und die Standardabweichung Formula: 3 besitzt, ist die Wahrscheinlichkeit für diesen unrealistischen Fall dem Modell nach verschwindend gering. Somit ist die Tatsache aus der Aufgabenstellung kein Argument gegen die Verwendung des Modells.

Es gilt $Formula: \tfrac{99,99}{5}\approx19,998.$ $Formula: \tfrac{99,99}{5}\approx19,998.$ Somit ist die entsprechende Anzahl der Treuepunkte Formula: 19. Damit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(17\leq C\leq21)&=&P(17-0,5 \leq X \leq 21+0,5) \\[5pt] &=&P(16,5 \leq X \leq 21,5) \\[5pt] &\approx&0,595 \\[5pt] &=&59,5\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(17\leq C\leq21)&=&P(17-0,5 \leq X \leq 21+0,5) \\[5pt] &=&P(16,5 \leq X \leq 21,5) \\[5pt] &\approx&0,595 \\[5pt] &=&59,5\,\% \end{array}$

Da diese Wahrscheinlichkeit größer als $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ ist, trifft die Annahme des Managements bei dem betrachteten Einkauf zu.

Lösung 2B

Es sei Formula: X die Anzahl der Pkw unter den Formula: 200 zufällig ausgewählten Kraftfahrzeugen. Da $Formula: 80 \, \%$ $Formula: 80 \, \%$ der Kraftfahrzeuge Pkw sind, gilt $Formula: X \sim B(200; 0{,}8).$ $Formula: X \sim B(200; 0{,}8).$ Mit dem GTR ergibt sich:

$Formula: P(X \leq 170) \approx 0{,}972$ $Formula: P(X \leq 170) \approx 0{,}972$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den Formula: 200 zufällig ausgewählten Kraftfahrzeugen höchstens Formula: 170 Pkw befinden, beträgt ungefähr $Formula: 97{,}2 \, \%.$ $Formula: 97{,}2 \, \%.$

$Formula: \begin{array}{c|c|c|c}\phantom{00000} & \phantom{00}A\phantom{00} & \phantom{00}\overline{A}\phantom{00} & \phantom{00000} \\ \hline B & 0{,}552 & 0{,}248 & 0{,}8 \\ \hline \overline{B} & 0{,}156 & 0{,}044 & 0{,}2 \\ \hline & 0{,}708 & 0{,}292 & 1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{c|c|c|c}\phantom{00000} & \phantom{00}A\phantom{00} & \phantom{00}\overline{A}\phantom{00} & \phantom{00000} \\ \hline B & 0{,}552 & 0{,}248 & 0{,}8 \\ \hline \overline{B} & 0{,}156 & 0{,}044 & 0{,}2 \\ \hline & 0{,}708 & 0{,}292 & 1 \end{array}$

Der Anteil der Kraftfahrzeuge, die mindestens fünf Jahre alt sind, beträgt unter den Pkw:

$Formula: \dfrac{0{,}522}{0{,}8} = 0{,}69$ $Formula: \dfrac{0{,}522}{0{,}8} = 0{,}69$

Der Anteil der Kraftfahrzeuge, die mindestens fünf Jahre alt sind, beträgt unter den übrigen Kraftfahrzeugen:

$Formula: \dfrac{0{,}156}{0{,}2} = 0{,}78$ $Formula: \dfrac{0{,}156}{0{,}2} = 0{,}78$

Mit Formula: 0{,}69 < 0{,}78 ist der Anteil der mindestens fünf Jahre alten Kraftfahrzeuge unter den Pkw nicht größer, sondern kleiner als unter den übrigen Kraftfahrzeugen.

Aus Abbildung 1 lässt sich entnehmen, dass $Formula: 31 \, \%$ $Formula: 31 \, \%$ der Pkw Formula: 0 bis Formula: 4 Jahre alt sind. Damit sind nach dem ersten Intervall noch weniger als $Formula: 50 \, \%$ $Formula: 50 \, \%$ erreicht.
Für die ersten beiden Intervalle gilt $Formula: 31 \, \% + 26 \, \% = 57 \, \%$ $Formula: 31 \, \% + 26 \, \% = 57 \, \%$

Damit wird die $Formula: 50 \, \%\text{-}$ $Formula: 50 \, \%\text{-}$ Grenze im Intervall von bis Formula: 9 Jahren überschritten. Der gesuchte PKW muss also zwischen und Jahren alt sein.

Die Summanden sind jeweils das Produkt aus der unteren Intervallgrenze und dem zugehörigen Anteil der abgebildeten Zeitintervalle. Der Wert des Terms ist eine untere Grenze für das durchschnittliche Alter der zugelassenen Pkw in Jahren.

Mit Formula: n=500 und $Formula: h=\tfrac{356}{500}$ $Formula: h=\tfrac{356}{500}$ ergibt sich:

$Formula: \left|\tfrac{356}{500}-p\right|=1,96 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot(1-p)}{500}}$ $Formula: \left|\tfrac{356}{500}-p\right|=1,96 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot(1-p)}{500}}$

Auflösen nach Formula: p mit dem GTR liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} p_1&\approx&0,671 \\[5pt] p_2&\approx&0,750 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p_1&\approx&0,671 \\[5pt] p_2&\approx&0,750 \end{array}$

Mit Hilfe der Abbildung folgt, dass es sich bei diesen Grenzen um das Konfidenzintervall mit der Nummer Formula: 14 handelt.

Für Formula: p=0,73 ist der Abbildung 2 zu entnehmen, dass alle Konfidenzintervalle bis auf das mit der Nummer Formula: 13 diesen Wert von überdecken.

Für jedes der ermittelten Konfidenzintervalle hat die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es Formula: p überdeckt, in etwa den gleichen Wert wie die Sicherheitswahrscheinlichkeit. Daher kann Formula: Y als binomialverteilt mit den Parametern Formula: n=20 und Formula: q=0,95 angenommen werden. Es folgt somit:

$Formula: P(Y=19) \approx 0,38 \lt 0,42$ $Formula: P(Y=19) \approx 0,38 \lt 0,42$

Folglich ist die Aussage wahr.

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