Aufgabe 1B

a) Bestimme den Zeitpunkt , zu dem der Atemfluss maximal ist. Bestimme den Zeitpunkt , zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt. Der Messvorgang wird beendet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt die Grenze von }t_0 = 0\,\text{s}t_3 = 2,81\,\text{s}75\,\%3,2\,\text{Liter}gg(t)=35\cdot t\cdot \mathrm{e}^{-\frac{5}{2}\cdot t}tg(t)t_1$ und aus Teilaufgabe a) gleich bleiben. Durch einen Defekt des Messgerätes werden bei dieser Messung nur Atemflusswerte unterhalb eines unbekannten Schwellenwertes $S0,25Shh(x)=x^2\cdot \mathrm{e}^{x^2}hx=0kk(x)=p(x)\cdot \mathrm{e}^{p(x)}kppkp$ jeweils eine waagerechte Tangente hat.

a)   Zeitpunkt mit dem maximalen Atemfluss bestimmen Du hast eine Funktion gegeben, die den Atemfluss während der ersten drei Sekunden des Ausatmens beschreibt. Um den Zeitpunkt mit dem maximalen Atemfluss zu bestimmen, berechnest du das Maximum der Funktion. Dies kannst du im Graph -Modus des CAS berechnen. Untersuche dabei den Graph im Intervall auf Extremstellen. Den Hochpunkt des Graphen kannst du dir mit folgendem Befehl anzeigen lassen: Der Graph hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten . Somit ist der Atemfluss an der Stelle maximal.   Zeitpunkt mit der stärksten Abnahme bestimmen Nun sollst du den Zeitpunkt bestimmen, zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt. Die Änderungsrate wird durch die ersten Ableitung der Funktion beschrieben. Um den Zeitpunkt zu bestimmen, benötigst du das Minimum von . An dieser Stelle nimmt der Atemfluss am stärksten ab. Du kannst so vorgehen:

1. Bilde die erste Ableitung
2. Bestimme das Minimum mit dem CAS

1. Schritt: Erste Ableitung bilden Um die erste Ableitung zu bilden, benötigst du die Produktregel . 2. Schritt: Graph analysieren Lasse dir den Graphen von in dem CAS zeichnen. Unter folgendem Befehl kannst du dir das Minimum anzeigen lassen: Der Graph von hat einen Tiefpunkt mit den Koordinaten . Damit nimmt an der Stelle der Atemfluss am stärksten ab.   Dauer des Messvorgangs berechnen Der Messvorgang endet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt die Grenze von unterschreitet. Um die Dauer des Messvorgangs zu berechnen, berechnest du den Schnittpunkt der Funktion mit der Funktion . Die Funktionen haben zwei Schnittpunkte. Uns interessiert nur der Schnittpunkt, der nach dem Zeitpunkt liegt. Lasse dir die Funktionen und in dem CAS zeichnen. Den Schnittpunkt erhältst du mit dem Befehl: Die Graphen von und schneiden sich an der Stelle . Der Messvorgang dauert also Sekunden.

b)   Prozentsatz der ausgeatmeten Luft bestimmen Bei dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen, ob der Patient aus der Aufgabe gesund ist. Als gesund wird ein Patient eingestuft, wenn er in der ersten Sekunde mindestens der eingeatmeten Luft ausatmet. Um nun den Prozentsatz zu berechnen, den der Patient in der ersten Sekunde ausatmet, musst du wissen wie viel Luft der Patient nach einer Sekunde und nach der kompletten Zeit von Sekunden ausgeatmet hat. Dies berechnest du mit einem Integral im Intervall (Volumen der ausgeatmete Luft nach einer Sekunde) und dem Integral im Intervall (gesamtes Volumen ). Der Prozentsatz wird mit der Prozentformel berechnet: Dabei ist der Prozentsatz. Das ist der Prozentwert und das der Grundwert. Der Prozentwert entspricht hier dem Volumen der ausgeatmeten Luft nach einer Sekunde. Dementsprechend entspricht das gesamten Volumen dem Grundwert. Gehe folgendermaßen vor:

