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Aufgabe 1B

Aufgaben
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Bei der Untersuchung eines Patienten wird ein Atemstoßtest durchgeführt. Dazu soll der Patient einmal möglichst vollständig und schnell ausatmen. Die hierbei pro Zeit ausgeatmete Luft wird als Atemfluss bezeichnet. Dieser wird in Litern pro Sekunde und die Zeit in Sekunden gemessen.
Der Messvorgang und das Ausatmen beginnen gleichzeitig zum Zeitpunkt $t_0 = 0\,\text{s}$.
In den ersten drei Sekunden des Ausatmens wird der Atemfluss durch die Funktion $f$ mit $f(t) = 40 \cdot t \cdot \mathrm{e} ^{-\frac{5}{2}t}$, $t$ in Sekunden, $f(t)$ in Litern pro Sekunde, modelliert.
Die Abbildung 1 in der Anlage zeigt den Graphen von $f$.
a) Bestimme den Zeitpunkt $t_1$, zu dem der Atemfluss maximal ist.
Bestimme den Zeitpunkt $t_2$, zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt.
Der Messvorgang wird beendet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt $t_1$ die Grenze von $0,1\,\text{$\frac{L}{s}$}$ unterschreitet.
Berechne die Dauer des Messvorgangs.
(11P)
b) Es wird modellhaft vorausgesetzt, dass die Lunge zum Zeitpunkt $t_0 = 0\,\text{s}$ voll und zum Zeitpunkt $t_3 = 2,81\,\text{s}$ leer ist. Ein Patient wird als gesund eingestuft, wenn er innerhalb der ersten Sekunde mindestens $75\,\%$ der in seiner Lunge vorhandenen Luft ausatmet.
Entscheide, ob der obige Patient bezüglich dieses Kriteriums als gesund eingestuft werden kann.
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem der Patient $3,2\,\text{Liter}$ Luft ausgeatmet hat.
(11P)
c) Bei einer weiteren Messung wird der Atemfluss durch die Funktion $g$ mit $g(t)=35\cdot t\cdot \mathrm{e}^{-\frac{5}{2}\cdot t}$, $t$ in Sekunden, $g(t)$ in Litern pro Sekunde, modelliert.
Begründe ohne Rechnung, dass bei dieser Modellierung die Zeitpunkte $t_1$ und $t_2$ aus Teilaufgabe a) gleich bleiben.
Durch einen Defekt des Messgerätes werden bei dieser Messung nur Atemflusswerte unterhalb eines unbekannten Schwellenwertes $S$ aufgezeichnet. Nach der Messung wird festgestellt, dass dadurch für einen Zeitraum von $0,25$ Sekunden keine Atemflusswerte aufgezeichnet wurden. Die Abbildung 2 in der Anlage verdeutlicht diesen Sachverhalt.
Bestimme das Zeitintervall, in dem das Messgerät keine Werte aufzeichnet, und den Schwellenwert $S$.
(10P)
d) Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktion $h$ mit $h(x)=x^2\cdot \mathrm{e}^{x^2}$ gegeben.
Zeige, dass der Graph von $h$ an der Stelle $x=0$ eine waagerechte Tangente hat.
Im Folgenden wird die Funktion $k$ mit $k(x)=p(x)\cdot \mathrm{e}^{p(x)}$ betrachtet.
Untersuche, wie viele Stellen mit waagerechter Tangente den Graph von $k$ haben kann, wenn $p$ eine quadratische Funktion ist.
Im Folgenden soll $p$ eine beliebige differenzierbare Funktion sein.
Beurteile, ob der Graph von $k$ an allen Extremstellen von $p$ jeweils eine waagerechte Tangente hat.
(14P)

Material

Anlage
Grafische Darstellung zu den Teilaufgaben a) und b)
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Abbildung 1: Graph von $f$
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Abbildung 2: Grafische Darstellung der Messwerte des Atemflusses bei defektem Messgerät
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a) $\blacktriangleright$  Zeitpunkt $\boldsymbol{t_1}$ mit dem maximalen Atemfluss bestimmen
Du hast eine Funktion $f(t)=40t\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}$ gegeben, die den Atemfluss während der ersten drei Sekunden des Ausatmens beschreibt.
Um den Zeitpunkt $t_1$ mit dem maximalen Atemfluss zu bestimmen, berechnest du das Maximum der Funktion.
Dies kannst du im Graph-Modus des CAS berechnen. Untersuche dabei den Graph im Intervall $[0;3]$ auf Extremstellen.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt $\boldsymbol{t_2}$ mit der stärksten Abnahme bestimmen
Nun sollst du den Zeitpunkt $t_2$ bestimmen, zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt.
Die Änderungsrate wird durch die ersten Ableitung $f'$ der Funktion $f$ beschrieben. Um den Zeitpunkt $t_2$ zu bestimmen, benötigst du das Minimum von $f'$. An dieser Stelle nimmt der Atemfluss am stärksten ab.
