Analysis

Aufgabe 1A

Gegeben ist die Schar der in $Formula: \mathbb R$ $Formula: \mathbb R$ definierten Funktionen Formula: f_a mit $Formula: f_a(x)=\tfrac{60}{a}\cdot x\cdot(x-a)^2,$ $Formula: f_a(x)=\tfrac{60}{a}\cdot x\cdot(x-a)^2,$ $Formula: a\in\mathbb R^+.$ $Formula: a\in\mathbb R^+.$ Der Graph von wird mit Formula: G_a bezeichnet.

Begründe mithilfe des Funktionsterms von Formula: f_a, dass Formula: G_a die Formula: x -Achse nur in den Punkten $Formula: A(0\mid0)$ $Formula: A(0\mid0)$ und $Formula: B(a\mid0)$ $Formula: B(a\mid0)$ schneidet.

Zeige, dass die Steigung von Formula: G_a im Punkt Formula: A dem Formula: 60 -fachen Wert von entspricht.

Zeige, dass die Formula: x -Achse die Tangente an Formula: G_a im Punkt Formula: B ist.

4 BE

Für jeden Wert von Formula: a schließt Formula: G_a mit der Formula: x -Achse eine Fläche ein.

Berechne den Wert von Formula: a, für den der Inhalt dieser Fläche Formula: 10 beträgt.

3 BE

Es gibt einen Wert von Formula: a, für den der Wendepunkt von Formula: G_a auf der Gerade mit der Gleichung Formula: y=x liegt.

Berechne diesen Wert von Formula: a.

4 BE

Der Graph der in $Formula: \mathbb R$ $Formula: \mathbb R$ definierten Funktion Formula: w_a mit $Formula: w_a(x)=\tfrac{11}{10}\cdot f_a\left(\tfrac{11}{10}\cdot(12-x)\right)$ $Formula: w_a(x)=\tfrac{11}{10}\cdot f_a\left(\tfrac{11}{10}\cdot(12-x)\right)$ kann schrittweise aus Formula: G_a erzeugt werden durch:

Streckung mit einem Faktor in -Richtung
Streckung mit einem Faktor in -Richtung
Spiegelung an der -Achse
Verschiebung um in positive -Richtung

Gib die Faktoren Formula: s_x und Formula: s_y an.

Betrachtet werden die auf Formula: G_a liegenden Punkte $Formula: A(0\mid0),$ $Formula: A(0\mid0),$ $Formula: B(a\mid0)$ $Formula: B(a\mid0)$ und $Formula: C(x_C\mid f_a(x_C))$ $Formula: C(x_C\mid f_a(x_C))$ mit Formula: 0<x_C<a.

Auf dem Graphen von Formula: w_a gibt es Punkte Formula: A', Formula: B' und Formula: C', die den Punkten Formula: A, bzw. gemäß der beschriebenen Beziehung der beiden Graphen entsprechen.

Beurteile folgende Aussage:

Die Dreiecke Formula: ABC und Formula: A'B'C' haben den gleichen Flächeninhalt.

5 BE

An einem bestimmten Sommertag hat das Strandbad an einem Badesee von 9:00 Uhr bis 21:00 Uhr geöffnet. Außerhalb der Öffnungszeiten befindet sich kein Gast im Strandbad.

Am betrachteten Tag wird die Anzahl der Gäste erfasst, die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad betreten. Dabei wird vereinfachend angenommen, dass an diesem Tag jeder Gast genau einmal das Strandbad betritt.

Die in Formula: [0;12] definierte Funktion Formula: g ist durch

$Formula: g(x)=\begin{cases}f_{11}(x)&\text{für }0\leq x<11,\\0&\text{für }11\leq x\leq12\end{cases}$ $Formula: g(x)=\begin{cases}f_{11}(x)&\text{für }0\leq x<11,\\0&\text{für }11\leq x\leq12\end{cases}$

festgelegt. Die Funktion Formula: g beschreibt modellhaft die momentane Änderungsrate der erfassten Anzahl, die als Eingangsrate bezeichnet wird. Dabei ist Formula: x die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und Formula: g(x) die Eingangsrate in der Einheit $Formula: \tfrac{1}{\text{h}}.$ $Formula: \tfrac{1}{\text{h}}.$

Begründe die folgende Aussage:

Das Modell steht in Einklang damit, dass bereits ab 20:00 Uhr kein Gast mehr das Strandbad betritt.