1. Berechne und
2. Berechne den Prozentsatz

1. Schritt: Volumina berechnen Das Integral kannst du jeweils im Calc -Modus des CAS unter folgendem Befehl berechnen: Du erhältst für den Wert und das gesamte Volumen beträgt . 2. Schritt: Prozentsatz berechnen Nun kannst du die Werte in die Prozentformel einsetzen. Der Patient atmet in der ersten Sekunde nur ca. der in seiner Lunge enthaltenen Luft aus. Da gesunde Menschen mindestens ausatmen, gilt der Patient nicht als gesund.   Gesuchten Zeitpunkt bestimmen Hier ist der Zeitpunkt gesucht, an dem der Patient Luft ausgeatmet hat. Es gilt also: . Die Funktionsgleichung von ist in der Aufgabenstellung gegeben. Diese Gleichung kannst du mit dem CAS lösen. Dazu benötigst du folgenden Befehl: Beachte dabei, dass die Gleichung mehrere Lösungen haben kann. Du erhältst die Lösungen und . Da der Atemzug bei beginnt, ist die Lösung nicht zulässig. Nach ca. hat der Patient Liter Luft ausgeatmet.

c)   Gleichbleiben der Zeitpunkte und begründen Die Funktionsgleichungen von und unterscheiden sich nur in einem konstanten Faktor. Da der Faktor in kleiner ist, erhält man den Graphen zu durch Stauchen des Graphen von parallel zur -Achse. Folgende Skizze kann dir bei der Vorstellung helfen: Somit ändert sich die Lage des Maximums des Graphen von sowie die Lage des Maximums des Graphen von (entspricht der Wendestelle des Graphen von ) nicht und die Zeitpunkte und bleiben gleich.   Zeitintervall ohne Messwerte und Schwellenwert bestimmen Gesucht ist das Intervall , in dem Sekunden keine Messwerte aufgezeichnet wurden, da die Messwerte in diesem Bereich oberhalb eines Schwellenwertes liegen. Mit diesen Angaben kannst du einen Zusammenhang zwischen und herstellen und nach auflösen. Der Funktionswert von an den Intervallgrenzen liefert den Schwellenwert . Es gilt:

• 
• .

Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite liefert: . Setze und in den Term der Funktion ein und berechne so weit wie möglich: Gleichsetzen und Auflösen nach ergibt: Einsetzen des ermittelten in die Gleichung der Funktion von liefert: Zudem gilt . Damit liegt der Schwellenwert bei ca. Liter pro Sekunde. , also zeichnet das Messgerät im Zeitintervall von ca. Sekunden bis ungefähr Sekunden keine Werte auf.

d)   Waagrechte Tangente nachweisen Du hast die Funktion gegeben. Damit der Graph der Funktion an der Stelle eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung an dieser Stelle gleich Null sein. Es muss also gelten: Dies kannst du mit dem CAS überprüfen. Definiere dir dazu sowohl die Funktion als auch die Ableitungsfunktion . Berechne dann den Funktionswert . Der Funktionswert ist gleich Null. Damit hat der Graph der Funktion an der Stelle eine waagrechte Tangente.   Anzahl der waagerechten Tangenten untersuchen Du hast die Funktion gegeben. Bei der Funktion handelt es sich um eine quadratische Funktion. Damit der Graph von eine waagrechte Tangente hat, muss die erste Ableitung gleich Null sein. Mit dem CAS kannst du dir die erste Ableitung anzeigen lassen. Überlege dir dann, wann die einzelnen Terme der Ableitung gleich Null werden können. Der Term ist immer ungleich Null. Daraus folgt, dass der Graph von eine waagrechte Tangente hat, wenn gilt:

• 
• 

hat als einzige Lösung die Scheitelstelle von . Damit hätte der Graph von eine waagrechte Tangente an der Scheitelstelle von . Die Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben, wenn eine quadratische Funktion ist. Gibt es keine Lösung, so hat der Graph von ebenfalls nur an der Scheitelstelle von eine waagrechte Tangente. Hat die Gleichung eine Lösung, so stimmt diese mit der Scheitelstelle überein. Es gibt somit nur eine waagrechte Tangente. Hat zwei Lösungen, so stimmen diese nicht mit der Scheitelstelle von überein. In diesem Fall hat der Graph von an drei Stellen waagrechte Tangenten.   Waagerechte Tangente an allen Extremstellen von überprüfen In dieser Teilaufgabe sollst du beurteilen, ob der Graph von an allen Extremstellen von eine waagerechte Tangente hat. Nach der notwendigen Bedingung für eine Extremstelle gilt für jede Extremstellen von : . Die erste Ableitung von lautet: Stelle die Tangentengleichung des Graphen von an den Extremstellen von auf: Damit hat der Graph von an allen Extremstellen von eine waagerechte Tangente.