Du kannst so vorgehen:
  1. Bilde die erste Ableitung $f'$
  2. Bestimme das Minimum mit dem CAS
$\blacktriangleright$  Dauer des Messvorgangs berechnen
Der Messvorgang endet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt $t_1=0,4$ die Grenze von $0,1\,\dfrac{\text{L}}{\text{s}}$ unterschreitet. Um die Dauer des Messvorgangs zu berechnen, berechnest du den Schnittpunkt der Funktion $f$ mit der Funktion $g=0,1$.
Die Funktionen haben zwei Schnittpunkte. Uns interessiert nur der Schnittpunkt, der nach dem Zeitpunkt $t_1$ liegt.
Lasse dir die Funktionen $f$ und $g$ in dem CAS zeichnen.
b) $\blacktriangleright$  Prozentsatz der ausgeatmeten Luft bestimmen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen, ob der Patient aus der Aufgabe gesund ist. Als gesund wird ein Patient eingestuft, wenn er in der ersten Sekunde mindestens $75\,\%$ der eingeatmeten Luft ausatmet.
Um nun den Prozentsatz zu berechnen, den der Patient in der ersten Sekunde ausatmet, musst du wissen wie viel Luft der Patient nach einer Sekunde und nach der kompletten Zeit von $t_3=2,81$ Sekunden ausgeatmet hat. Dies berechnest du mit einem Integral im Intervall $[0;1]$ (Volumen $V_1$ der ausgeatmete Luft nach einer Sekunde) und dem Integral im Intervall $[0;2,81]$ (gesamtes Volumen $V_{ges}$).
Der Prozentsatz wird mit der Prozentformel berechnet:
$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{W}{G}\cdot 100 \end{array}$
Dabei ist $p$ der Prozentsatz. Das $W$ ist der Prozentwert und das $G$ der Grundwert. Der Prozentwert entspricht hier dem Volumen $V_1$ der ausgeatmeten Luft nach einer Sekunde. Dementsprechend entspricht das gesamten Volumen $V_{ges}$ dem Grundwert.
Gehe folgendermaßen vor:
  1. Berechne $V_1$ und $V_{ges}$
  2. Berechne den Prozentsatz $p$
$\blacktriangleright$  Gesuchten Zeitpunkt $\boldsymbol{t_4}$ bestimmen
Hier ist der Zeitpunkt $t_4$ gesucht, an dem der Patient $3,2 \text{ l}$ Luft ausgeatmet hat. Es gilt also:
$\displaystyle\int_{0}^{t_4} f(t)\;\mathrm dt =3,2$.
Die Funktionsgleichung von $f$ ist in der Aufgabenstellung gegeben. Diese Gleichung kannst du mit dem CAS lösen.
c) $\blacktriangleright$  Gleichbleiben der Zeitpunkte $\boldsymbol{t_1}$ und $\boldsymbol{t_2}$ begründen
Die Funktionsgleichungen von $f$ und $g$ unterscheiden sich nur in einem konstanten Faktor. Da der Faktor in $g(x)$ kleiner ist, erhält man den Graphen zu $g$ durch Stauchen des Graphen von $f$ parallel zur $y$-Achse. Folgende Skizze kann dir bei der Vorstellung helfen:
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
$\blacktriangleright$  Zeitintervall ohne Messwerte und Schwellenwert $\boldsymbol{S}$ bestimmen
Gesucht ist das Intervall $I=[t_5; t_6]$, in dem $0,25$ Sekunden keine Messwerte aufgezeichnet wurden, da die Messwerte in diesem Bereich oberhalb eines Schwellenwertes $S$ liegen. Mit diesen Angaben kannst du einen Zusammenhang zwischen $t_5$ und $t_6$ herstellen und nach $t_5$ auflösen. Der Funktionswert von $g$ an den Intervallgrenzen liefert den Schwellenwert $S$.
Es gilt:
  • $t_6=t_5 + 0,25$
  • $g(t_5)=g(t_6)$.
d) $\blacktriangleright$  Waagrechte Tangente nachweisen
Du hast die Funktion $h(x)=x^2\cdot\mathrm e^{x^2}$ gegeben. Damit der Graph der Funktion $h$ an der Stelle $x=0$ eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung an dieser Stelle gleich Null sein. Es muss also gelten:
$h'(x)=0$
Dies kannst du mit dem CAS überprüfen.
$\blacktriangleright$  Anzahl der waagerechten Tangenten untersuchen
Du hast die Funktion $k(x)=p(x)\cdot\mathrm e^{p(x)}$ gegeben. Bei der Funktion $p$ handelt es sich um eine quadratische Funktion. Damit der Graph von $k$ eine waagrechte Tangente hat, muss die erste Ableitung $k'$ gleich Null sein.