2 BE

Es gibt genau einen Zeitpunkt, zu dem die Eingangsrate ihren größten Wert annimmt.

Ermittle rechnerisch sowohl den Zeitpunkt als auch den Wert.

4 BE

Die Anzahl der Gäste, die an dem betrachteten Tag bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad verlassen, wird ebenfalls erfasst.

Die momentane Änderungsrate dieser Anzahl (Ausgangsrate) wird durch die in Formula: [0;12] definierte Funktion Formula: h beschrieben.

Dabei ist Formula: x die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und Formula: h(x) die Ausgangsrate in der Einheit $Formula: \tfrac{1}{\text{h}}.$ $Formula: \tfrac{1}{\text{h}}.$

In der Abbildung 1 sind die Graphen von Formula: g und Formula: h dargestellt.

Zwei überlappende Kurven: voller Graph g und gestrichelter Graph h, drei schattierte Bereiche I, II, III.

Abbildung 1

Die beiden Graphen und die Formula: x -Achse schließen drei Flächen ein, die in der Abbildung mit $Formula: \text{I}, \text{II}$ $Formula: \text{I}, \text{II}$ und $Formula: \text{III}$ $Formula: \text{III}$ bezeichnet sind.

Erläutere im Sachzusammenhang, dass die Inhalte der Flächen $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ und $Formula: \text{III}$ $Formula: \text{III}$ gleich sind.

4 BE

Betrachtet wird zudem die in Formula: [0;12] definierte Funktion Formula: D mit $Formula: D(x)=\displaystyle\int_0^x(g(t)-h(t))\,\mathrm dt.$ $Formula: D(x)=\displaystyle\int_0^x(g(t)-h(t))\,\mathrm dt.$

Im Bereich $Formula: 2\leq x\leq11$ $Formula: 2\leq x\leq11$ nimmt die Funktion Formula: D ihr Maximum an. In diesem Bereich schneiden sich die Graphen von Formula: g und Formula: h genau in einem Punkt, dessen Formula: x -Koordinate mit Formula: x_S bezeichnet wird.

Begründe, dass das Maximum von Formula: D an der Stelle Formula: x_S angenommen wird.

Gib die Bedeutung des Maximums von Formula: D im Sachzusammenhang an.

4 BE

Aufgabe 1B

Zur Beschreibung des Wachstums einer Pflanze wird ihre Höhe gemessen. Beim Einpflanzen beträgt die Höhe der Pflanze Formula: 3 Zentimeter. Betrachtet wird im Folgenden die momentane Änderungsrate der Höhe der Pflanze, die als Wachstumsrate bezeichnet wird. Die Wachstumsrate wird für $Formula: t\geq 0$ $Formula: t\geq 0$ modellhaft durch die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: r mit

$Formula: r(t)=\dfrac{3}{4} t \cdot(t+4) \cdot \mathrm e^{-\tfrac{1}{2} t}$ $Formula: r(t)=\dfrac{3}{4} t \cdot(t+4) \cdot \mathrm e^{-\tfrac{1}{2} t}$

beschrieben. Dabei gibt Formula: t die seit dem Einpflanzen vergangene Zeit in Wochen an und Formula: r(t) die Wachstumsrate in Zentimeter pro Woche. Abbildung 1 zeigt den Graphen von Formula: r .

Koordinatensystem mit Kurve: steigt bis t≈2–3 auf y≈3,5, fällt dann langsam bis nahe 0 bei t≈13.

Abbildung 1

Es gilt $Formula: r(10)\lt1.$ $Formula: r(10)\lt1.$

Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.

2 BE

Es gibt einen Zeitpunkt, zu dem die Wachstumsrate genauso groß ist wie fünf Wochen davor.

