Pflichtaufgaben

Gib in der Tabelle je eine zugehörige Funktionsgleichung an.

Funktionsgleichung von $Formula: \boldsymbol{f}$ $Formula: \boldsymbol{f}$	Funktionsgleichung von $Formula: \boldsymbol{f'}$ $Formula: \boldsymbol{f'}$
$Formula: f(x)=\mathrm e^{800x}$ $Formula: f(x)=\mathrm e^{800x}$
$Formula: f(x)=(x+6,5)^{2026}$ $Formula: f(x)=(x+6,5)^{2026}$
$Formula: f(x)=\cos(x)\cdot\sin(x)$ $Formula: f(x)=\cos(x)\cdot\sin(x)$
	$Formula: f'(x)=\dfrac{1}{3x^4}$ $Formula: f'(x)=\dfrac{1}{3x^4}$
	$Formula: f'(x)=\mathrm e^{2x+3}$ $Formula: f'(x)=\mathrm e^{2x+3}$

5 BE

Gegeben ist die Funktion Formula: f durch $Formula: f(x)=-\cos (x)+1$ $Formula: f(x)=-\cos (x)+1$ sowie die beiden Abbildungen $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ und $Formula: \text{II}.$ $Formula: \text{II}.$

Koordinatensystem mit sinusförmiger Kurve von −2π bis 2π, x- und y-Achsen beschriftet.

Koordinatensystem mit sinusförmiger Kurve, x-Achse bei -2π, -π, 0, π, 2π und y-Achse bis 2

In einer der beiden Abbildungen ist der Graph von Formula: f dargestellt.

Gib diese Abbildung an und begründe deine Entscheidung.

2 BE

Berechne den Wert des Terms $Formula: \displaystyle\int_0^\pi f(x)\;\mathrm d x$ $Formula: \displaystyle\int_0^\pi f(x)\;\mathrm d x$ und veranschauliche dessen geometrische Bedeutung in der gewählten Abbildung.

3 BE

Gegeben sind die Gerade $Formula: g: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)+\mathrm{t} \cdot\left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ $Formula: g: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)+\mathrm{t} \cdot\left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ mit $Formula: t \in\mathbb{R}$ $Formula: t \in\mathbb{R}$ und die Ebene Formula: E:-2 x-y+2 z-2=0.

Begründe, dass Formula: g senkrecht zu Formula: E steht, und zeige, dass der Punkt $Formula: P(-4\mid2\mid-2)$ $Formula: P(-4\mid2\mid-2)$ in liegt.

2 BE

Bestimme die Koordinaten eines Punktes auf Formula: g, der zu Formula: E den Abstand Formula: 12 hat.

3 BE

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X mit den Parametern Formula: n=36 und Formula: p=0,5.

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit Formula: P(X=27) berechnet werden kann.

1 BE

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Formula: X.

Balkendiagramm: Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=k), glockenförmig, Spitze bei k ≈ 17–18, x-Achse 0–36

Ermittle einen Näherungswert für $Formula: P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma),$ $Formula: P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma),$ wobei $Formula: \mu$ $Formula: \mu$ der Erwartungswert und $Formula: \sigma$ $Formula: \sigma$ die Standardabweichung von Formula: X sind.

4 BE

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Funktionsgleichung von $Formula: \boldsymbol{f}$ $Formula: \boldsymbol{f}$	Funktionsgleichung von $Formula: \boldsymbol{f'}$ $Formula: \boldsymbol{f'}$
$Formula: f(x)=\mathrm e^{800x}$ $Formula: f(x)=\mathrm e^{800x}$	$Formula: f^{\prime}(x)=800 \mathrm e^{800 x}$ $Formula: f^{\prime}(x)=800 \mathrm e^{800 x}$
$Formula: f(x)=(x+6,5)^{2026}$ $Formula: f(x)=(x+6,5)^{2026}$	$Formula: f^{\prime}(x)=2026 \cdot(x+6,5)^{2025}$ $Formula: f^{\prime}(x)=2026 \cdot(x+6,5)^{2025}$
$Formula: f(x)=\cos(x)\cdot\sin(x)$ $Formula: f(x)=\cos(x)\cdot\sin(x)$	$Formula: f^{\prime}(x)=-\sin ^2(x)+\cos ^2(x)$ $Formula: f^{\prime}(x)=-\sin ^2(x)+\cos ^2(x)$
$Formula: f(x)=-\dfrac{1}{9 x^3}$ $Formula: f(x)=-\dfrac{1}{9 x^3}$	$Formula: f'(x)=\dfrac{1}{3x^4}$ $Formula: f'(x)=\dfrac{1}{3x^4}$
$Formula: f(x)=\dfrac{1}{2} \mathrm e^{2 x+3}$ $Formula: f(x)=\dfrac{1}{2} \mathrm e^{2 x+3}$	$Formula: f'(x)=\mathrm e^{2x+3}$ $Formula: f'(x)=\mathrm e^{2x+3}$

Formula: f Die Kosinusfunktion und somit auch besitzt eine Periode von $Formula: 2 \pi$ $Formula: 2 \pi$ und der Graph in Abbildung $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ besitzt eine Periode von $Formula: \pi,$ $Formula: \pi,$ somit stellt Abbildung $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ den Graphen von Formula: f dar.

Wert berechnen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_0^\pi f(x)\;\mathrm d x&=&\displaystyle\int_0^\pi -\cos(x)+1\;\mathrm d x \\[5pt] &=&[-\sin (x)+x]_0^\pi \\[5pt] &=&0+\pi-(0+0) \\[5pt] &=&\pi \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_0^\pi f(x)\;\mathrm d x&=&\displaystyle\int_0^\pi -\cos(x)+1\;\mathrm d x \\[5pt] &=&[-\sin (x)+x]_0^\pi \\[5pt] &=&0+\pi-(0+0) \\[5pt] &=&\pi \end{array}$

Geometrische Bedeutung veranschaulichen

Sinuskurve von -2π bis 2π mit schattierter Fläche zwischen 0 und π über der x-Achse

Lage von $Formula: \boldsymbol{g}$ $Formula: \boldsymbol{g}$ begründen

Der Vektor $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ ist sowohl Richtungsvektor von Formula: g als auch Normalenvektor von Formula: E, somit steht senkrecht zu Formula: E.

Lage von $Formula: \boldsymbol{P}$ $Formula: \boldsymbol{P}$ zeigen

Einsetzen der Koordinaten von Formula: P in die Ebenengleichung von Formula: E ergibt:

$Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$ $Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$

Somit liegt Formula: P in Formula: E.

Der Ortsvektor von Formula: g ergibt sich durch den Punkt Formula: P, der nach Teilaufgabe 3a) in Formula: E liegt. Für die Länge des Richtungsvektors von gilt:

$Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$ $Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$

Da der Richtungsvektor von Formula: g orthogonal zu Formula: E steht, liefert Formula: t=4 den Ortsvektor eines geeigneten Punktes:

$Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$

Die Koordinaten des gesuchten Punktes sind somit z.B. gegeben durch $Formula: (-12\mid-2\mid6).$ $Formula: (-12\mid-2\mid6).$

$Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0,5^{27} \cdot 0,5^9$ $Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0,5^{27} \cdot 0,5^9$

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$

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