Wahlaufgaben

Gegeben sind die Funktionen Formula: f und Formula: g_n.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(x)&=&-\dfrac{1}{3} x^3+\dfrac{4}{3} x &\quad(x \in \mathbb{R}) \\[5pt] g_n(x)&=&x^n &\quad(n \in \mathbb{N}, n \geq 1, x \in \mathbb{R}) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(x)&=&-\dfrac{1}{3} x^3+\dfrac{4}{3} x &\quad(x \in \mathbb{R}) \\[5pt] g_n(x)&=&x^n &\quad(n \in \mathbb{N}, n \geq 1, x \in \mathbb{R}) \end{array}$

Die Abbildung zeigt den Graphen von Formula: f.

Kurvengraph einer Funktion im kartesischen Koordinatensystem mit Gitternetz, Achsen x und y und Zahlenmarkierungen von -3 bis 3.

Zeige, dass der Graph von Formula: f im Intervall Formula: [0 ; 1] mit der Formula: x -Achse eine Fläche mit einem Inhalt von $Formula: \tfrac{7}{12}$ $Formula: \tfrac{7}{12}$ einschließt.

2 BE

Begründe, dass für alle Formula: n die folgende Ungleichung gilt:

$Formula: \displaystyle\int_0^1\left(f(x)-g_n(x)\right)\;\mathrm d x \geq \dfrac{1}{12}$ $Formula: \displaystyle\int_0^1\left(f(x)-g_n(x)\right)\;\mathrm d x \geq \dfrac{1}{12}$

3 BE

Im abgebildeten Koordinatensystem ist der Graph der zweiten Ableitungsfunktion Formula: f'' einer Funktion mit seinen wesentlichen Eigenschaften dargestellt.

Die einzige Nullstelle der Ableitungsfunktion $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ ist Formula: x_0=-0,5.

Skizziere im Koordinatensystem je einen möglichen Verlauf der Graphen der ersten Ableitungsfunktion $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ und der Funktion so, dass alle wesentlichen Eigenschaften der Graphen erkennbar sind.

Kennzeichne Extrem- und Wendepunkte der Graphen.

Mathematische Kurve in einem Koordinatensystem mit den Achsen x und y

5 BE

Gegeben sind für $Formula: a \in\mathbb{R}$ $Formula: a \in\mathbb{R}$ die Geraden $Formula: g_a: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ a \\ -2 a\end{array}\right)$ $Formula: g_a: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ a \\ -2 a\end{array}\right)$ mit $Formula: t \in\mathbb{R}$ $Formula: t \in\mathbb{R}$ sowie für eine reelle Zahl Formula: c die Ebene Formula: E: 2 y+z=c. Jede Gerade liegt in Formula: E.

Bestimme Formula: c.

1 BE

Beurteile die folgende Aussage, ohne Abstände zu berechnen:

Der Punkt $Formula: P(1\mid3\mid-1)$ $Formula: P(1\mid3\mid-1)$ hat zu jeder Gerade Formula: g_a den gleichen Abstand.

4 BE

Betrachtet werden die Dreiecke Formula: AB_s C_t mit $Formula: A(0\mid0\mid 0), B_s(4 s\mid3s\mid0)$ $Formula: A(0\mid0\mid 0), B_s(4 s\mid3s\mid0)$ und $Formula: C_t(0\mid0\mid t)$ $Formula: C_t(0\mid0\mid t)$ mit $Formula: s, t \in \mathbb{R}^{+}.$ $Formula: s, t \in \mathbb{R}^{+}.$

Begründe, dass jedes Dreieck Formula: AB_sC_t im Punkt rechtwinklig ist.

2 BE

Zu jedem Wert von Formula: s gibt es einen Wert von Formula: t, so dass das Dreieck Formula: A B_s C_t gleichschenklig ist. Zeige, dass die zugehörigen Punkte $Formula: (s \mid t)$ $Formula: (s \mid t)$ auf der in der Abbildung dargestellten Gerade liegen.

3 BE

Die binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X hat die Parameter Formula: n=4 und Formula: p . Es gilt $Formula: P(X \geq 1)=\tfrac{65}{81}.$ $Formula: P(X \geq 1)=\tfrac{65}{81}.$

Gegeben sind die drei Abbildungen $Formula: (\text{I}), (\text{II})$ $Formula: (\text{I}), (\text{II})$ und $Formula: (\text{III}),$ $Formula: (\text{III}),$ von denen genau eine die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Formula: X zeigt. Beurteile, welche Abbildungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung von nicht zeigen.

2 BE

Ermittle den Wert des Parameters Formula: p.

3 BE

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, die jeweils mit einer natürlichen Zahl beschriftet sind. Auf drei der Kugeln steht die Zahl Formula: a, auf den beiden anderen Kugeln die Zahl Formula: b. Die Summe von und ist Formula: 17. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig zufällig entnommen.

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $Formula: 1-\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4}$ $Formula: 1-\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4}$ berechnet werden kann.

1 BE

Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Summe der Zahlen auf den beiden entnommenen Kugeln. Der Erwartungswert von ist Formula: 16. Bestimme Formula: a und Formula: b .