Berechne diesen Zeitpunkt und stelle den Sachverhalt in Abbildung 1 dar.

4 BE

Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Pflanze am schnellsten wächst.

2 BE

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: w, deren erste Ableitungsfunktion Formula: r ist und für die Formula: w(0)=0 gilt. Außerdem gilt

$Formula: \lim _{t \rightarrow+\infty}(w(t)+3)=27$ $Formula: \lim _{t \rightarrow+\infty}(w(t)+3)=27$

Gib die Bedeutung sowohl von Formula: w(t) als auch des Wertes Formula: 27 im Sachzusammenhang an.

3 BE

Gegeben ist die Schar der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f_a mit

$Formula: f_a(x)=\dfrac{3}{4} \cdot\left(x^2-a^2\right) \cdot \mathrm e^{1-\tfrac{x}{a}}$ $Formula: f_a(x)=\dfrac{3}{4} \cdot\left(x^2-a^2\right) \cdot \mathrm e^{1-\tfrac{x}{a}}$

und $Formula: a \in \mathbb{R}^{+}.$ $Formula: a \in \mathbb{R}^{+}.$ Der Graph von Formula: f_a wird mit Formula: G_a bezeichnet.

Gib die Nullstellen von Formula: f_a an und begründe, dass Formula: G_a für jeden Wert von Formula: a die Formula: y -Achse unterhalb der Formula: x -Achse schneidet.

3 BE

Gegeben ist außerdem die in $Formula: \mathbb{R}^{+}$ $Formula: \mathbb{R}^{+}$ definierte Funktion Formula: h mit

$Formula: h(x)=k \cdot \ln x$ $Formula: h(x)=k \cdot \ln x$

mit einer positiven reellen Zahl Formula: k. Die Graphen von Formula: f_1 und Formula: h haben im Punkt $Formula: (1 \mid 0)$ $Formula: (1 \mid 0)$ eine gemeinsame Tangente.

Berechne Formula: k und gib eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.

3 BE

Abbildung 2 zeigt die Graphen von $Formula: f_1^{\prime}$ $Formula: f_1^{\prime}$ und von $Formula: h^{\prime}.$ $Formula: h^{\prime}.$ Der einzige gemeinsame Punkt der Graphen ist $Formula: \left(1 \mid f_1^{\prime}(1)\right).$ $Formula: \left(1 \mid f_1^{\prime}(1)\right).$

Gib die Anzahl der gemeinsamen Punkte der Graphen von Formula: f_1 und Formula: h an. Begründe deine Angabe ohne weitere Rechnung mithilfe der Abbildung 2.

Koordinatensystem mit zwei Kurven, gestrichelt (Graph von h') und durchgezogen (Graph von f₁'), x- und y-Achse sichtbar.

Abbildung 2

5 BE

Für jeden Wert von Formula: a besitzt der Graph Formula: G_a einen Tiefpunkt Formula: T_a und einen Hochpunkt Formula: H_a. Es gibt einen Wert von Formula: a, für den die Punkte und gegenüberliegende Eckpunkte eines Quadrats sind, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen.

Bestimme diesen Wert von Formula: a auf Hundertstel gerundet.

4 BE

Im vierten Quadranten schließt Formula: G_a mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein. Der Inhalt dieser Fläche stimmt näherungsweise mit dem Inhalt des Dreiecks überein, dessen Eckpunkte der Koordinatenursprung, der Schnittpunkt von mit der Formula: y -Achse und der Schnittpunkt von mit der positiven Formula: x -Achse sind.

Zeige, dass die prozentuale Abweichung des Inhalts der Dreiecksfläche vom Inhalt der eingeschlossenen Fläche unabhängig von Formula: a ist, und gib diese prozentuale Abweichung an.

4 BE

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Lösung 1A

Schnittpunkte mit der $Formula: \boldsymbol{x\text{-}}$ $Formula: \boldsymbol{x\text{-}}$ Achse berechnen

Nach dem Satz des Nullprodukts sind die einzigen Nullstellen der Funktion Formula: x_1=0 und Formula: x_2=a. Somit schneidet der Graph die -Achse nur in den Punkten Formula: A und Formula: B.