Mit dem CAS kannst du dir die erste Ableitung $k'$ anzeigen lassen. Überlege dir dann, wann die einzelnen Terme der Ableitung gleich Null werden können.
$\blacktriangleright$  Waagerechte Tangente an allen Extremstellen von $\boldsymbol{p}$ überprüfen
In dieser Teilaufgabe sollst du beurteilen, ob der Graph von $k$ an allen Extremstellen von $p$ eine waagerechte Tangente hat. Nach der notwendigen Bedingung für eine Extremstelle gilt für jede Extremstellen $x_E$ von $p$:
$p'(x_E)=0$.
Die erste Ableitung $k'$ von $k$ lautet:
$\begin{array}[t]{rll} k'(x)=& p'(x) \left(\mathrm e^{p(x)} + p(x) \cdot \mathrm e^{p(x)}\right) \end{array}$
Stelle die Tangentengleichung des Graphen von $k$ an den Extremstellen $x_E$ von $p$ auf.
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a) $\blacktriangleright$  Zeitpunkt $\boldsymbol{t_1}$ mit dem maximalen Atemfluss bestimmen
Du hast eine Funktion $f(t)=40t\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}$ gegeben, die den Atemfluss während der ersten drei Sekunden des Ausatmens beschreibt.
Um den Zeitpunkt $t_1$ mit dem maximalen Atemfluss zu bestimmen, berechnest du das Maximum der Funktion.
Dies kannst du im Graph -Modus des CAS berechnen. Untersuche dabei den Graph im Intervall $[0;3]$ auf Extremstellen. Den Hochpunkt des Graphen kannst du dir mit folgendem Befehl anzeigen lassen:
6: Graph analysieren $\rightarrow$ 3: Maximum
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Der Graph hat einen Hochpunkt $H$ mit den Koordinaten $H(0,4\mid5,89)$. Somit ist der Atemfluss an der Stelle $t_1=0,4$ maximal.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt $\boldsymbol{t_2}$ mit der stärksten Abnahme bestimmen
Nun sollst du den Zeitpunkt $t_2$ bestimmen, zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt.
Die Änderungsrate wird durch die ersten Ableitung $f'$ der Funktion $f$ beschrieben. Um den Zeitpunkt $t_2$ zu bestimmen, benötigst du das Minimum von $f'$. An dieser Stelle nimmt der Atemfluss am stärksten ab.
Du kannst so vorgehen:
  1. Bilde die erste Ableitung $f'$
  2. Bestimme das Minimum mit dem CAS
1. Schritt: Erste Ableitung $\boldsymbol{f'}$ bilden
Um die erste Ableitung zu bilden, benötigst du die Produktregel .
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&40t\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} \\[5pt] f'(t)&=&40\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}+40t\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\\[5pt] f'(t)&=&40\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}-100t\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\\[5pt] f'(t)&=&(40-100t)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} \end{array}$
2. Schritt: Graph analysieren
Lasse dir den Graphen von $f'$ in dem CAS zeichnen. Unter folgendem Befehl kannst du dir das Minimum anzeigen lassen:
6: Graph analysieren $\rightarrow$ 2: Minimum
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Der Graph von $f'$ hat einen Tiefpunkt $T$ mit den Koordinaten $T(0,8\mid-5,41)$. Damit nimmt an der Stelle $t_2=0,8$ der Atemfluss am stärksten ab.
$\blacktriangleright$  Dauer des Messvorgangs berechnen
Der Messvorgang endet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt $t_1=0,4$ die Grenze von $0,1\,\dfrac{\text{L}}{\text{s}}$ unterschreitet. Um die Dauer des Messvorgangs zu berechnen, berechnest du den Schnittpunkt der Funktion $f$ mit der Funktion $g=0,1$.
Die Funktionen haben zwei Schnittpunkte. Uns interessiert nur der Schnittpunkt, der nach dem Zeitpunkt $t_1$ liegt.
Lasse dir die Funktionen $f$ und $g$ in dem CAS zeichnen. Den Schnittpunkt erhältst du mit dem Befehl:
6: Graph analysieren $\rightarrow$ 4: Schnittpunkt
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Die Graphen von $f$ und $g$ schneiden sich an der Stelle $t=2,81$. Der Messvorgang dauert also $2,81$ Sekunden.
b) $\blacktriangleright$  Prozentsatz der ausgeatmeten Luft bestimmen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen, ob der Patient aus der Aufgabe gesund ist. Als gesund wird ein Patient eingestuft, wenn er in der ersten Sekunde mindestens $75\,\%$ der eingeatmeten Luft ausatmet.
Um nun den Prozentsatz zu berechnen, den der Patient in der ersten Sekunde ausatmet, musst du wissen wie viel Luft der Patient nach einer Sekunde und nach der kompletten Zeit von $t_3=2,81$ Sekunden ausgeatmet hat. Dies berechnest du mit einem Integral im Intervall $[0;1]$ (Volumen $V_1$ der ausgeatmete Luft nach einer Sekunde) und dem Integral im Intervall $[0;2,81]$ (gesamtes Volumen $V_{ges}$).