4 BE

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$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm d x&=&\displaystyle\int_0^1 -\dfrac{1}{3} x^3+\dfrac{4}{3} x\;\mathrm d x \\[5pt] &=&\left[-\dfrac{1}{12} x^4+\dfrac{2}{3} x^2\right]_0^1 \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{12} +\dfrac{2}{3}-0 \\[5pt] &=&\dfrac{7}{12} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm d x&=&\displaystyle\int_0^1 -\dfrac{1}{3} x^3+\dfrac{4}{3} x\;\mathrm d x \\[5pt] &=&\left[-\dfrac{1}{12} x^4+\dfrac{2}{3} x^2\right]_0^1 \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{12} +\dfrac{2}{3}-0 \\[5pt] &=&\dfrac{7}{12} \end{array}$

Der Term $Formula: \displaystyle\int_0^1\left(f(x)-g_n(x)\right)\;\mathrm d x$ $Formula: \displaystyle\int_0^1\left(f(x)-g_n(x)\right)\;\mathrm d x$ beschreibt den Flächeninhalt Formula: A_n zwischen den Graphen von Formula: f und Formula: g_n im Intervall Formula: [0 ; 1], da der Graph von für alle Werte von Formula: n über dem von liegt. Der Flächeninhalt zwischen dem Graph von Formula: g_1 und der Formula: x -Achse ist in diesem Intervall maximal und beträgt $Formula: \tfrac{1}{2}.$ $Formula: \tfrac{1}{2}.$ Somit ist der Flächeninhalt $Formula: A_1=\tfrac{1}{12}$ $Formula: A_1=\tfrac{1}{12}$ minimal.

Koordinatensystem mit Gitter, mehreren Kurven (f, f', f'') in verschiedenen Stricharten und markierten Punkten.

Einsetzen der Koordinaten des Ortsvektors in die Ebenengleichung von Formula: E ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2\cdot(-1)+(-3)&=&c \\[5pt] -5&=&c \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2\cdot(-1)+(-3)&=&c \\[5pt] -5&=&c \end{array}$

Wenn jede Gerade Formula: g_a den Fußpunkt des Lots von Formula: P auf Formula: E enthält, dann hat zu jeder Gerade den gleichen Abstand. Da der Ortsvektor von nicht von Formula: a abhängig ist, ist $Formula: Q(1\mid-1\mid-3)$ $Formula: Q(1\mid-1\mid-3)$ ein gemeinsamer Punkt aller Geraden. Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{PQ}&=&\pmatrix{1\\-1\\-3}-\pmatrix{1\\3\\-1} \\[5pt]&=&\pmatrix{0\\-4\\-2} \\[5pt]&=&-2\cdot\pmatrix{0\\2\\1}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{PQ}&=&\pmatrix{1\\-1\\-3}-\pmatrix{1\\3\\-1} \\[5pt]&=&\pmatrix{0\\-4\\-2} \\[5pt]&=&-2\cdot\pmatrix{0\\2\\1}\end{array}$

Da $Formula: \overrightarrow{PQ}$ $Formula: \overrightarrow{PQ}$ somit kollinear zum Normalenvektor von Formula: E ist, ist Formula: Q der Lotfußpunkt und deshalb ist die Aussage wahr.

Die Seite $Formula: \overline{AB_s}$ $Formula: \overline{AB_s}$ liegt in der Formula: xy -Ebene und die Seite $Formula: \overline{AC_t}$ $Formula: \overline{AC_t}$ liegt auf der Formula: z -Achse.

Es kann aus der Abbildung abgelesen werden, dass die Gerade die Gleichung Formula: t=5s hat. Für die folgenden Werte ist das Dreieck gleichschenklig:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\left\vert\overline{AB_s}\right\vert&=&\left\vert\overline{AC_t}\right\vert \\[5pt] \sqrt{(4 s)^2+(3 s)^2}&=&t \\[5pt] \sqrt{25s^2}&=&t \\[5pt] 5s &=&t \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\left\vert\overline{AB_s}\right\vert&=&\left\vert\overline{AC_t}\right\vert \\[5pt] \sqrt{(4 s)^2+(3 s)^2}&=&t \\[5pt] \sqrt{25s^2}&=&t \\[5pt] 5s &=&t \end{array}$

Somit liegen die Punkte auf der dargestellten Geraden.

Bei der Abbildung $Formula: (\text{I})$ $Formula: (\text{I})$ gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}P(X\geq1)&=&1-P(X=0) \\[5pt] &=&1-0,1 \\[5pt] &\neq& 0,8 \\[5pt] &\approx& \dfrac{65}{81} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}P(X\geq1)&=&1-P(X=0) \\[5pt] &=&1-0,1 \\[5pt] &\neq& 0,8 \\[5pt] &\approx& \dfrac{65}{81} \end{array}$

Somit zeigt die Abbildung $Formula: (\text{I})$ $Formula: (\text{I})$ nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Formula: X. Bei der Abbildung $Formula: (\text{III})$ $Formula: (\text{III})$ ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten größer als Formula: 1, somit zeigt auch diese Abbildung nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}P(X\geq1)&=&1-P(X=0) \\[5pt] \dfrac{65}{81}&=&1-(1-p)^4 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] \dfrac{65}{81}-1&=&-(1-p)^4 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] \dfrac{16}{81}&=& (1-p)^4 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt[4]{\;} \\[5pt] \dfrac{2}{3}&=& 1-p &\quad\scriptsize\mid\;+p \\[5pt] p+\dfrac{2}{3}&=& 1 &\quad\scriptsize\mid\;-\dfrac{2}{3} \\[5pt] p&=&\dfrac{1}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}P(X\geq1)&=&1-P(X=0) \\[5pt] \dfrac{65}{81}&=&1-(1-p)^4 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] \dfrac{65}{81}-1&=&-(1-p)^4 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] \dfrac{16}{81}&=& (1-p)^4 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt[4]{\;} \\[5pt] \dfrac{2}{3}&=& 1-p &\quad\scriptsize\mid\;+p \\[5pt] p+\dfrac{2}{3}&=& 1 &\quad\scriptsize\mid\;-\dfrac{2}{3} \\[5pt] p&=&\dfrac{1}{3} \end{array}$

Es wird höchstens eine Kugel mit der Zahl Formula: b entnommen.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 &\quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 &\quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$

Damit ergibt sich Formula: b=17-6=11.

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