Steigung von $Formula: \boldsymbol{G_a}$ $Formula: \boldsymbol{G_a}$ zeigen

Mit dem CAS folgt für die erste Ableitung von Formula: f_a:

$Formula: f_a'(x)=\frac{60}{a}\cdot (x-a)(3x-a)$ $Formula: f_a'(x)=\frac{60}{a}\cdot (x-a)(3x-a)$

Für Formula: x=0 gilt:

$Formula: \begin{array}{rcl}f_a'(0)&=&\dfrac{60}{a}\cdot(0-a)(3\cdot0-a)\\[5pt]&=&60a\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}f_a'(0)&=&\dfrac{60}{a}\cdot(0-a)(3\cdot0-a)\\[5pt]&=&60a\end{array}$

Tangente an $Formula: \boldsymbol{G_a}$ $Formula: \boldsymbol{G_a}$ zeigen

Für Formula: x=a gilt:

$Formula: f_a'(a)=\frac{60}{a}\cdot (a-a)(3a-a)=0$ $Formula: f_a'(a)=\frac{60}{a}\cdot (a-a)(3a-a)=0$

Die Tangente im Punkt $Formula: B(a \mid 0)$ $Formula: B(a \mid 0)$ ist also waagerecht. Da auf der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse liegt, ist die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse somit die Tangente an Formula: G_a im Punkt Formula: B.

$Formula: \begin{array}{rcll} \displaystyle\int_0^a f_a(x) \;\mathrm dx &=& 10 \\[5pt] \displaystyle\int_0^a \left(\dfrac{60}{a} \cdot x \cdot (x-a)^2\right) \;\mathrm dx &=& 10 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \displaystyle\int_0^a f_a(x) \;\mathrm dx &=& 10 \\[5pt] \displaystyle\int_0^a \left(\dfrac{60}{a} \cdot x \cdot (x-a)^2\right) \;\mathrm dx &=& 10 \end{array}$

Auflösen nach Formula: a mit dem CAS liefert:

$Formula: a=\sqrt[3]{2}$ $Formula: a=\sqrt[3]{2}$

Für die zweite und dritte Ableitung von Formula: f_a folgt mit dem CAS:

$Formula: f_a''(x)=\frac{60}{a}(6x-4a)$ $Formula: f_a''(x)=\frac{60}{a}(6x-4a)$

$Formula: f_a'''(x)=\dfrac{360}{a}$ $Formula: f_a'''(x)=\dfrac{360}{a}$

Auflösen der notwendigen Bedingung für Wendestellen Formula: f_a''(x)=0 nach Formula: x mit dem CAS liefert:

$Formula: x=\dfrac{2}{3}a$ $Formula: x=\dfrac{2}{3}a$

Überprüfen der hinreichenden Bedingung für Wendestellen ergibt dann:

$Formula: f_a'''\left(\dfrac{2}{3}a\right) = \dfrac{360}{a}\gt 0$ $Formula: f_a'''\left(\dfrac{2}{3}a\right) = \dfrac{360}{a}\gt 0$

Damit ist die hinreichende Bedingung erfüllt. Also liegt bei $Formula: x=\tfrac{2}{3}a$ $Formula: x=\tfrac{2}{3}a$ tatsächlich eine Wendestelle von Formula: G_a vor. Für den Funktionswert gilt:

$Formula: \begin{array}{rcl}f_a\left(\dfrac{2}{3}a\right)&=&\dfrac{60}{a}\cdot\dfrac{2}{3}a\cdot\left(\dfrac{2}{3}a-a\right)^2\\[5pt]&=&\dfrac{40}{9}a^2\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}f_a\left(\dfrac{2}{3}a\right)&=&\dfrac{60}{a}\cdot\dfrac{2}{3}a\cdot\left(\dfrac{2}{3}a-a\right)^2\\[5pt]&=&\dfrac{40}{9}a^2\end{array}$

Auflösen der Gleichung $Formula: \tfrac{40}{9}a^2=\tfrac{2}{3}a$ $Formula: \tfrac{40}{9}a^2=\tfrac{2}{3}a$ nach Formula: a mit dem CAS liefert:

$Formula: a=\dfrac{3}{20}$ $Formula: a=\dfrac{3}{20}$

Für den Wert $Formula: a = \tfrac{3}{20}$ $Formula: a = \tfrac{3}{20}$ liegt der Wendepunkt von Formula: G_a somit auf der Geraden Formula: y=x.