Der Prozentsatz wird mit der Prozentformel berechnet:
$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{W}{G}\cdot 100 \end{array}$
Dabei ist $p$ der Prozentsatz. Das $W$ ist der Prozentwert und das $G$ der Grundwert. Der Prozentwert entspricht hier dem Volumen $V_1$ der ausgeatmeten Luft nach einer Sekunde. Dementsprechend entspricht das gesamten Volumen $V_{ges}$ dem Grundwert.
Gehe folgendermaßen vor:
  1. Berechne $V_1$ und $V_{ges}$
  2. Berechne den Prozentsatz $p$
1. Schritt: Volumina berechnen
Das Integral kannst du jeweils im Calc -Modus des CAS unter folgendem Befehl berechnen:
4: Analysis $\rightarrow$ 3: Integral
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Du erhältst für $V_1$ den Wert $4,5613$ und das gesamte Volumen beträgt $V_{ges}=6,35432$.
2. Schritt: Prozentsatz $\boldsymbol{p}$ berechnen
Nun kannst du die Werte in die Prozentformel einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{W}{G}\cdot100 \\[5pt] &=&\dfrac{V_1}{V_{ges}}\cdot100 \\[5pt] &=&\dfrac{4,5613}{6,35432}\cdot100 \\[5pt] &=&71,8\,\% \end{array}$
Der Patient atmet in der ersten Sekunde nur ca. $71,8\,\%$ der in seiner Lunge enthaltenen Luft aus. Da gesunde Menschen mindestens $75\,\%$ ausatmen, gilt der Patient nicht als gesund.
$\blacktriangleright$  Gesuchten Zeitpunkt $\boldsymbol{t_4}$ bestimmen
Hier ist der Zeitpunkt $t_4$ gesucht, an dem der Patient $3,2 \text{ l}$ Luft ausgeatmet hat. Es gilt also:
$\displaystyle\int_{0}^{t_4} f(t)\;\mathrm dt =3,2$.
Die Funktionsgleichung von $f$ ist in der Aufgabenstellung gegeben. Diese Gleichung kannst du mit dem CAS lösen. Dazu benötigst du folgenden Befehl:
3: Algebra $\rightarrow$ 1: Löse
Beachte dabei, dass die Gleichung mehrere Lösungen haben kann.
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Du erhältst die Lösungen $t_1=-0,31$ und $t_2=0,67$. Da der Atemzug bei $t=0$ beginnt, ist die Lösung $t_1=-0,31$ nicht zulässig.
Nach ca. $0,67 \text{ s}$ hat der Patient $3,2$ Liter Luft ausgeatmet.
c) $\blacktriangleright$  Gleichbleiben der Zeitpunkte $\boldsymbol{t_1}$ und $\boldsymbol{t_2}$ begründen
Die Funktionsgleichungen von $f$ und $g$ unterscheiden sich nur in einem konstanten Faktor. Da der Faktor in $g(x)$ kleiner ist, erhält man den Graphen zu $g$ durch Stauchen des Graphen von $f$ parallel zur $y$-Achse. Folgende Skizze kann dir bei der Vorstellung helfen:
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Somit ändert sich die Lage des Maximums des Graphen von $f$ sowie die Lage des Maximums des Graphen von $f'$ (entspricht der Wendestelle des Graphen von $f$) nicht und die Zeitpunkte $t_1$ und $t_2$ bleiben gleich.
$\blacktriangleright$  Zeitintervall ohne Messwerte und Schwellenwert $\boldsymbol{S}$ bestimmen
Gesucht ist das Intervall $I=[t_5; t_6]$, in dem $0,25$ Sekunden keine Messwerte aufgezeichnet wurden, da die Messwerte in diesem Bereich oberhalb eines Schwellenwertes $S$ liegen. Mit diesen Angaben kannst du einen Zusammenhang zwischen $t_5$ und $t_6$ herstellen und nach $t_5$ auflösen. Der Funktionswert von $g$ an den Intervallgrenzen liefert den Schwellenwert $S$.
Es gilt:
  • $t_6=t_5 + 0,25$
  • $g(t_5)=g(t_6)$.
Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite liefert:
$g(t_5)=g(t_6)=g(t_5+0,25)$.