a)   Zeitpunkt mit dem maximalen Atemfluss bestimmen Du hast eine Funktion gegeben, die den Atemfluss während der ersten drei Sekunden des Ausatmens beschreibt. Um den Zeitpunkt mit dem maximalen Atemfluss zu bestimmen, berechnest du das Maximum der Funktion. Dies kannst du im Graph -Modus des CAS berechnen. Untersuche dabei den Graph im Intervall auf Extremstellen. Den Hochpunkt des Graphen kannst du dir mit folgendem Befehl anzeigen lassen: Der Graph hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten . Somit ist der Atemfluss an der Stelle maximal.   Zeitpunkt mit der stärksten Abnahme bestimmen Nun sollst du den Zeitpunkt bestimmen, zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt. Die Änderungsrate wird durch die ersten Ableitung der Funktion beschrieben. Um den Zeitpunkt zu bestimmen, benötigst du das Minimum von . An dieser Stelle nimmt der Atemfluss am stärksten ab. Du kannst so vorgehen:

1. Bilde die erste Ableitung
2. Bestimme das Minimum mit dem CAS

1. Schritt: Erste Ableitung bilden Um die erste Ableitung zu bilden, benötigst du die Produktregel . 2. Schritt: Graph analysieren Lasse dir den Graphen von in dem CAS zeichnen. Unter folgendem Befehl kannst du dir das Minimum anzeigen lassen: Der Graph von hat einen Tiefpunkt mit den Koordinaten . Damit nimmt an der Stelle der Atemfluss am stärksten ab.   Dauer des Messvorgangs berechnen Der Messvorgang endet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt die Grenze von unterschreitet. Um die Dauer des Messvorgangs zu berechnen, berechnest du den Schnittpunkt der Funktion mit der Funktion . Die Funktionen haben zwei Schnittpunkte. Uns interessiert nur der Schnittpunkt, der nach dem Zeitpunkt liegt. Lasse dir die Funktionen und in dem CAS zeichnen. Den Schnittpunkt erhältst du mit dem Befehl: Die Graphen von und schneiden sich an der Stelle . Der Messvorgang dauert also Sekunden.

b)   Prozentsatz der ausgeatmeten Luft bestimmen Bei dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen, ob der Patient aus der Aufgabe gesund ist. Als gesund wird ein Patient eingestuft, wenn er in der ersten Sekunde mindestens der eingeatmeten Luft ausatmet. Um nun den Prozentsatz zu berechnen, den der Patient in der ersten Sekunde ausatmet, musst du wissen wie viel Luft der Patient nach einer Sekunde und nach der kompletten Zeit von Sekunden ausgeatmet hat. Dies berechnest du mit einem Integral im Intervall (Volumen der ausgeatmete Luft nach einer Sekunde) und dem Integral im Intervall (gesamtes Volumen ). Der Prozentsatz wird mit der Prozentformel berechnet: Dabei ist der Prozentsatz. Das ist der Prozentwert und das der Grundwert. Der Prozentwert entspricht hier dem Volumen der ausgeatmeten Luft nach einer Sekunde. Dementsprechend entspricht das gesamten Volumen dem Grundwert. Gehe folgendermaßen vor:

1. Berechne und
2. Berechne den Prozentsatz

1. Schritt: Volumina berechnen Das Integral kannst du jeweils im Main -Menü des CAS unter folgendem Befehl berechnen: Du erhältst für den Wert und das gesamte Volumen beträgt . 2. Schritt: Prozentsatz berechnen Nun kannst du die Werte in die Prozentformel einsetzen. Der Patient atmet in der ersten Sekunde nur ca. der in seiner Lunge enthaltenen Luft aus. Da gesunde Menschen mindestens ausatmen, gilt der Patient nicht als gesund.   Gesuchten Zeitpunkt bestimmen Hier ist der Zeitpunkt gesucht, an dem der Patient Luft ausgeatmet hat. Es gilt also: . Die Funktionsgleichung von ist in der Aufgabenstellung gegeben. Diese Gleichung kannst du mit dem CAS lösen. Dazu benötigst du den Solve -Befehl. Beachte dabei, dass die Gleichung mehrere Lösungen haben kann. Du erhältst die Lösungen und . Da der Atemzug bei beginnt, ist die Lösung nicht zulässig. Nach ca. hat der Patient Liter Luft ausgeatmet.