Faktoren angeben

$Formula: \begin{array}{rcl}s_x&=&\dfrac{10}{11} \\[5pt] s_y&=&\dfrac{11}{10} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}s_x&=&\dfrac{10}{11} \\[5pt] s_y&=&\dfrac{11}{10} \end{array}$

Aussage beurteilen

Die Strecken $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ und $Formula: \overline{A^{\prime}B^{\prime}}$ $Formula: \overline{A^{\prime}B^{\prime}}$ werden als die Grundseiten der Dreiecke Formula: ABC bzw. $Formula: A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ $Formula: A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ betrachtet. Die zugehörigen Höhen sind die Formula: y -Koordinaten Formula: y_C und $Formula: y_{C^{\prime}}$ $Formula: y_{C^{\prime}}$ der Punkte Formula: C bzw. $Formula: C^{\prime}.$ $Formula: C^{\prime}.$ Wegen $Formula: \left|\overline{A^{\prime} B^{\prime}}\right|=s_x \cdot\left|\overline{A B}\right|$ $Formula: \left|\overline{A^{\prime} B^{\prime}}\right|=s_x \cdot\left|\overline{A B}\right|$ und $Formula: y_{C^{\prime}}=s_y \cdot y_C$ $Formula: y_{C^{\prime}}=s_y \cdot y_C$ muss $Formula: s_x \cdot s_y=1$ $Formula: s_x \cdot s_y=1$ gelten, damit die Aussage wahr ist. Da $Formula: \tfrac{10}{11}\cdot\tfrac{11}{10}=1$ $Formula: \tfrac{10}{11}\cdot\tfrac{11}{10}=1$ gilt, ist das der Fall.

Im Modell entspricht Formula: x=11 dem Zeitpunkt 20:00 Uhr. Für $Formula: x \geq 11$ $Formula: x \geq 11$ gilt Formula: g(x)=0 und damit ist die Eingangsrate gemäß dem Modell gleich Null. Das Modell steht daher im Einklang mit der Aussage.

Für $Formula: 0 \leq x \leq 11$ $Formula: 0 \leq x \leq 11$ gilt:

$Formula: g'(x)=f_{11}'(x)=\frac{60}{11}\cdot (x-11)(3x-11)$ $Formula: g'(x)=f_{11}'(x)=\frac{60}{11}\cdot (x-11)(3x-11)$

Für $Formula: 11 < x \leq 12$ $Formula: 11 < x \leq 12$ gilt:

Formula: g'(x) = 0

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen $Formula: g'(x)=f'_{11}(x)=0$ $Formula: g'(x)=f'_{11}(x)=0$ im Intervall Formula: [0;11] liefert mit dem solve-Befehl des CAS:

$Formula: \begin{array}{rcl}x_1&=&\dfrac{11}{3} \\[5pt] x_2&=&11 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}x_1&=&\dfrac{11}{3} \\[5pt] x_2&=&11 \end{array}$

Für die möglichen Funktionswerte der Hochstelle folgt:

$Formula: \begin{array}{rcl}g(11)&=&\dfrac{60}{11} \cdot 11 \cdot (11-11)^2 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}g(11)&=&\dfrac{60}{11} \cdot 11 \cdot (11-11)^2 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl}g\left( \dfrac{11}{3} \right)&=& \dfrac{60}{11} \cdot \dfrac{11}{3} \cdot \left(\dfrac{11}{3} -11 \right)^2 \\[5pt] &=&\dfrac{9680}{9} \\[5pt] &\approx&1075,56 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}g\left( \dfrac{11}{3} \right)&=& \dfrac{60}{11} \cdot \dfrac{11}{3} \cdot \left(\dfrac{11}{3} -11 \right)^2 \\[5pt] &=&\dfrac{9680}{9} \\[5pt] &\approx&1075,56 \end{array}$

