Teil B3 – Stochastik

Laut einer repräsentativen Befragung des Marktforschungsinstitutes Skopos gab es im Jahr 2024 in $Formula: 68\,\%$ $Formula: 68\,\%$ aller Haushalte mit Kindern in Deutschland Haustiere.

https://www.zzf.de/marktdaten/heimtiere-in-deutschland (06.05.2025)

Die Anzahl dieser Haushalte soll in Bezug auf den Besitz von Haustieren als binomialverteilt und die Prozentangabe als Wahrscheinlichkeit angenommen werden. Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Anzahl der Haushalte, welche Haustiere besitzen.

Es werden 50 Haushalte zufällig ausgewählt.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.


„Von den Haushalten besitzen genau 35 Haustiere.“	„Mehr als die Hälfte und weniger als 45 der Haushalte besitzen Haustiere.“

4 BE

Gegeben ist die Wahrscheinlichkeit

$Formula: P(50 \cdot 0,68-k \leq X \leq 50 \cdot 0,68+k) \approx 0,83 .$ $Formula: P(50 \cdot 0,68-k \leq X \leq 50 \cdot 0,68+k) \approx 0,83 .$

Ermittle den Wert für $Formula: k \in \mathbb{N}.$ $Formula: k \in \mathbb{N}.$

Beschreibe die Bedeutung dieser Wahrscheinlichkeit im Sachzusammenhang.

3 BE

Um zu überprüfen, ob die Wahrscheinlichkeit von $Formula: 68\,\%,$ $Formula: 68\,\%,$ dass ein Haushalt mit Kindern ein Haustier besitzt, auch auf die eigene Heimatstadt übertragbar ist, führt eine Gruppe von Schülerinnen und Schülern eine Umfrage mit Formula: 120 Haushalten mit Kindern zur Frage „Habt ihr ein Haustier?“ durch. Zur Auswertung soll der dargestellte Graph der Funktion Formula: f mit

$Formula: f(p)=p+2 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot(1-p)}{120}}$ $Formula: f(p)=p+2 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot(1-p)}{120}}$

verwendet werden.

Kariertes Koordinatensystem mit zwei Kurven (durchgezogen und gestrichelt), x-Achse p, y-Achse h

Bestimme mit Hilfe geeigneter Eintragungen in der Darstellung alle möglichen Anzahlen von Haushalten, welche Haustiere besitzen, für die der gegebene Anteil angezweifelt werden muss.

Erläutere dein Vorgehen.

6 BE

Die normalverteilte Zufallsgröße Formula: Y beschreibt die Körpermasse einer zufällig ausgewählten Katze.

Es wird angenommen, dass $Formula: 95\,\%$ $Formula: 95\,\%$ aller Katzen eine Körpermasse zwischen $Formula: 3,5\;\text{kg}$ $Formula: 3,5\;\text{kg}$ und $Formula: 5,5\;\mathrm{kg}$ $Formula: 5,5\;\mathrm{kg}$ besitzen.

Begründe ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, dass $Formula: \mu=4,5$ $Formula: \mu=4,5$ und $Formula: \sigma=0,5$ $Formula: \sigma=0,5$ Parameter einer zugehörigen Normalverteilung sein können.

2 BE

Nutze für die folgenden Aufgaben das Modell der Normalverteilung mit den Parametern $Formula: \mu=4,5$ $Formula: \mu=4,5$ und $Formula: \sigma=0,5.$ $Formula: \sigma=0,5.$

Berechne die Körpermasse, welche $Formula: 90\,\%$ $Formula: 90\,\%$ der Katzen nicht überschreiten.

2 BE

Gegeben ist der Graph der zur Normalverteilung gehörenden Dichtefunktion $Formula: \varphi.$ $Formula: \varphi.$ Stelle die durch

$Formula: 1-\displaystyle\int_4^{5,5} \varphi(x) \;\mathrm dx$ $Formula: 1-\displaystyle\int_4^{5,5} \varphi(x) \;\mathrm dx$

gegebene Wahrscheinlichkeit graphisch dar.