Setze $t_5$ und $t_5+0,25$ in den Term der Funktion $g$ ein und berechne so weit wie möglich:
$\begin{array}[t]{rll} g(t_5)=& 35 t_5 \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot t_5} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(t_5+0,25)=& 35 (t_5+0,25) \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot (t_5+0,25)}\\[5pt] =& \left(35 t_5+ \frac{35}{4}\right) \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot t_5-\frac{5}{8}}\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen und Auflösen nach $t_5$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} 35 t_5 \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot t_5}=& \left(35 t_5+ \frac{35}{4}\right) \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot t_5-\frac{5}{8}}& \scriptsize \mid \; \cdot \mathrm e^{\frac{5}{2}\cdot t_5} \\[5pt] 35 t_5=&\left(35 t_5+ \frac{35}{4}\right) \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{8}} & \scriptsize \mid \; -35 t_5 \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{8}}\\[5pt] t_5 \cdot 35 \cdot \left( 1-\mathrm e^{-\frac{5}{8}} \right)=& \frac{35}{4} \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{8}}& \scriptsize \mid \; :\left(35 \cdot \left(1-\mathrm e^{-\frac{5}{8}}\right)\right)\\[5pt] t_5=&\dfrac{\frac{35}{4} \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{8}}}{35\cdot \left(1-\mathrm e^{-\frac{5}{8}}\right)}\\[5pt] \approx& 0,2879 \end{array}$
Einsetzen des ermittelten $t_5$ in die Gleichung der Funktion von $g$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} g(t_5)=&g(0,2879)\\[5pt] =&35 \cdot 0,2879 \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot 0,2879}\\[5pt] =&10,0765\cdot \mathrm e^{-\frac{2.879}{4.000}}\\[5pt] \approx& 4,9060 \end{array}$
Zudem gilt $t_6=t_5+0,25=0,2879+0,25=0,5379$.
Damit liegt der Schwellenwert bei ca. $4,91$ Liter pro Sekunde. $I=[0,288;0,538]$, also zeichnet das Messgerät im Zeitintervall von ca. $2,9$ Sekunden bis ungefähr $5,4$ Sekunden keine Werte auf.
d) $\blacktriangleright$  Waagrechte Tangente nachweisen
Du hast die Funktion $h(x)=x^2\cdot\mathrm e^{x^2}$ gegeben. Damit der Graph der Funktion $h$ an der Stelle $x=0$ eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung an dieser Stelle gleich Null sein. Es muss also gelten:
$h'(x)=0$
Dies kannst du mit dem CAS überprüfen. Definiere dir dazu sowohl die Funktion $h$ als auch die Ableitungsfunktion $h'$. Berechne dann den Funktionswert $h'(0)$.
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Der Funktionswert $h'(0)$ ist gleich Null. Damit hat der Graph der Funktion $h$ an der Stelle $x=0$ eine waagrechte Tangente.
$\blacktriangleright$  Anzahl der waagerechten Tangenten untersuchen
Du hast die Funktion $k(x)=p(x)\cdot\mathrm e^{p(x)}$ gegeben. Bei der Funktion $p$ handelt es sich um eine quadratische Funktion. Damit der Graph von $k$ eine waagrechte Tangente hat, muss die erste Ableitung $k'$ gleich Null sein.
Mit dem CAS kannst du dir die erste Ableitung $k'$ anzeigen lassen. Überlege dir dann, wann die einzelnen Terme der Ableitung gleich Null werden können.
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Der Term $\mathrm e^{p(x)}$ ist immer ungleich Null. Daraus folgt, dass der Graph von $k$ eine waagrechte Tangente hat, wenn gilt:
  • $p(x)+1=0$
  • $p'(x)=0$
$p'(x)=0$ hat als einzige Lösung die Scheitelstelle von $p$. Damit hätte der Graph von $k$ eine waagrechte Tangente an der Scheitelstelle von $p$.
Die Gleichung $p(x)+1=0$ kann keine, eine oder zwei Lösungen haben, wenn $p$ eine quadratische Funktion ist.
Gibt es keine Lösung, so hat der Graph von $k$ ebenfalls nur an der Scheitelstelle von $p$ eine waagrechte Tangente.
Hat die Gleichung eine Lösung, so stimmt diese mit der Scheitelstelle überein. Es gibt somit nur eine waagrechte Tangente.
Hat $p(x)+1=0$ zwei Lösungen, so stimmen diese nicht mit der Scheitelstelle von $p$ überein. In diesem Fall hat der Graph von $k$ an drei Stellen waagrechte Tangenten.
$\blacktriangleright$  Waagerechte Tangente an allen Extremstellen von $\boldsymbol{p}$ überprüfen
In dieser Teilaufgabe sollst du beurteilen, ob der Graph von $k$ an allen Extremstellen von $p$ eine waagerechte Tangente hat. Nach der notwendigen Bedingung für eine Extremstelle gilt für jede Extremstellen $x_E$ von $p$:
$p'(x_E)=0$.
Die erste Ableitung $k'$ von $k$ lautet:
$\begin{array}[t]{rll} k'(x)=& p'(x) \left(\mathrm e^{p(x)} + p(x) \cdot \mathrm e^{p(x)}\right) \end{array}$
Stelle die Tangentengleichung des Graphen von $k$ an den Extremstellen $x_E$ von $p$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} y(x)=&k'(x_E)x + c \\[5pt] =&p'(x_E) \left(\mathrm e^{p(x_E)} + p(x_E) \cdot \mathrm e^{p(x_E)}\right)x+c& \scriptsize \mid\; p'(x_E)=0\\[5pt] =&c \end{array}$
Damit hat der Graph von $k$ an allen Extremstellen von $p$ eine waagerechte Tangente.