Somit nimmt die Funktion Formula: g bei $Formula: x= \tfrac{11}{3}$ $Formula: x= \tfrac{11}{3}$ den maximalen Wert an. Es gilt $Formula: \tfrac{11}{3}\cdot 60 = 220.$ $Formula: \tfrac{11}{3}\cdot 60 = 220.$ Somit ist die Eingangsrate ca. 3:40 Stunden nach 9:00 Uhr, d.h. um 12:40 Uhr mit etwa Formula: 1076 Personen pro Stunde, am größten.

Der Inhalt der Fläche, die der Graph von Formula: g und die Formula: x -Achse einschließen, entspricht der Anzahl aller Gäste, die am betrachteten Tag das Strandbad betreten. Der Inhalt der Fläche, die der Graph von Formula: h und die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse einschließen, entspricht der Anzahl aller Gäste, die am betrachteten Tag das Strandbad verlassen. Die Gleichheit der Inhalte der Flächen $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ und $Formula: \text{III}$ $Formula: \text{III}$ ist somit gleichbedeutend mit der Tatsache, dass am betrachteten Tag ebenso viele Gäste das Strandbad betreten wie verlassen.

Im Bereich $Formula: 2 \leq x \leq 11$ $Formula: 2 \leq x \leq 11$ ist Formula: x_S wegen $Formula: D^{\prime}(x)=g(x)-h(x)$ $Formula: D^{\prime}(x)=g(x)-h(x)$ die einzige Nullstelle der Ableitungsfunktion Formula: D' von Formula: D. Da es sich um eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus handelt, nimmt die Funktion an dieser Stelle ihr Maximum an. Dieses Maximum entspricht im Modell der größten Anzahl der am betrachteten Tag sich gleichzeitig im Strandbad befindenden Gäste.

Lösung 1B

Zehn Wochen nach dem Einpflanzen ist die Wachstumsrate der Pflanze kleiner als Formula: 1 Zentimeter pro Woche.

Sachverhalt darstellen

Graph: Kurve auf t-y-Achsen, Peak bei t≈3, fällt bis t≈13 ab; gestrichelte horizontale Linie bei y≈2.2 von t≈1 bis t≈6

Zeitpunkt berechnen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} r(t)&=&r(t-5) \\[5pt] \dfrac{3}{4} t \cdot(t+4) \cdot \mathrm e^{-\tfrac{1}{2} t}&=&\dfrac{3}{4}\cdot(t-5) \cdot(t-5+4) \cdot \mathrm e^{-\tfrac{1}{2}\cdot(t-5)} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} r(t)&=&r(t-5) \\[5pt] \dfrac{3}{4} t \cdot(t+4) \cdot \mathrm e^{-\tfrac{1}{2} t}&=&\dfrac{3}{4}\cdot(t-5) \cdot(t-5+4) \cdot \mathrm e^{-\tfrac{1}{2}\cdot(t-5)} \end{array}$

Auflösen nach Formula: t mit dem CAS liefert $Formula: t\approx6,0.$ $Formula: t\approx6,0.$ Der gesuchte Zeitpunkt ist somit ungefähr sechs Wochen nach dem Einpflanzen.

Mit dem CAS folgt für die erste Ableitung von Formula: r:

$Formula: r'(t)=-\dfrac{1}{8}\cdot\left(3t^{2} - 24\right) \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{2}}$ $Formula: r'(t)=-\dfrac{1}{8}\cdot\left(3t^{2} - 24\right) \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{2}}$

Nullsetzen und Auflösen nach Formula: t mit dem CAS liefert:

$Formula: t=2\sqrt{2}$ $Formula: t=2\sqrt{2}$

Mit Hilfe der Abbildung ergibt sich, dass es sich um die Hochstelle handelt. Die Pflanze wächst somit $Formula: 2\sqrt{2}\approx2,8$ $Formula: 2\sqrt{2}\approx2,8$ Wochen nach dem Einpflanzen am schnellsten.