Beschreibe ein zugehöriges Ereignis im Sachzusammenhang.

Diagramm mit Glockenkurve (Spitze ~4,5) auf Gitternetz, beschriftete x- und y-Achsen

3 BE

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$Formula: \begin{array}[t]{rll} P(A)&=&B_{50 ; 0,68}(X=35) \\[5pt] &\approx& 0,1168 \\[5pt] &=&11,68\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P(A)&=&B_{50 ; 0,68}(X=35) \\[5pt] &\approx& 0,1168 \\[5pt] &=&11,68\,\% \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P(B)&=&B_{50 ; 0,68}(26 \leq X \leq 44) \\[5pt] &=&B_{50 ; 0,68}(X \leq 44)-B_{50 ; 0,68}(X \leq 25) \\[5pt] &\approx& 0,9936 \\[5pt] &=&99,36\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P(B)&=&B_{50 ; 0,68}(26 \leq X \leq 44) \\[5pt] &=&B_{50 ; 0,68}(X \leq 44)-B_{50 ; 0,68}(X \leq 25) \\[5pt] &\approx& 0,9936 \\[5pt] &=&99,36\,\% \end{array}$

Da $Formula: 50\cdot0,68=34$ $Formula: 50\cdot0,68=34$ gilt, ergibt sich mit dem CAS für den Wert von Formula: k, sodass $Formula: B_{50;0,68}(34-k\leq X\leq34+k)\approx0,83$ $Formula: B_{50;0,68}(34-k\leq X\leq34+k)\approx0,83$ ist:

Formula: k=4

Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass unter Formula: 50 Haushalten mit Kindern mindestens Formula: 30 und höchstens Formula: 38 Haustiere haben.

Koordinatensystem mit Graph f und Koordinatenhalbierende

Der Graph stellt für die Werte von Formula: p jeweils die obere Grenze der Prognoseintervalle zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von $Formula: 95\,\%$ $Formula: 95\,\%$ dar. Da das Intervall symmetrisch ist, wird jedes Intervall durch die Gerade Formula: h=p halbiert. Also kann die untere Grenze des Prognoseintervalls für Formula: p=0,68 durch Spiegelung des Punktes $Formula: (0,68 \mid 0,76)$ $Formula: (0,68 \mid 0,76)$ am Punkt $Formula: (0,68 \mid 0,68)$ $Formula: (0,68 \mid 0,68)$ erzeugt werden. Das Prognoseintervall ergibt sich somit wie folgt:

Formula: [0,6 ; 0,76]

Mit $Formula: 120\cdot0,6=72$ $Formula: 120\cdot0,6=72$ und $Formula: 120\cdot 0,76=91$ $Formula: 120\cdot 0,76=91$ folgt somit, dass die Wahrscheinlichkeit für weniger als Formula: 72 oder mehr als Formula: 91 Haushalte angezweifelt werden muss.

Zum einen liegt der Erwartungswert $Formula: \mu=4,5$ $Formula: \mu=4,5$ genau in der Mitte des $Formula: 95\,\%$ $Formula: 95\,\%$ -Intervalls, zum anderen gilt $Formula: 2\sigma=1,$ $Formula: 2\sigma=1,$ was dem Abstand vom Erwartungswert zu den Rändern des Intervalls entspricht.

Es ist der Wert Formula: k gesucht, sodass $Formula: N_{4,5;0,5}(X\leq k)=0,9$ $Formula: N_{4,5;0,5}(X\leq k)=0,9$ gilt. Mit dem CAS folgt:

$Formula: k\approx5,1$ $Formula: k\approx5,1$

Die gesuchte Körpermasse ist somit ca. $Formula: 5,1\;\text{kg}.$ $Formula: 5,1\;\text{kg}.$

Wahrscheinlichkeit graphisch darstellen

Ereignis beschreiben

Eine zufällig ausgewählte Katze wiegt weniger als $Formula: 4\;\text{kg}$ $Formula: 4\;\text{kg}$ oder mehr als $Formula: 5,5\;\mathrm{kg}.$ $Formula: 5,5\;\mathrm{kg}.$

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