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a) $\blacktriangleright$  Zeitpunkt $\boldsymbol{t_1}$ mit dem maximalen Atemfluss bestimmen
Du hast eine Funktion $f(t)=40t\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}$ gegeben, die den Atemfluss während der ersten drei Sekunden des Ausatmens beschreibt.
Um den Zeitpunkt $t_1$ mit dem maximalen Atemfluss zu bestimmen, berechnest du das Maximum der Funktion.
Dies kannst du im Graph -Modus des CAS berechnen. Untersuche dabei den Graph im Intervall $[0;3]$ auf Extremstellen. Den Hochpunkt des Graphen kannst du dir mit folgendem Befehl anzeigen lassen:
Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Max
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Der Graph hat einen Hochpunkt $H$ mit den Koordinaten $H(0,4\mid5,89)$. Somit ist der Atemfluss an der Stelle $t_1=0,4$ maximal.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt $\boldsymbol{t_2}$ mit der stärksten Abnahme bestimmen
Nun sollst du den Zeitpunkt $t_2$ bestimmen, zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt.
Die Änderungsrate wird durch die ersten Ableitung $f'$ der Funktion $f$ beschrieben. Um den Zeitpunkt $t_2$ zu bestimmen, benötigst du das Minimum von $f'$. An dieser Stelle nimmt der Atemfluss am stärksten ab.
Du kannst so vorgehen:
  1. Bilde die erste Ableitung $f'$
  2. Bestimme das Minimum mit dem CAS
1. Schritt: Erste Ableitung $\boldsymbol{f'}$ bilden
Um die erste Ableitung zu bilden, benötigst du die Produktregel .
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&40t\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} \\[5pt] f'(t)&=&40\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}+40t\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\\[5pt] f'(t)&=&40\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}-100t\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\\[5pt] f'(t)&=&(40-100t)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} \end{array}$
2. Schritt: Graph analysieren
Lasse dir den Graphen von $f'$ in dem CAS zeichnen. Unter folgendem Befehl kannst du dir das Minimum anzeigen lassen:
Analysis $\rightarrow$ G-Solv $\rightarrow$ Min
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Der Graph von $f'$ hat einen Tiefpunkt $T$ mit den Koordinaten $T(0,8\mid-5,41)$. Damit nimmt an der Stelle $t_2=0,8$ der Atemfluss am stärksten ab.
$\blacktriangleright$  Dauer des Messvorgangs berechnen
Der Messvorgang endet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt $t_1=0,4$ die Grenze von $0,1\,\dfrac{\text{L}}{\text{s}}$ unterschreitet. Um die Dauer des Messvorgangs zu berechnen, berechnest du den Schnittpunkt der Funktion $f$ mit der Funktion $g=0,1$.
Die Funktionen haben zwei Schnittpunkte. Uns interessiert nur der Schnittpunkt, der nach dem Zeitpunkt $t_1$ liegt.
Lasse dir die Funktionen $f$ und $g$ in dem CAS zeichnen. Den Schnittpunkt erhältst du mit dem Befehl:
Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Intersection
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Die Graphen von $f$ und $g$ schneiden sich an der Stelle $t=2,81$. Der Messvorgang dauert also $2,81$ Sekunden.
b) $\blacktriangleright$  Prozentsatz der ausgeatmeten Luft bestimmen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen, ob der Patient aus der Aufgabe gesund ist. Als gesund wird ein Patient eingestuft, wenn er in der ersten Sekunde mindestens $75\,\%$ der eingeatmeten Luft ausatmet.
Um nun den Prozentsatz zu berechnen, den der Patient in der ersten Sekunde ausatmet, musst du wissen wie viel Luft der Patient nach einer Sekunde und nach der kompletten Zeit von $t_3=2,81$ Sekunden ausgeatmet hat. Dies berechnest du mit einem Integral im Intervall $[0;1]$ (Volumen $V_1$ der ausgeatmete Luft nach einer Sekunde) und dem Integral im Intervall $[0;2,81]$ (gesamtes Volumen $V_{ges}$).
Der Prozentsatz wird mit der Prozentformel berechnet:
$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{W}{G}\cdot 100 \end{array}$
Dabei ist $p$ der Prozentsatz. Das $W$ ist der Prozentwert und das $G$ der Grundwert. Der Prozentwert entspricht hier dem Volumen $V_1$ der ausgeatmeten Luft nach einer Sekunde. Dementsprechend entspricht das gesamten Volumen $V_{ges}$ dem Grundwert.