Formula: w(t) gibt die Zunahme der Höhe der Pflanze seit dem Einpflanzen in Zentimetern an.

Der Wert Formula: 27 gibt an, dass die Höhe der Pflanze auf lange Sicht gegen $Formula: 27\;\text{cm}$ $Formula: 27\;\text{cm}$ strebt.

Nullstellen angeben

Nach dem Satz des Nullprodukts sind die Nullstellen von Formula: f_a gegeben durch Formula: -a and Formula: a.

$Formula: \boldsymbol{y}$ $Formula: \boldsymbol{y}$ -Achsenabschnitt begründen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(0)&=&\dfrac{3}{4} \cdot\left(0^2-a^2\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\tfrac{0}{a}} \\[5pt] &=&-\dfrac{3}{4} a^2 \cdot \mathrm e \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(0)&=&\dfrac{3}{4} \cdot\left(0^2-a^2\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\tfrac{0}{a}} \\[5pt] &=&-\dfrac{3}{4} a^2 \cdot \mathrm e \end{array}$

Da stets $Formula: a^2\gt0$ $Formula: a^2\gt0$ gilt, folgt somit $Formula: f_a(0)\lt0$ $Formula: f_a(0)\lt0$ für alle Werte von Formula: a.

Für die ersten Ableitungen von Formula: h und Formula: f_1 folgt mit dem CAS:

$Formula: h'(x)=\dfrac{k}{x}$ $Formula: h'(x)=\dfrac{k}{x}$

$Formula: f_a'(x)=\dfrac{3}{4} \cdot\left(-\dfrac{x^2}{a}+2x+a\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\tfrac{x}{a}}$ $Formula: f_a'(x)=\dfrac{3}{4} \cdot\left(-\dfrac{x^2}{a}+2x+a\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\tfrac{x}{a}}$

Gleichsetzen der beiden Ableitungen für Formula: a=1 an der Stelle Formula: x=1 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h'(1)&=&f_1'(1) \\[5pt] \dfrac{k}{1}&=&\dfrac{3}{4} \cdot\left(-1^2+2\cdot1+1\right) \cdot \mathrm{e}^{1-1} \\[5pt] k&=&\dfrac{3}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h'(1)&=&f_1'(1) \\[5pt] \dfrac{k}{1}&=&\dfrac{3}{4} \cdot\left(-1^2+2\cdot1+1\right) \cdot \mathrm{e}^{1-1} \\[5pt] k&=&\dfrac{3}{2} \end{array}$

Einsetzen des Punktes mit den Koordinaten $Formula: (1\mid0)$ $Formula: (1\mid0)$ in die Tangentengleichung $Formula: y=\tfrac{3}{2}x-n$ $Formula: y=\tfrac{3}{2}x-n$ liefert $Formula: n=\tfrac{3}{2}.$ $Formula: n=\tfrac{3}{2}.$ Damit folgt:

$Formula: y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$ $Formula: y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$

Für $Formula: x\gt1$ $Formula: x\gt1$ gilt: Die Differenz Formula: h(x)-f_1(x) wird wegen $Formula: h^{\prime}(x)\gt f_1^{\prime}(x)$ $Formula: h^{\prime}(x)\gt f_1^{\prime}(x)$ für zunehmende Werte von kontinuierlich größer und ist damit wegen Formula: h(1)-f_1(1)=0 positiv.

Für $Formula: x\lt 1$ $Formula: x\lt 1$ gilt: Die Differenz Formula: f_1(x)-h(x) wird wegen $Formula: h^{\prime}(x)>f_1^{\prime}(x)$ $Formula: h^{\prime}(x)>f_1^{\prime}(x)$ für abnehmende Werte von kontinuierlich größer und ist damit wegen Formula: h(1)-f_1(1)=0 positiv.