c)   Gleichbleiben der Zeitpunkte und begründen Die Funktionsgleichungen von und unterscheiden sich nur in einem konstanten Faktor. Da der Faktor in kleiner ist, erhält man den Graphen zu durch Stauchen des Graphen von parallel zur -Achse. Folgende Skizze kann dir bei der Vorstellung helfen: Somit ändert sich die Lage des Maximums des Graphen von sowie die Lage des Maximums des Graphen von (entspricht der Wendestelle des Graphen von ) nicht und die Zeitpunkte und bleiben gleich.   Zeitintervall ohne Messwerte und Schwellenwert bestimmen Gesucht ist das Intervall , in dem Sekunden keine Messwerte aufgezeichnet wurden, da die Messwerte in diesem Bereich oberhalb eines Schwellenwertes liegen. Mit diesen Angaben kannst du einen Zusammenhang zwischen und herstellen und nach auflösen. Der Funktionswert von an den Intervallgrenzen liefert den Schwellenwert . Es gilt:

• 
• .

Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite liefert: . Setze und in den Term der Funktion ein und berechne so weit wie möglich: Gleichsetzen und Auflösen nach ergibt: Einsetzen des ermittelten in die Gleichung der Funktion von liefert: Zudem gilt . Damit liegt der Schwellenwert bei ca. Liter pro Sekunde. , also zeichnet das Messgerät im Zeitintervall von ca. Sekunden bis ungefähr Sekunden keine Werte auf.

d)   Waagrechte Tangente nachweisen Du hast die Funktion gegeben. Damit der Graph der Funktion an der Stelle eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung an dieser Stelle gleich Null sein. Es muss also gelten: Dies kannst du mit dem CAS überprüfen. Definiere dir dazu sowohl die Funktion als auch die Ableitungsfunktion . Berechne dann den Funktionswert . Der Funktionswert ist gleich Null. Damit hat der Graph der Funktion an der Stelle eine waagrechte Tangente.   Anzahl der waagerechten Tangenten untersuchen Du hast die Funktion gegeben. Bei der Funktion handelt es sich um eine quadratische Funktion. Damit der Graph von eine waagrechte Tangente hat, muss die erste Ableitung gleich Null sein. Mit dem CAS kannst du dir die erste Ableitung anzeigen lassen. Überlege dir dann, wann die einzelnen Terme der Ableitung gleich Null werden können. Du erhältst folgende Ableitungsfunktion, die du durch Ausklammern weiter vereinfachen kannst. Der Term ist immer ungleich Null. Daraus folgt, dass der Graph von eine waagrechte Tangente hat, wenn gilt:

• 
• 

hat als einzige Lösung die Scheitelstelle von . Damit hätte der Graph von eine waagrechte Tangente an der Scheitelstelle von . Die Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben, wenn eine quadratische Funktion ist. Gibt es keine Lösung, so hat der Graph von ebenfalls nur an der Scheitelstelle von eine waagrechte Tangente. Hat die Gleichung eine Lösung, so stimmt diese mit der Scheitelstelle überein. Es gibt somit nur eine waagrechte Tangente. Hat zwei Lösungen, so stimmen diese nicht mit der Scheitelstelle von überein. In diesem Fall hat der Graph von an drei Stellen waagrechte Tangenten.   Waagerechte Tangente an allen Extremstellen von überprüfen In dieser Teilaufgabe sollst du beurteilen, ob der Graph von an allen Extremstellen von eine waagerechte Tangente hat. Nach der notwendigen Bedingung für eine Extremstelle gilt für jede Extremstellen von : . Die erste Ableitung von lautet: Stelle die Tangentengleichung des Graphen von an den Extremstellen von auf: Damit hat der Graph von an allen Extremstellen von eine waagerechte Tangente.