Gehe folgendermaßen vor:
  1. Berechne $V_1$ und $V_{ges}$
  2. Berechne den Prozentsatz $p$
1. Schritt: Volumina berechnen
Das Integral kannst du jeweils im Main -Menü des CAS unter folgendem Befehl berechnen:
Interactive $\rightarrow$ Calculation $\rightarrow$ $\displaystyle\int$
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Du erhältst für $V_1$ den Wert $4,5613$ und das gesamte Volumen beträgt $V_{ges}=6,35432$.
2. Schritt: Prozentsatz $\boldsymbol{p}$ berechnen
Nun kannst du die Werte in die Prozentformel einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{W}{G}\cdot100 \\[5pt] &=&\dfrac{V_1}{V_{ges}}\cdot100 \\[5pt] &=&\dfrac{4,5613}{6,35432}\cdot100 \\[5pt] &=&71,8\,\% \end{array}$
Der Patient atmet in der ersten Sekunde nur ca. $71,8\,\%$ der in seiner Lunge enthaltenen Luft aus. Da gesunde Menschen mindestens $75\,\%$ ausatmen, gilt der Patient nicht als gesund.
$\blacktriangleright$  Gesuchten Zeitpunkt $\boldsymbol{t_4}$ bestimmen
Hier ist der Zeitpunkt $t_4$ gesucht, an dem der Patient $3,2 \text{ l}$ Luft ausgeatmet hat. Es gilt also:
$\displaystyle\int_{0}^{t_4} f(t)\;\mathrm dt =3,2$.
Die Funktionsgleichung von $f$ ist in der Aufgabenstellung gegeben. Diese Gleichung kannst du mit dem CAS lösen. Dazu benötigst du den Solve -Befehl.
Beachte dabei, dass die Gleichung mehrere Lösungen haben kann.
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Du erhältst die Lösungen $t_1=-0,31$ und $t_2=0,67$. Da der Atemzug bei $t=0$ beginnt, ist die Lösung $t_1=-0,31$ nicht zulässig.
Nach ca. $0,67 \text{ s}$ hat der Patient $3,2$ Liter Luft ausgeatmet.
c) $\blacktriangleright$  Gleichbleiben der Zeitpunkte $\boldsymbol{t_1}$ und $\boldsymbol{t_2}$ begründen
Die Funktionsgleichungen von $f$ und $g$ unterscheiden sich nur in einem konstanten Faktor. Da der Faktor in $g(x)$ kleiner ist, erhält man den Graphen zu $g$ durch Stauchen des Graphen von $f$ parallel zur $y$-Achse. Folgende Skizze kann dir bei der Vorstellung helfen:
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Somit ändert sich die Lage des Maximums des Graphen von $f$ sowie die Lage des Maximums des Graphen von $f'$ (entspricht der Wendestelle des Graphen von $f$) nicht und die Zeitpunkte $t_1$ und $t_2$ bleiben gleich.
$\blacktriangleright$  Zeitintervall ohne Messwerte und Schwellenwert $\boldsymbol{S}$ bestimmen
Gesucht ist das Intervall $I=[t_5; t_6]$, in dem $0,25$ Sekunden keine Messwerte aufgezeichnet wurden, da die Messwerte in diesem Bereich oberhalb eines Schwellenwertes $S$ liegen. Mit diesen Angaben kannst du einen Zusammenhang zwischen $t_5$ und $t_6$ herstellen und nach $t_5$ auflösen. Der Funktionswert von $g$ an den Intervallgrenzen liefert den Schwellenwert $S$.
Es gilt:
  • $t_6=t_5 + 0,25$
  • $g(t_5)=g(t_6)$.
Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite liefert:
$g(t_5)=g(t_6)=g(t_5+0,25)$.
Setze $t_5$ und $t_5+0,25$ in den Term der Funktion $g$ ein und berechne so weit wie möglich:
$\begin{array}[t]{rll} g(t_5)=& 35 t_5 \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot t_5} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(t_5+0,25)=& 35 (t_5+0,25) \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot (t_5+0,25)}\\[5pt] =& \left(35 t_5+ \frac{35}{4}\right) \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot t_5-\frac{5}{8}}\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen und Auflösen nach $t_5$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} 35 t_5 \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot t_5}=& \left(35 t_5+ \frac{35}{4}\right) \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot t_5-\frac{5}{8}}& \scriptsize \mid \; \cdot \mathrm e^{\frac{5}{2}\cdot t_5} \\[5pt] 35 t_5=&\left(35 t_5+ \frac{35}{4}\right) \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{8}} & \scriptsize \mid \; -35 t_5 \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{8}}\\[5pt] t_5 \cdot 35 \cdot \left( 1-\mathrm e^{-\frac{5}{8}} \right)=& \frac{35}{4} \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{8}}& \scriptsize \mid \; :\left(35 \cdot \left(1-\mathrm e^{-\frac{5}{8}}\right)\right)\\[5pt] t_5=&\dfrac{\frac{35}{4} \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{8}}}{35\cdot \left(1-\mathrm e^{-\frac{5}{8}}\right)}\\[5pt] \approx& 0,2879 \end{array}$
Einsetzen des ermittelten $t_5$ in die Gleichung der Funktion von $g$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} g(t_5)=&g(0,2879)\\[5pt] =&35 \cdot 0,2879 \cdot \mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot 0,2879}\\[5pt] =&10,0765\cdot \mathrm e^{-\frac{2.879}{4.000}}\\[5pt] \approx& 4,9060 \end{array}$
Zudem gilt $t_6=t_5+0,25=0,2879+0,25=0,5379$.