Die Graphen besitzen somit genau einen gemeinsamen Punkt.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] \dfrac{3}{4} \cdot\left(-\dfrac{x^2}{a}+2x+a\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\tfrac{x}{a}}&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] \dfrac{3}{4} \cdot\left(-\dfrac{x^2}{a}+2x+a\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\tfrac{x}{a}}&=&0 \end{array}$

Auflösen nach Formula: x mit dem CAS liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_1&=&a-a\sqrt{2} \\[5pt] x_2&=&a+a\sqrt{2} \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_1&=&a-a\sqrt{2} \\[5pt] x_2&=&a+a\sqrt{2} \\[5pt] \end{array}$

Da nach Aufgabenstellung jeder Graph einen Tiefpunkt und einen Hochpunkt hat, ist die Überprüfung der hinreichenden Bedingung für Extremstellen nicht nötig um festzustellen, dass diese beiden Werte Extremstellen sind. Die Extrempunkte haben genau dann die gesuchte Lage, wenn gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} a+a \sqrt{2}-(a-a \sqrt{2})&=&f_a(a+a \sqrt{2})-f_a(a-a \sqrt{2}) \\[5pt] 2a \sqrt{2}&=&\dfrac{3}{4} \cdot\left((a+a \sqrt{2})^2-a^2\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\frac{a+a \sqrt{2}}{a}}-\dfrac{3}{4} \cdot\left((a-a \sqrt{2})^2-a^2\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\frac{a-a \sqrt{2}}{a}} \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} a+a \sqrt{2}-(a-a \sqrt{2})&=&f_a(a+a \sqrt{2})-f_a(a-a \sqrt{2}) \\[5pt] 2a \sqrt{2}&=&\dfrac{3}{4} \cdot\left((a+a \sqrt{2})^2-a^2\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\frac{a+a \sqrt{2}}{a}}-\dfrac{3}{4} \cdot\left((a-a \sqrt{2})^2-a^2\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\frac{a-a \sqrt{2}}{a}} \\[5pt] \end{array}$

Auflösen nach Formula: a mit dem CAS liefert $Formula: a\approx 0,82.$ $Formula: a\approx 0,82.$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a'(x)&=&0 \\[5pt] \dfrac{3}{4} \cdot\left(-\dfrac{x^2}{a}+2x+a\right) \cdot \mathrm{e}^{1-\tfrac{x}{a}}&=&0 \end{array}$ Aus der Teilaufgabe e) sind bereits die Nullstellen und der Formula: y -Achsenabschnitt von Formula: f_a bekannt. Damit folgt für den Flächeninhalt des Dreiecks:

$Formula: A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot \dfrac{3}{4} a^2 \cdot \mathrm{e}= \dfrac{3}{8}a^3\mathrm e$ $Formula: A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot \dfrac{3}{4} a^2 \cdot \mathrm{e}= \dfrac{3}{8}a^3\mathrm e$

Für das Integral ergibt sich mit dem CAS:

$Formula: \displaystyle\int_0^a f_a(x)\;\mathrm dx=-\dfrac{3}{4}a^3\cdot(4-\mathrm e)$ $Formula: \displaystyle\int_0^a f_a(x)\;\mathrm dx=-\dfrac{3}{4}a^3\cdot(4-\mathrm e)$

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{A}{-\displaystyle\int_0^a f_a(x)\;\mathrm d x}&=&\dfrac{\tfrac{3}{8}a^3\mathrm e}{\tfrac{3}{4}a^3\cdot(4-\mathrm e)} \\[5pt] &\approx&1,06 \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{A}{-\displaystyle\int_0^a f_a(x)\;\mathrm d x}&=&\dfrac{\tfrac{3}{8}a^3\mathrm e}{\tfrac{3}{4}a^3\cdot(4-\mathrm e)} \\[5pt] &\approx&1,06 \\[5pt] \end{array}$

Die prozentuale Abweichung beträgt somit ca. $Formula: 0,06=6\,\%$ $Formula: 0,06=6\,\%$ und ist unabhängig von Formula: a.

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