Damit liegt der Schwellenwert bei ca. $4,91$ Liter pro Sekunde. $I=[0,288;0,538]$, also zeichnet das Messgerät im Zeitintervall von ca. $2,9$ Sekunden bis ungefähr $5,4$ Sekunden keine Werte auf.
d) $\blacktriangleright$  Waagrechte Tangente nachweisen
Du hast die Funktion $h(x)=x^2\cdot\mathrm e^{x^2}$ gegeben. Damit der Graph der Funktion $h$ an der Stelle $x=0$ eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung an dieser Stelle gleich Null sein. Es muss also gelten:
$h'(x)=0$
Dies kannst du mit dem CAS überprüfen. Definiere dir dazu sowohl die Funktion $h$ als auch die Ableitungsfunktion $h'$. Berechne dann den Funktionswert $h'(0)$.
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Der Funktionswert $h'(0)$ ist gleich Null. Damit hat der Graph der Funktion $h$ an der Stelle $x=0$ eine waagrechte Tangente.
$\blacktriangleright$  Anzahl der waagerechten Tangenten untersuchen
Du hast die Funktion $k(x)=p(x)\cdot\mathrm e^{p(x)}$ gegeben. Bei der Funktion $p$ handelt es sich um eine quadratische Funktion. Damit der Graph von $k$ eine waagrechte Tangente hat, muss die erste Ableitung $k'$ gleich Null sein.
Mit dem CAS kannst du dir die erste Ableitung $k'$ anzeigen lassen. Überlege dir dann, wann die einzelnen Terme der Ableitung gleich Null werden können.
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Du erhältst folgende Ableitungsfunktion, die du durch Ausklammern weiter vereinfachen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} k'(x)&=&p'(x)\cdot\mathrm e^{p(x)} + p'(x)\cdot\mathrm e^{p(x)}\cdot p(x) \\[5pt] &=&(p(x)+1)\cdot\mathrm e^{p(x)}\cdot p'(x) \end{array}$
Der Term $\mathrm e^{p(x)}$ ist immer ungleich Null. Daraus folgt, dass der Graph von $k$ eine waagrechte Tangente hat, wenn gilt:
  • $p(x)+1=0$
  • $p'(x)=0$
$p'(x)=0$ hat als einzige Lösung die Scheitelstelle von $p$. Damit hätte der Graph von $k$ eine waagrechte Tangente an der Scheitelstelle von $p$.
Die Gleichung $p(x)+1=0$ kann keine, eine oder zwei Lösungen haben, wenn $p$ eine quadratische Funktion ist.
Gibt es keine Lösung, so hat der Graph von $k$ ebenfalls nur an der Scheitelstelle von $p$ eine waagrechte Tangente.
Hat die Gleichung eine Lösung, so stimmt diese mit der Scheitelstelle überein. Es gibt somit nur eine waagrechte Tangente.
Hat $p(x)+1=0$ zwei Lösungen, so stimmen diese nicht mit der Scheitelstelle von $p$ überein. In diesem Fall hat der Graph von $k$ an drei Stellen waagrechte Tangenten.
$\blacktriangleright$  Waagerechte Tangente an allen Extremstellen von $\boldsymbol{p}$ überprüfen
In dieser Teilaufgabe sollst du beurteilen, ob der Graph von $k$ an allen Extremstellen von $p$ eine waagerechte Tangente hat. Nach der notwendigen Bedingung für eine Extremstelle gilt für jede Extremstellen $x_E$ von $p$:
$p'(x_E)=0$.
Die erste Ableitung $k'$ von $k$ lautet:
$\begin{array}[t]{rll} k'(x)=& p'(x) \left(\mathrm e^{p(x)} + p(x) \cdot \mathrm e^{p(x)}\right) \end{array}$
Stelle die Tangentengleichung des Graphen von $k$ an den Extremstellen $x_E$ von $p$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} y(x)=&k'(x_E)x + c \\[5pt] =&p'(x_E) \left(\mathrm e^{p(x_E)} + p(x_E) \cdot \mathrm e^{p(x_E)}\right)x+c& \scriptsize \mid\; p'(x_E)=0\\[5pt] =&c \end{array}$
Damit hat der Graph von $k$ an allen Extremstellen von $p$ eine waagerechte Tangente.
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